Průvodní povídání 2

Obvodový, středový a úsekový úhel

Průvodní povídání je také k dispozici ve formátu pdf.

Milí pikomaťáci,

\def\deg{^\circ}\let\angle\sphericalangle vítáme vás u druhého průvodního povídání, ve kterém si představíme obvodový, středový a úsekový úhel. Nově nabyté poznatky se vám budou hodit nejenom k řešení jedné z úloh této série, ale bezesporu i k řešení jiných geometrických problémů. Přejeme vám spoustu zábavy při čtení tohoto textu a hodně zdaru při řešení příkladů.

Definice: Oblouk AB je část kružnice vymezená různými body A a B, které leží na této kružnici.

Poznámka: Kružnice, na níž leží různé body A a B, má dva oblouky AB (jeden delší a jeden kratší, případně stejně dlouhé), proto je potřeba dávat pozor, o jaký oblouk se jedná.

Definice: Mějme kružnici k se středem v bodě S a body na této kružnici A a B. Úsečku AB nazýváme tětivou kružnice k. Vyberme si jeden z oblouků AB. Středovým úhlem vzhledem k oblouku AB označujeme úhel ASB. Obvodovým úhlem k oblouku AB pak rozumíme úhel AXB pro X, které leží na kružnici k, ale neleží na oblouku AB (ani v bodech A a B).

Tvrzení: Ať vybereme jakékoliv X ležící na daném oblouku AB kružnice k, bude mít \angle AXB stejnou velikost.

Důkaz: Plyne z věty o obvodovém a středovém úhlu, kterou zavedeme později.

Věta o obvodovém a středovém úhlu

Středový úhel má dvojnásobnou velikost oproti obvodovému úhlu příslušnému tomu samému oblouku.

Poznámka: Můžeme si všimnout, že věta o obvodovém a středovém úhlu je vlastně zobecněním Thaletovy věty. V Thaletově větě se totiž mluví o průměru kružnice místo jakékoliv tětivy. Tam je potom středový úhel přímý úhel a obvodový úhel je poloviční, tedy pravý.

Důkaz: Mějme kružnici k se středem S. Na kružnici leží dva různé body A, B. Větu dokážeme pro případ, že jsme si vybrali kratší oblouk AB, v případě delšího oblouku AB by byl důkaz téměř stejný.

Úhel ASB nechť je velký 2\gamma. Mějme bod C na delším oblouku AB. Označme |\angle ASC|=2\beta a |\angle BSC|=2\alpha. Trojúhelník ASB je rovnoramenný, protože A a B leží na kružnici se středem S. Platí proto |\angle SAB| = |\angle SBA| a do 180\deg dopočítáme, že

takže

Stejně tak jsou rovnoramenné i \triangle ASC a \triangle BSC a jejich úhly jsou: |\angle SAC|=|\angle SCA|=90\deg-\beta a |\angle SBC|=|\angle SCB|=90\deg-\alpha.

Máme dvě možnosti. Buď bude \triangle ABC ostroúhlý nebo tupoúhlý (o pravoúhlém trojúhelníku už mluví povídání o Thaletově kružnici). Uvažme teď případ, kdy je \triangle ABC ostroúhlý jako na obrázku pruv211. Protože je ostroúhlý, leží bod S uvnitř tohoto trojúhelníka. Můžeme vidět, že \angle ASB, \angle ASC a \angle BSC jsou dohromady celý kruh, tedy

a tedy \alpha+\beta+\gamma=180\deg.

Teď si můžeme všimnout, že \angle ACB je součet \angle ACS a \angle BCS:

A protože už jsme dokázali, že \alpha+\beta+\gamma=180\deg, tak 180\deg-\alpha-\beta=\gamma. Tedy |\angle ACB=\gamma|, což je polovina |\angle ASB| a to jsme chtěli dokázat.

Stačí už jen tvrzení dokázat pro tupoúhlý \triangle ABC například s tupým úhlem u bodu B(pozn. pod čarou: Kdyby tupý úhel byl u vrcholu C, dokázali bychom to obdobně.) jako na obrázku pruv212. Všimněme si, že |\angle ASB|+|\angle BSC|=|\angle ASC|, takže 2\gamma+2\alpha =2\beta, a proto \beta-\alpha=\gamma. Úhel u bodu C vyjádříme jako |\angle SCB|-|\angle SCA|=(90\deg-\alpha)-(90\deg-\beta)=\beta-\alpha a my víme, že to je \gamma. Takže tvrzení platí i pro tupoúhlý trojúhelník.

Definice: Pokud k čtyřúhelníku ABCD dokážeme nalézt takovou kružnici k, aby na k ležely A, B, C i D, nazýváme čtyřúhelník ABCD tětivový.

Tvrzení: Pro tětivový čtyřúhelník ABCD platí, že |\angle ABC| + |\angle CDA| = 180 \deg. Toto tvrzení lze také říci tak, že protější úhly tětivového čtyřúhelníka mají součet 180\deg.

Důkaz: Čtyřúhelník je tětivový, proto k němu dokážeme nalézt kružnici k se středem S tak, aby A, B, C i D ležely na k. Díky větě o obvodových úhlech víme, že 2\cdot |\angle ABC| = |\angle ASC|. Poznamenejme, že kratšímu oblouku AC přísluší středový úhel ASC menší než 180\deg. Delšímu oblouku AC pak přísluší středový úhel ASC větší než 180\deg.

Také víme, že 2\cdot |\angle CDA| = |\angle CSA|. Teď rovnice sečteme a dostaneme

Nalevo máme dvojnásobek součtu protějších úhlů čtyřúhelníku ABCD, napravo máme vlastně 360\deg, protože bereme úhel CSA jednou z jedné strany a podruhé z druhé strany. Vydělením rovnice dvěma už máme přesně to, co jsme chtěli dokázat.

Příklad: Rovnostrannému \triangle ABC je opsána kružnice k se středem S. Jak bude velký \angle ASB?

Řešení: Rovnostranný trojúhelník má všechny úhly rovny 60\deg. Podle věty o středovém a obvodovém úhlu platí, že dvakrát obvodový úhel je středový úhel a obvodový úhel je 60\deg, a tedy středový bude dvakrát tolik, tedy 120\deg.

Definice: Tečna ke kružnici je přímka, která se kružnice dotýká pouze v jediném bodě.

Tvrzení: Pro tečnu platí, že je kolmá na spojnici středu kružnice a bodu, ve kterém se kružnice dotýká.

Definice: Ať body A, B, X leží na kružnici k. Potom úsekový úhel příslušný oblouku AXB nazýváme úhel mezi tečnou ke kružnici k v bodě A nebo B a tětivou AB, v němž leží bod X.

Tvrzení: Úsekový úhel u tětivy AB má stejnou velikost jako obvodový úhel k oblouku AB (viz obr. pruv213).

Důkaz: Označme střed kružnice, na níž leží oblouk AB, písmenem S. Jak je již ukázáno v důkazu věty o obvodovém a středovém úhlu, pro obvodový úhel \gamma je |\angle SAB| = 90\deg-\gamma. Dále víme, že úhel mezi SA a tečnou z A je pravý. Na úhel mezi tětivou AB a tečnou z A pak tedy zbývá jen úhel 90\deg - (90\deg−\gamma) = \gamma, což je obvodový úhel.