Zadání 4. série 38. ročníku
Termín odeslání: 13. 2. 2023
Pravidla pro odevzdávání řešení najdete zde. O tom, jak řešení sepisovat, si můžete přečíst zde nebo se podívat na video.
Adresa: Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8
Zadání je k dispozici také ve formátu pdf. K řešení některých úloh by se vám také mohlo hodit průvodní povídání, které najdete zde.
„Jindroo, vstávej,“ zatřásla jím Terka.
„Mmmmmmhm?“ odpověděl jí Jindra. „Proč mě budíš, když je ještě tma?“ stěžoval si, když otevřel oči a zjistil, že tak toho nevidí o moc víc než předtím.
„Tady je vždycky tma, venku už je den,“ odpověděl mu svým hlubokým hlasem yetti, a tak si Jindra konečně vzpomněl, kde to je a že vlastně chtěli jít zachraňovat dráčka.
„Mně se nikam chodit nechce,“ oznámil Jindra.
„Ale no tak,“ začala ho přesvědčovat Terka, „jsi jenom rozespalý, tady máš úlohu, aby ses trochu probudil.“
Úloha č. 1
„Myslím si dvouciferné číslo. Udělám ciferný součet ciferného součtu tohoto čísla a vyjde mi 3. Kolik různých dvouciferných čísel si můžu myslet?“
Chvíle přemýšlení Jindru skutečně trochu probudila. Navíc když yetti řekl, že tohle by černokněžníkovi Murmakovi určitě trvalo hrozně dlouho, začalo Jindrovi zase připadat, že by výpravu za dráčkem mohli zvládnout.
Yetti jim dal jídlo a oblečení na cestu za černokněžníkem a vyšel s nimi až skoro k ústí jeskyně. Tam konečně napadla Terku ona zásadní otázka: „A jak se k Murmakovu hradu vlastně dostaneme?“
Yetti se na ni trochu smutně podíval: „To poznáš.“
„A já to nepoznám?“ zeptal se uraženě Jindra.
„Ty ne, buď rád,“ odpověděl mu yetti, „černokněžník kolem sebe vytváří tolik magie a vyslovil tolik zaříkadel, která mají přitahovat a lapat magické bytosti, že každé trochu magické stvoření to ucítí. V jeskyni skoro vůbec, ale venku už trochu ano a čím blíž půjdete, tím víc to bude poznat.“
Úloha č. 2
Například jedno ze zaříkadel chtěl Murmak seslat na území, které mělo tvar čtverce. Potom ale zjistil, že na čtvercové území by zaříkadlo nefungovalo dobře, a tak jednu jeho stranu zvětšil o dvacet kilometrů. Na tak velké území by ale zaříkadlo seslat nezvládl, takže druhou stranu území zase o šest kilometrů zkrátil. Tím pádem mu zbylo území o rozloze o 40\,\% větší, než s jakým začínal. Jak dlouhá byla strana původního čtverce?
„Tak to zní, že si nějak poradíme,“ prohlásila Terka a chtěla se vydat dál.
„Na cestě možná... ale potom co s černokněžníkem... nechcete tady přece jenom zůstat?“ pokusil se ji zadržet yetti, kterému začalo být líto, že ho tak brzo opouští, a taky se o ně trochu bál.
„No, možná...“ nechal se skoro zlákat Jindra.
„Ale co chudák dráče? A co pak, až se černokněžník naučí draka využít pro svoje nekalosti? Jindy lepší příležitost nebude,“ zatrhla mu to Terka.
Na to Jindra nemohl než přisvědčit, a tak se rozloučili s yettim a vyšli do denního světla. Ne že by to tam vypadalo o moc veseleji než v jeskyni. Všude kolem byly vidět jen zlověstně černé skály, kolem kterých ostrý vítr proháněl cáry mraků. Terka Jindrovi pokynula, aby chvíli počkal, a zavřela oči. Chvíli cítila jen zimu, ale když se lépe soustředila, zvládla své magické smysly oddělit od těch tělesných. A pak opravdu pocítila jemné, mrazivé tažení jedním směrem, jako by ji někdo tahal za nitky. „Tam,“ ukázala.
Pak to ale nebylo zdaleka tak jednoduché. Jít přímo bylo těžké, ba přímo nemožné. A tak se zbytek dne brodili sněhem nahoru, dolů a napříč úbočími hor. Když začali nějakou horu obcházet, většinou narazili na skálu, které se museli vyhnout, aby pak málem spadli ze srázu, který je přinutil jít ještě jinudy.
„Teď jsme se teda pořádně zamotali,“ řekl v jednu chvíli Jindra.
Úloha č. 3
\def\m{\,{\rm m}} Začali v bodě A a ušli 600\sqrt{3}\m. Pak se otočili o 120 stupňů doleva a ušli opět 600\sqrt{3}\m. Pak se otočili o 90 stupňů doprava a ušli 900\m. Nakonec se otočili o 120 stupňů doleva a ušli zase 900\m do bodu B. Na obrázku zad431 je vidět otočení o 120 stupňů doleva, začínáme-li u X a končíme-li u Y. O kolik delší jejich cesta byla, než kdyby šli z A do B přímo?
„No dobře, tak já budu radši častěji kontrolovat, že jdeme správně,“ řekla Terka a znovu zavřela oči, aby mezi ostatními smysly našla ten magický, který jí ukázal cestu k hradu. Odpoledne už ale takové problémy mít přestali, protože Terka onen tah už cítila skoro pořád.
„Nechceme tady zůstat na noc?“ zeptal se Jindra, když chvíli po západu slunce našli závětří mezi skalami, aby si trochu odpočali. „Yetti stejně říkal, že tam za den nejspíš nedojdeme. Když vyčaruješ trochu tepla, mohlo by tu být i docela útulno.“
„Tobě se to řekne, vyčaruješ trochu tepla,“ vyjela na něj Terka. „A kromě toho by nás kvůli tomu mohl Murmak najít trochu dřív, než bychom chtěli. A taky přece musíme zachránit dráče, ty by ses pořád zdržoval.“
„No tak promiň,“ řekl trochu uraženě Jindra.
Chvíli seděli v tichu, až se ozvala Terka: „Promiň, už jsem dost vyčerpaná. Asi máš pravdu. Takhle bychom došli k hradu a stejně bychom nic nezmohli, protože bychom byli moc unavení.“
A tak vyhrabali v závěji místečko, aby byli ještě víc chránění před větrem a Terka opatrně vyčarovala trochu tepla. Jindrovi se po celodenním chození spalo dobře, ale Terka byla neklidná. Pořád ji to táhlo směrem k hradu, takže se jí špatně usínalo. Navíc v každém mraku viděla upíra, který jim letí sát krev, v každém závanu větru slyšela vlkodlačí vytí. V jednu chvíli dokonce radši Jindru vzbudila, protože si myslela, že už to opravdu něco je. „Ale prosímtě,“ zívl Jindra, „vždyť to jenom zasvítil trochu měsíc a skály vrhají trochu divné stíny.“
Úloha č. 4
„Představ si pod tím radši kružnici k, na které leží body K, L a M. Pro bod N platí, že MN a LN jsou tečny kružnice k. Úhel LNM má 100 stupňů, úhel KMN má 80 stupňů,“ poradil jí Jindra, „kolik stupňů má úhel KLN?“
To Terku trochu uklidnilo a počítání ji zabavilo na dost dlouho, aby zapomněla na ostatní starosti.
Druhý den se vydali dál. Sešli do širokého údolí, jehož středem hučela říčka, jejíž proud nedokázal zastavit ani neustálý mráz. Na rozdíl od předchozího dne občas zahlédli zakroužit mezi mraky ptáka. Nebo něco, co mělo ptačí podobu. V jednu chvíli dokonce uviděli po svahu hory běžet osamělého vlka a Terku zamrazilo, když si pomyslela, že to vytí v noci možná opravdu bylo vlčí vytí.
Okolo poledne prošli táhlým záhybem údolí a mraky se trochu rozestoupily.
„Teeeda,“ řekl Jindra. Terka se křečovitě chytla jeho ramena. Před nimi, na ostrohu vysoko ve svahu hory, která zakončovala údolí, stál hrad, černý a mohutný, stejně jako skály kolem něj. Nebylo na něm nic ozdobného ani vznosného, všechno na něm působilo účelně a bytelně. Jenom zpod něj padal do údolí majestátní vodopád, jehož vody se později staly říčkou v údolí.
„Rychle mi řekni nějakou úlohu,“ řekla ztěžka Terka, „ať přestanu myslet na to, že se chci rozeběhnout k tomu hradu a křičet Tady jsem''“
Úloha č. 5
Na tabuli jsou napsaná čísla od 1 do 1\,000\,000. Přišel David a smazal všechna prvočísla. Pak přišel Tom a postupně se zamyslel nad všemi čísly od 2 do 100 a od 1\,000 do 10\,000. Když nad nějakým číslem přemýšlel, smazal všechny jeho násobky na tabuli. Nakonec přišel Honzík a všechna zbylá čísla na tabuli vynásobil. Dokažte, že mu vyšla mocnina (větší než první) nějakého přirozeného čísla.
„Ale jak se dostaneme dovnitř?“ napadlo Jindru. „Yetti něco říkal o tom, že se dřív dalo dostat do sklepení hradu skrz koryto toho potoka, ale na to si černokněžník nejspíš už dal pozor.“
„No můžeme se na to zkusit podívat,“ navrhla Terka.
Skrývajíce se mezi skalami obešli hrad a shora došli až k místu, kde se potok nořil do nitra hradu. Tunel sice nevypadal jako pohodlná cesta, ale s trochou snahy a opatrnosti by se dalo podél proudu protáhnout, kdyby cestě hned u ústí tunelu nebránila masivní kovová mříž. Kolem ní byly do skály vytesané jakési znaky a čísla.
„Hmmm, to vypadá, že jde otevřít nějakým zaříkadlem. Sem se asi má zadat číslo,“ ukázala Terka na místo ve skále, které po chvíli prohlížení vypadalo jako čtyřciferný číselný zámek. „Jenže to bych musela čarovat daleko víc, než bylo to včerejší kouzlíčko na zahřátí. Kromě toho tady se bojím, že jenom pomyslím na magii a černokněžník si mě všimne.“
„Ale tak jestli stačí ve výsledku zadat číslo, nechceme to třeba vyzkoušet?“ navrhnul Jindra.
„Kdybychom zadali něco špatného, tak by to nemuselo dopadnout dobře,“ povzdychla si Terka, „dej mi chvíli.“ Pokračovala v prohlížení nápisů a při tom si něco mumlala. Nakonec se usmála: „Buď můžu čarovat, nebo úplně stejné číslo dostaneme, když vyřešíme úlohu.“
Úloha č. 6
Najdi co největší čtyřciferné číslo N neobsahující nuly, které splňuje následující podmínku: pokud sečteme N s každým číslem, které vznikne z N pouhým přeházením cifer, získáme 106\,656.
Když číslo zadali, mříž tiše zajela do skály. Zašli dovnitř a ona se zase zavřela.
„Tak a jestli se teď něco pokazí, jsme pěkně v háji,“ zašeptal Jindra.
„Stáním tady to nezlepšíme,“ odpověděla mu ještě tišeji Terka.
Po chvíli napůl plazení, napůl plížení se podél hučící vody se ve stěně tunelu objevila chodba. Byla osvětlená jemným, odnikud vycházejícím světlem.
„Magie?“ zeptal se Jindra. Terka přisvědčila.
Chodba se kroutila pomalu vzhůru. Občas po straně zahlédli malé místnůstky, které vypadaly jako skladiště všelijakého harampádí. Čím dál šli, tím uspořádaněji to v nich ale vypadalo. Tuhle byla místnost plná nějakých kovových součástek, o kus dál zase byly obrovské lahve plné tajemných tekutin. Potom dokonce byla místnost, kde v klecích seděly nebo se v akváriích vznášely podivné potvůrky. Některé vypadaly jako chobotničky, jiné jako obrovský hmyz a Jindra by přísahal, že mezi nimi zahlédl čtyřnohé kuře.
„Kudy teď?“ zeptal se Jindra, když došli na rozcestí.
„Jak to mám vědět?“ řekla Terka nešťastně, „prostě někam jdi.“
Na poprvé to nevyšlo, protože po pár krocích se najednou udělalo hrozně teplo, ozvalo se zaržání a oni vešli do stáje, kde byl uvázaný ohnivý oř. Ten po nich naštvaně loupl okem, znova zaržál a zadupal, a tak se horempádem vrátili zpátky do hlavní chodby.
„Safra, doufám, že nás ten kůň neprozradil,“ staral se Jindra.
„Nojo, s tím se asi nedá nic dělat,“ povzdychla si Terka. „Ale teda, ohnivého koně jsem ještě neviděla, ten musí mít v sobě magie,“ dodala obdivně.
Další místnost, do které zabloudili, zase zaujala Jindru, protože v ní bylo podivné zařízení.
Úloha č. 7
Zařízení je kvádr, jehož dvě tělesové úhlopříčky jsou na sebe kolmé a úhlopříčky jedné z jeho stěn jsou na sebe kolmé. Nejkratší hrana kvádru má 1 metr. Spočtěte povrch kvádru.
Od počítání je vyrušil nějaký tvor, který šel do té věci zjevně něco dát. Tak zase radši rychle odešli. Potkali jich ale ještě několik. Všichni byli šediví a nevšímaví a někam spěchali. Vypadali jako malí lidé, až na to, že měli ve tváři zvířecí rysy. Někteří vypadali trochu jako kočky, jiní měli zobáky. Jindra s Terkou je zjevně vůbec nezajímali, jako by to pro ně byly jen další dva stíny.
Najednou se Terka zarazila. „Slyšíš?“ řekla vzrušeně.
„Co?“
„Dráčka přece! Volá mě!.“
Terka se rozeběhla po jakémsi schodišti.
„Počkej, není to past?“ pokusil se ji zadržet Jindra.
„I kdyby byla, tak co chceš dělat jiného, prohlížet si tady magická zařízení až do smrti?“ odbyla ho Terka a běžela dál. Schodiště ale bylo dlouhé, takže byla přinucená trochu zpomalit. Byli už natolik vysoko, že uzounkými okýnky, zasazenými v tlusté zdi, byly občas vidět okolní hory. Po nějaké době se konečně dostali do komnaty, kde stála veliká klec a v ní nešťastně kníkal dráček.
„Tady jsi!.“ zvolala nadšeně Terka a dráček jí vesele zamával křidélky na přivítanou.
