Zadání 6. série 38. ročníku
Termín odeslání: 29. 5. 2023
Pravidla pro odevzdávání řešení najdete zde. O tom, jak řešení sepisovat, si můžete přečíst zde nebo se podívat na video.
Adresa: Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8
Zadání je k dispozici také ve formátu pdf. K řešení některých úloh by se vám také mohlo hodit průvodní povídání, které najdete zde.
„Co ty tady děláš?!.“ vyjel Murhak na čarodějku, která přiletěla oknem. Trochu mu při tom ujel hlas. „Přece jsme se dohodli, že mě už necháš na pokoji!.“
„Já si tu dohodu pamatuju trochu jinak,“ odpověděla mu čarodějka klidným hlasem, zatímco si sundavala plášť. Pak si stoupla naproti Murhakovi a založila si ruce. Byl na ně zvláštní pohled. Byli skoro stejně vysocí, ale jinak na nich nebylo stejného vůbec nic. On byl celý rozčílený, rozcuchaný, oblečený v poněkud teatrálním rozevlátém plášti. Ona před ním stála naprosto klidná a její výraz byl stejně strohý jako její praktické oblečení.
Dráček se mezitím usadil Terce na rameni, oblízl jí na uvítanou ucho a teď zlostně pofrkával směrem k černokněžníkovi. Terka mu ale nevěnovala žádnou pozornost, protože zmateně zírala na čarodějku. Byla to bába Ryklová, nebo nebyla? Byl to její hlas, až na to, že nechraptěl, byla to její tvář, až na to, že nešilhala a její vrásky se vyhladily. A Terka si poprvé uvědomila, že bába Ryklová u nich doma vypadala malá jen proto, že se hrozně hrbila.
Úloha č. 1
Bába začala odříkávat jakési zaříkadlo. Murhak minutu poslouchal a pak začal říkat totéž zaříkadlo, ale rychleji, takže ho oba dokončili ve stejný okamžik. To se stalo tři minuty po tom, co Murhak začal mluvit. Oba zaříkání hned začali odříkávat pozpátku. Bába to zvládala stejně rychle jako odpředu, ale černokněžníkovi to šlo dvakrát pomaleji, než když mluvil ve správném směru. O kolik minut později než bába černokněžník dořekne zaříkadlo?
Během zaříkání mluvila čarodějka stále hlasitěji a hlasitěji, až na konci zůstala stát s rozpřaženýma rukama a pohledem upřeným kamsi do dálky. Když zaříkání dokončil Murhak, také chtěl rozpřáhnout ruce, ale zaklel a zmizel v obláčku jisker.
„Co se právě stalo?“ zašeptal Jindra Terce.
„Upřímně, netuším,“ odpověděla mu Terka.
„No, řekněme, že jsem získala magickou převahu nad touhle částí hradu, tak se náš drahý Murhak radši stáhl víc do nitra svého doupěte,“ otočila se k nim čarodějka. „Jsem ráda, že jsi konečně jednou uznala, že něco netušíš,“ přisadila si. To už si Terka byla jistá, že je to její učitelka. Dneska se jí ale nechtělo hádat a radši se zeptala: „A co tady děláš?“
„Na to už se mě někdo dneska ptal,“ ušklíbla se bába Ryklová. „Snažím se vás dva vytáhnout z bryndy a tohodle nekňubu taky,“ podrbala dráče za ušima. „Ale na vysvětlování bude čas později, teď si musíme pospíšit.“
„Pryč?“ zeptal se pro jistotu Jindra.
Čarodějka potřásla hlavou. „Koště nás všechny neunese a než bychom se dostali pryč pěšky, Murhak by na nás něco ušil. Lepší bude tady zůstat a trochu mu srazit hřebínek. Pojďme dolů, cestou vám vysvětlím, co máte dělat.“ S tím si dala koště přes rameno a vyšla ze dveří. „Takže plán je, že Murhaka najdu a vyzvu ho na souboj, abych ho zabavila, ještě uvidíme v čem.“
„A co v takové jedné hře?“ navrhl nadšeně Jindra.
„No čekala bych, že spíš půjde o magický souboj,“ poznamenala bába.
„Co jsem tak vypozoroval, tohle pro něj bude magické až dost,“ zasmál se Jindra.
„Tak to řekni, já jsem zvědavá,“ vybídla ho Terka.
Úloha č. 2
„Je to hra pro dva hráče,“ začal vysvětlovat Jindra, „na začátku mají hromadu písmen. Střídají se v tazích. V jednom tahu může hráč buď jedno libovolné písmeno smazat, nebo ze všech zbývajících písmen vytvořit palindrom, čímž vyhraje. Můžeš ho nechat vybrat, s jakými písmeny budete začínat, a pak si určit, jestli budeš začínat.“ V závislosti na tom, jaká písmena Murhak na začátku vybere, určete, zda má bába začínat nebo ne, aby měla jistotu, že vyhraje, ať bude černokněžník hrát sebelíp.
„To už se do nějaké magie zaobalí,“ usmála se bába Ryklová. „A teď k tomu, co budete dělat vy. Když zničíme věčný mráz, ve kterém černokněžník tyto hory drží, sebereme mu tím většinu jeho moci. Ten mráz Murhak udržuje tím, že zhmotnil ideu jara a pak ji zmrazil. Když půjdete pořád níž a níž, nakonec dojdete do nejhlubší kobky, kde ono zhmotnění jara je. Až se tam dostanete, prostě ho rozmrazíte a odhmotníte.“
Při slově „rozmrazíte“ se dráček rozkurážil a vyfoukl úzký plamínek dýmu. „No tak, no tak,“ uklidňovala ho Terka, „jak se odhmotňuje jaro?“
„To je jednoduché, prostě si ho budete představovat hodně jinak, a protože zhmotňovat věci vy dva neumíte, tak se jen odhmotní,“ objasnila to stroze bába.
„No to jsem zvědavý,“ zamumlal Jindra. „A jak dlouho musíme jít?“
Bába chvíli něco šeptala a pak řekla:
Úloha č. 3
„Je dán trojúhelník ABC, jehož kružnice vepsaná má střed I a poloměr 1\,\rm km. Na straně BC leží bod M, pro nějž platí, že úhel BIM je pravý. Půjdete tak daleko, jako je vzdálenost bodu M od strany AB.“ „Aha, tak to půjdeme dva kilometry,“ řekl Jindra. Dokažte, že měl Jindra pravdu.
Ještě chvíli pokračovali společně klikatícími se chodbami, až na jednom rozcestí bába řekla: „Tak tudy to bude za Murhakem. A tudy,“ ukázala na prudce se svažující schody, „to je do nejnižších kobek.“
Když Terka s Jindrou zašli za několik zatáček, zeptal se Jindra nejistě: „Myslíš, že Murhak bábě neublíží?“
„Já nevím,“ povzdychla si Terka, „ještě nikdy jsem ji neviděla dělat větší kouzla než hojení ran a podobně. Ale taky jsem ji ještě nikdy neslyšela mluvit bez skuhrání. A tam ve věži ho dokázala porazit.“
„No dobře, a my to jaro zvládneme rozmrazit? Jak to vlastně má fungovat?“
„To je špatná otázka, magicky, jak jinak,“ ušklíbla se Terka. „Bába vypadá, že to chápe, ale já fakt netuším. Magii prostě musíš věřit.“
„Ale tak matika taky někdy může vypadat úplně záhadně, třeba za tou magií nějaké vysvětlení bude,“ zkusil ji s tím smířit Jindra.
„Třeba,“ řekla Terka, ale moc přesvědčeně nezněla.
Najednou došli na konec chodby. Před nimi byly mohutné dveře, na nichž byla spousta číselných zámků.
„Že to zase beztak bude nějaká úloha,“ řekla Terka a pustila se do zkoumání dveří. Po chvíli prohlásila:
Úloha č. 4
„Do zámků je potřeba zadat 2023 různých prvočísel, které všechny dělí číslo 3^{2^{2023}}-1. Ukažte, že to je možné.“
„No to bude trochu fuška,“ zasmál se Jindra. Nakonec to i s pomocí trochy zaříkání a dráčkova snaživého funění zvládli. Když poslední cifra zapadla na své místo, ozvalo se veliké cvaknutí a dveře se pomalu otevřely.
Terce i Jindrovi se zatajil dech. Před nimi byl jakýsi obrovský objekt, z jehož nitra vytryskávaly nejrůznější barvy. Ty se tříštily na tisíci ledových krystalech, jimiž byla celá ta věc obalena.
„To je skoro škoda zničit,“ zašeptal Jindra.
Terka ho ale napomenula: „Přece bys nechtěl, aby venku byla pořád zima. Dráčku, pojď na to!.“ zavelela. Ale dráček jen jednou dýchl, kousíček ledu se roztavil, a pak se jen tvářil provinile.
„Že ty sis to všechno samou nedočkavostí vyplýtval předem,“ povzdychla si Terka a vyhrabala zbytek jídla od yettiho. Na dráčkův plamen padlo ještě několik Terčiných gumiček do vlasů a pomačkané papíry, které Jindra vyhrabal z kapsy.
Zatímco dráček pilně žvýkal a pak ještě pilněji tavil led, Terka s Jindrou přemýšleli, jak si představit jaro jinak, než jako spoustu barev.
„Je to radost, když konečně vyklíčí kytičky na zahrádce.“
„Teplý vítr na tváři.“
„Delší dny.“
Když ale dráček konečně všechno roztavil, zjistili, že se nemuseli vůbec snažit.
Úloha č. 5
Černokněžníkovo zhmotnění jara totiž vypadalo jako tři barevné koule a dvě roviny. Modrá a červená koule měly poloměr 72\,\rm cm a žlutá měla poloměr 26\,\rm cm. Každé dvě z nich se zvnějšku dotýkaly. Zelená a fialová rovina se všech tří koulí dotýkaly. Tyto dvě roviny se protínaly na oranžové přímce. Zjistěte vzdálenost bodu dotyku žluté koule s fialovou rovinou od oranžové přímky.
„Ale bylo to hezké,“ povzdychl si Jindra, zatímco to všechno tiše mizelo.
„Ale má ten černokněžník divné představy,“ potřásla hlavou Terka.
„Tak pojďme zpátky za bábou.“
Když vyšli zpátky na křižovatku, kde se s bábou Ryklovou rozloučili, zaslechli z chodby černokněžníkův hlas: „Ne ne ne, ty jsi podváděla, ty jsi vůbec nečarovala. Vrať mi tu hůlku!.“ A chodbou proletěla ohnivá koule, kterou dráček zničil prostě tím, že na ni skočil.
„Na tom čarování jsme se nedohodli,“ ozval se čarodějčin hlas a stále se blížil, „takže tvoje ohnivá hůlka je moje.“
„Pošlu na tebe svého koně ohniváka! Zmrazím tě až do morku kostí!.“ vyhrožoval Murhak.
To už bába zahlédla děti, které se na ni usmály. Povzdychla si: „No zkusit to můžeš, naštěstí nemáš ani ohnivou hůlku, ani zmražené jaro.“
„Co-cože?“ zakoktal se černokněžník, na chvíli se zarazil a snažil se ucítit, co se v jeho hradu děje. „Ale, ale, to nejde! Moje prvočíselné dveře přece nikdo nedokáže otevřít!.“
„To ses asi přepočítal,“ zamumlal Jindra za černokněžníkem, který kolem nich proběhl a mizel dolů do kobek se na vlastní oči přesvědčit.
„Tak pojďme pryč,“ řekla bába a ukázala jim krásně zdobenou rudohnědou hůlku, „tuhle nádheru už nechci ani vidět.“ Rozlámala ji a nechala dráčka, aby si ji žvýkal.
„Ale byla hezká,“ namítla Terka.
„Takové pěkné ornamenty na ní byly,“ zalitoval Jindra.
„Ale k ničemu dobrému nebyla,“ opáčila čarodějka, „stejně jako většina ostatní magie.“
Úloha č. 6
Například byl na hůlce rovnoramenný lichoběžník ABCD se základnami AB a CD. Osa úhlu při vrcholu B protíná stranu CD v bodě H. Dokažte, že střed kružnice opsané trojúhelníku BHD leží na kružnici opsané lichoběžníku ABCD.
Když se vraceli zpátky údolím, sice pořád všude ležel sníh, ale všelijaké kapání a klokotání potůčků dávalo vědět, že zima polevuje. Cestou Terka s Jindrou bábě vyprávěli, jak potkali yettiho a jak se dostali do hradu. Bába je trochu vyplísnila, že se o ně všichni báli, než konečně dráček bábu přivolal.
„Je to chytrý kluk,“ pochválila ho a Terka hrdě prohlásila: „Je přece po mně.“
„Skromnost po tobě taky zdědil, jak vidím,“ zasmála se bába, když dráček hrdě zatřepal křidélky.
„A bábo,“ vyzvídala Terka, „kdybys chtěla, tak bys taky zvládla takovéhle hory zmrazit?“
„Samozřejmě, ale na co by mi to bylo? Já radši zůstanu stará skuhravá čarodějka, to mě aspoň lidi poslouchají, protože chtějí, ne protože jsem je očarovala.“
„Spíš proto, že se tě bojí,“ namítl Jindra a bába po něm loupla okem: „No a jak se krásně obejdu bez magie. A teď se pojďte soustředit, ať se všichni v pořádku teleportujeme, už jsme na správném místě.“
Doma se potom Terky maminka nejistě zeptala: „A tohle teď s námi bude bydlet?“
„Jasně,“ usmála se Terka s vědomím, že bába Ryklová jejím rodičům už vysvětlila, že dráče musí zůstat s Terkou.
„A nevyroste moc?“
„Eee, určitě ne.“ To už si Terka tak jistá nebyla, dráček se za těch pár dní prodloužil aspoň o polovinu.
„No hlavně že jsi šťastná a že se hezky učíš,“ pohladila ji maminka nejistě po vlasech a šla po svém. Terka se znovu sklonila nad úlohou, kterou jí Jindra dal. Ještě že maminka nepozná matematiku od magie.
Úloha č. 7
Jindra dal Terce tabulku s křížky jako na obrázku zad671. Jeden Terčin tah je, že posune některý z křížků na políčko, které s tím, kde právě je, sousedí stranou. Jejím úkolem je dosáhnout toho, aby v každém řádku a každém sloupci byly dva křížky. Na kolik nejméně tahů toho může dosáhnout? Najděte způsob, jak to udělat, a zdůvodněte, proč to nemůže být méně.
