Zadání 5. série 38. ročníku
Termín odeslání: 17. 4. 2023
Pravidla pro odevzdávání řešení najdete zde. O tom, jak řešení sepisovat, si můžete přečíst zde nebo se podívat na video.
Adresa: Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8
Zadání je k dispozici také ve formátu pdf. K řešení některých úloh by se vám také mohlo hodit průvodní povídání, které najdete zde.
„Muhahahaha, tady jsi!.“ ozvalo se za Terkou, která se mazlila s dráčkem přes mříže klece, v níž byl zavřený. Terka se prudce otočila, dráček vykníkl a pokusil se k Terce ještě víc přitisknout. O tom, že ve dveřích stojí černokněžník, nebylo žádných pochyb. Byl oblečený celý v černém a jeho oči... Jeho oči neměly ani zornice, ani panenky, ani bělmo, byly celé jemně šedé, jenom se nimi táhlo pár černých čar. A také nebyly normálně kulaté, ale hranaté. Terce trochu připomínaly lichoběžník.
Úloha č. 1
Murhakovy oči měly tvar lichoběžníku. Označme jeho vrcholy A, B, C, D, aby AB\parallel CD a střed strany AD označme M. V čarodějových očích byly úsečky BM a CM. Jaký je poměr obsahů trojúhelníku BCM a celého lichoběžníku?
„Tebe jsem tady potřeboval,“ řekl Murhak spokojeně, „to zatracené dráče mě má za úplně cizí stvoření! Vůbec mě nemá rádo! Víš, jak špatně by se mi to dráče cvičilo? Ale teď jsi tady ty a pomůžeš mi s tím!.“ dokončil zlověstně.
„A proč by s tím Terka měla pomáhat?“ zeptal se Jindra, který stál vedle dveří. Ale černokněžník ho ignoroval.
„A proč by tě mělo mít rádo? Vždyť jsi ho zavřel do klece!.“ obořila se na černokněžníka Terka. Dráče ji podpořilo plamínkem vyfouknutým směrem k Murhakovi, ten ho ale uhasil mávnutím ruky.
„Protože jsem nejmocnější živé magické stvoření. Vyrovnám se i pradávným drakům, na rozdíl od takového prcka jako jsi ty! Proč by si mělo myslet, že ty jsi jeho rodič a já ne? Já, nejmocnější ze všech čarodějů!.“
„A taky nejpyšnější,“ ušklíbl se Jindra. Ale Murhak ho zase ignoroval. Jindru už to nebavilo, že jeho si nikdo nevšímá, a tak nahlas prohlásil:
Úloha č. 2
Na kružnici k se středem S postupně leží body A, B, C, D. Velikost úhlu ASB je 132 stupňů a velikost úhlu BSC je 78 stupňů. Jaká je velikost úhlu ADC?
Ale černokněžník Jindru pořád ignoroval.
Terka by ráda vymyslela, jak dráče dostat pryč, a trochu se bála, co černokněžník udělá dál, a tak se rozhodla jeho vytahování ještě chvíli podporovat.
„Opravdu nejmocnější?“ zeptala se s hraným zájmem.
„Samozřejmě,“ řekl Murhak samolibě, „vidíš, jak velkou zemi ovládám? Vidíš můj mocný nedobytný hrad?“
„Ale já jsem se sem dostala,“ namítla Terka.
„Taky jsem to skoro hned věděl!.“ pokračoval černokněžník nabubřele. „Už v mládí jsem byl nejnadanější, žádné kouzlo ani zaříkání mi netrvalo dlouho se naučit, magii jsem vycítil na sto honů.“
„A kolik ti vlastně je?“ vymýšlela Terka rychle dál otázky.
Murhak luskl prsty a pak si něco mumlal. Pak řekl: „To je vidět, jak ti čarování nejde, jinak by ses mě nemusela ptát. To já vím, kolik ti je. “
Úloha č. 3
„A dokonce vím, že před pěti lety ti bylo devětkrát míň, než co tehdy mně. A naopak za pět let tvůj věk bude 20\,\% mého. Tak co, víš, kolik mi je?“
Černokněžník se pohrdavě na Terku podíval, ale ta se jen pousmála a podívala se na Jindru, který řekl: „To je přece jasný!.“
„Proč se díváš na tu zeď?“ podivil se černokněžník. Terka nevěděla co říct, naštěstí si Murhak sám domyslel odpověď. „Samým studem, o kolik jsi nepatrnější než já, se na mě ani nemůžeš podívat, co?“
Terka radši převedla řeč jinam: „A proč máš tak zvláštní oči?“
„Protože jsem si tak moc vycvičil své magické smysly, že ty normální už nepotřebuju, ty hloupá. K čemu by mi taky byly? Všechno, i vítr i sníh je tady tak prodchnuté magií, že je vidím, aniž bych měl tvoje lidské oči, a slyším, aniž bych měl ty tvoje zbytečné uši. Když něco není magické, proč bych to chtěl vidět nebo slyšet? Ale teď už přestaňme tlachat a pojďme se pustit do práce!.“ zakončil Murhak rázně svou řeč.
„Jaké práce? A jak jako my?“ podivila se Terka.
„Je potřeba dráče začít cvičit, aby mě, až vyroste, poslouchalo a aby taky něco umělo. Začneme tím, že ho začarujeme, aby mě poslouchalo na jméno. Teda aspoň trochu, úplně už to nikdy nepůjde, když jsi mi to tak pokazila. Tím se vůbec hrozně zdržím.“
Úloha č. 4
„Kdyby dráče přilnulo ke mně místo k tobě, byl by celý jeho výcvik o spoustu dní kratší,“ řekl Murhak. Po chvíli dodal, o kolik přesně dní by to bylo. Jindra si hned pomyslel, že třetí mocnina tohoto počtu dní je dělitelná čísly 10, 25, 32, 49 a 170. Jaký počet dní menší než 1\,000 to splňuje?
„Kde jsou klíče od té klece?“ zeptal se Murhak, když s překvapením zjistil, že háček, kam je vždycky dával, je prázdný. Jindra si jich totiž už před nějakou chvílí všiml a vzal si je. Uvědomoval si, že Terka nebude chtít dráče opustit, ale zároveň měl pocit, že by bylo dobré co nejdřív zmizet. Jak, to netušil. Při Murhakových posledních slovech si pomyslel, že je na čase aspoň něco zkusit, a tak se vrhl ke kleci a odemknul ji. Dráček se rozletěl ven, ale černokněžník byl příliš blízko a příliš rychlý. Po krátké rvačce sice skončil Murhak poškrábaný a trochu ožehlý od dráčka, ale zato ho svíral pevně v podpaží a kouzlem znehybnil Terku, aby dráčkovi nemohla pomoct.
„Takové laciné triky na mě fungovat nebudou!.“ zaburácel černokněžník, „počkej, já ti ukážu, jak vypadá opravdové čarování.“
Terka neprotestovala a protestovat nemohla, ani když ji černokněžník přinutil vydat se vzhůru do schodů.
S Jindrou v patách vyšli až na samý vrchol věže. Terka se otřásla zimou a taky trochu závratí. Fičel tam řezavý vítr a když člověk přistoupil až k samému cimbuří, viděl přímo dolů, z celé výšky věže i skály až do údolí. Dlaždice vrcholku věže tvořily mřížku, do které nejprve černokněžník namaloval nějaký obrazec. Potom přinutil Terku si do něj stoupnout, chytil pevně oběma rukama dráče a začal odříkávat jakési zaříkání.
Úloha č. 5
Terka si po chvíli uvědomila, že Murhak postupně říká všechna různá slova (nebo spíš posloupnosti hlásek), která vzniknou z MUMURKAHO vyškrtáním několika písmen (klidně žádného nebo jen jednoho). Kolik takových slov je?
Jak černokněžník čaroval, přestal se tolik soustředit na kouzlo, které omezovalo Terku. Ta to hned vycítila a zašeptala zaříkání, kvůli kterému se Murhak zakoktal. „Co si jako myslíš, že děláš?“ zamračil se. „Takovou hloupostí, jako je koktání, mě nezastavíš! A přestaň být otravná, až jednou dráček vyroste, už tě potřebovat nebudu, a pak by se ti mohlo něco stát,“ dodal zlověstně.
„Radši tě budu otravovat, beztak se od tebe ničeho dobrého nedočkám,“ odsekla Terka.
„A čeho tím podle tebe docílíš? Tohle zaříkání hned tak nezrušíš. To bys musela udělat kouzlo, které by zjistilo, jaký největší obsah může mít ten obrazec, ve kterém stojíš. A to nedokážeš, to mi můžeš věřit.“
Jindra se díval trochu zmateně. „Proč nemůže být velký, jak chce?“
Úloha č. 6
„Útvar je mnohoúhelník s vrcholy v bodech čtvercové mřížky a stranami v hranách mřížky. Navíc musí mít na hranici jen 18 bodů čtvercové mřížky a úplně uvnitř může být jen sedm bodů,“ vysvětlila Terka. Jaký největší obsah může útvar mít?
„Je to tak, správně to víš, ale tobě to k ničemu není,“ řekl výsměšně Murhak a pustil se znovu do zaříkání.
Jindra ale po chvíli řekl odpověď a po něm ji zopakovala Terka. Útvar na dlaždicích rázem zmizel, Murhak s sebou trhnul a uvolnil stisk kolem dráčete. To neváhalo, na rozloučenou ho ožehlo a uletělo do mraků.
Černokněžník se rozzuřil a chtěl se vrhnout na Terku, zjevně ve vzteku zapomněl, že by mohl taky čarovat. Ale Jindra mu pohotově nastavil nohu a než se Murhak sebral, utíkali už oba jeho nezvaní návštěvníci dolů po schodech. Sotva zahnuli za roh, zasyčela za nimi ohnivá koule, kterou černokněžník vyslal. Zezdola ale zaslechli řinčivé kroky a chodbou se neslo temné zavytí. A tak Terka s Jindrou radši vběhli do první komnaty, zabouchli dveře a opřeli se o ně. Terka navíc začala vytvářet ochranná zaříkadla a poprvé v životě zalitovala, že nikdy vlastně moc nedávala u bábina učení pozor.
Zvenku se ozvalo zabušení a dveře trochu povolily, ale Jindra je znovu zvládl přirazit. Po několika minutách se ale dveře naráz roztříštily na tisíc kousků a dovnitř vpadl černokněžník. „A teď ti teprve ukážu,“ zaburácel hrozivěji než kdy předtím. Vtom dovnitř vlétlo dráče a vypustilo plamen Murhakovi přímo do obličeje. Za ním vletěl kdosi na koštěti. Ten kdosi byl zahalen do šedého pláště, z kterého čouhal jen dlouhý nos. Rázně postavil koště do rohu a řekl hlasem Terce tak známým a přece cizím: „Tak mi to teda ukaž.“
Úloha č. 7
Koště bylo postavené tak, že při pohledu ze severu svíralo se zemí úhel 45 stupňů, při pohledu ze západu 60 stupňů a při pohledu shora měří jeden metr. Jak dlouhé je koště?