Zadání 3. série 38. ročníku

Termín odeslání: 2. 1. 2023

Pravidla pro odevzdávání řešení najdete zde. O tom, jak řešení sepisovat, si můžete přečíst zde nebo se podívat na video.

Adresa: Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8

Zadání je k dispozici také ve formátu pdf. Tam také naleznete průvodní povídání, které vám s jednou z úloh této série pomůže, nebo si ho přečtěte zde.


Mrknutí oka, které trvalo stejně dlouho jako sám vesmír; temnota tak hluboká až zářila; chlad, který se přiblížil k teplu z druhé strany a pálil jako nejhoroucnější srdce hvězdy. Tak nějak později vypravovala Terka o svých zážitcích poté, co zmizela v tajemné škvíře za dráčetem. Těžko říct, co z toho bylo skutečné a co byl jen sen, každopádně se probrala s pocitem, že se jí rozskočí hlava. Když přišla k sobě o něco víc, zjistila, že leží ve sněhu a kolem ní fičí řežavý vítr. V dálce viděla okřídlenou tečku, jak mizí za štít další hory.

„Safra, tak to jsme ho teda nechytli,“ ozval se vedle ní Jindra, „kde to jsme?“

„J-j-já nevím,“ zadrkotala vedle něj zuby Terka. Měla co dělat, aby se u toho nerozplakala. Byli na úbočí obrovské hory a vše, co bylo vidět, byly jen další a další skály, výhružně se tyčící ke zšeřelému nebi, a sníh, bílý a netečný jako smrt. Rychle jí začalo docházet, že se právě zapletla do něčeho, nad čím nemá jakoukoli moc a co ji může velmi snadno zahubit. „P-pojďme někam, j-jinak u-u-umrznem,“ dostala ze sebe.

„Souhlas, t-třeba se tím aspoň zahřejeme,“ odpověděl jí Jindra, kterému taky byla dost zima.

Chvíli klopýtali sněhem mlčky. Pak to ale Jindrovi nedalo, aby si nerýpl: „Když jsi věděla, že je to zlé znamení, tak jsi do té skály lézt nemusela.“

„Já jsem tě neprosila, abys šel za mnou!.“

„Přece bych tě v tom nenechal samotnou!.“

„A hele, najednou je tady někdo kavalír,“ ušklíbla se Terka.

Jindru mrzelo, že se začali hádat, a tak po chvíli navrhl: „Přemýšlím o jednom číslu, pomůžeš mi ho najít?“

„Zase tvoje čísla,“ zabručela Terka, ale dál už ho nepřerušovala.

Úloha č. 1

„Najdi největší číslo, které není dělitelné třemi, žádná cifra se v něm neopakuje, a když vezmeš jakékoli tři jeho po sobě jdoucí cifry, tak ta prostřední je z nich buď nejmenší, nebo největší.“

Než to číslo našli, tak aspoň na chvíli přestali myslet na to, jaká je zima. Dobrodili se během toho k útesu, který nahoře mizel někde v nedohlednu.

„Třeba tady aspoň najdeme nějaké závětří,“ zadoufala Terka.

„Neuměla bys trochu tepla vykouzlit?“ navrhl Jindra.

„Noo, ono to není tak jednoduché. Dost by mi pomohl můj amulet. A taky jsem to ještě nikdy bez báby nedělala,“ dodala upřímně Terka.

„Jak vypadá tvůj amulet?“

Úloha č. 2

„Je to rovnostranný trojúhelník, v něm je co největší kruh a v tom kruhu je co největší čtverec. Ten čtverec má stranu délky 4\,{\rm cm},“ (obr. zad321). Jaká je délka strany trojúhelníku?

„A bez něj to nejde?“

„Můžu to zkusit.“

Asi na podesáté se Terce povedlo udělat aspoň malý namodralý plamínek, který sice trochu pomohl, ale ne dost na to, aby stále netoužili po nějakém útulném místečku. Naštěstí po další půlhodině, která jim připadala jako věčnost, se před nimi ve skále otevřela jeskyně.

„Musím se přiznat, že jeskyním teď moc nedůvěřuju,“ prohlásil Jindra.

„Já taky ne,“ souhlasila Terka, „ale buď se do ní podíváme, nebo tady umrznem. Mně by asi nevadilo se dostat zase někam jinam.“

A tak vešli do temnoty jeskyně, jenom Terčin plamínek jim osvětloval tváře. Teprve v klidu a tichu, které je obklopilo, si uvědomili, jak moc je venku ohlušoval skučící vítr. Chvíli seděli, odpočívali a Jindra vyprávěl Terce o skládačce, kterou má doma.

Úloha č. 3

Skládačka sestává z alespoň dvou stejných dílů, které vznikly slepením alespoň dvou krychliček. Ze skládačky se dá postavit čtyřpatrová pyramida, jejíž první patro je čtverec 4 \times 4, druhé 3 \times 3, třetí 2 \times 2 a poslední je tvořené jen jednou kostičkou. Středy těchto čtverců leží nad sebou, jejich strany jsou rovnoběžné (obr. zad331). Jak vypadá díl skládačky a jakým způsobem lze pyramidu sestavit?

„Hohoho,“ ozvalo se za nimi náhle hlubokým hlasem a s tím jim každému na rameno padla velká chlupatá tlapa a otočila je o sto osmdesát stupňů, „co to tady máme?“

Jindra i Terka vyděšeně zírali, jak se k nim sklonila tvář třikrát větší než jejich vlastní. Vypadala lidsky, jen byla celá hustě porostlá chlupy.

„Čarodějnická holka, co si hraje s ohněm, a kluk s vrabčím hnízdem na hlavě. Co to tu děláte?“ pokračovalo stvoření svým mohutným hlasem.

„M-m-my jsme se jen chtěli zahřát,“ zakoktala Terka, tentokrát už strachem a ne zimou.

„Ha! Zahřát! To jste se jen tak procházeli po horách, co?! Úplnou náhodou, no to určitě!.“

„My jsme sem byli, prosím, teleportováni,“ ujal se vysvětlování Jindra.

„Tele, cože? Porcovali jste tele? Kde máte tele? Já mám hlad!.“

Terka málem vyprskla smíchy, ale pak jí došlo, že ona s Jindrou by mohli nahradit požadované tele, a najednou jí všechna veselost přešla.

„'Teleport' je z latiny...“ řekla slabým hlasem.

„Vy umíte latinsky, a to se podívejme! A proč je každý palindrom sudé délky dělitelný jedenácti byste mi nepověděli?“ řekl neznámý obr ironicky.

Úloha č. 4

Palindrom je číslo, které čteno odzadu je stejné, jako čteno zepředu. Ukažte, že každý palindrom, který má sudý počet cifer, je násobek jedenácti.

V Terce zatrnulo a už se viděla mezi těmi obrovitými zuby, které se ve světle jejího plamínku zablýskly, ale Jindra zničeho nic vesele prohlásil: „Já latinsky neumím, ale tohle vím.“ A hned to taky vysvětlil.

„Huh,“ řeklo obřisko, které to očividně překvapilo „takže vy umíte matiku?“

„Jasně!.“ řekl nadšeně Jindra a i Terka přitakala: „Lepší než některá zaříkadla, upřímně.“

„Hmm, zajímavé, zajímavé,“ prohlížel si je dál, „takže vás neposlal černokněžník Murhak?“

„Kdože?“ řekli oba zmateně.

„Hou, takže vy ani nevíte, kdo je černokněžník Murhak?“

Oba zavrtěli hlavami.

„No to se podívejme... Vždyť to je černokněžník, který to tady celé ovládá! Jenom já a pár dalších se schováváme, aby nás nenašel. Už celá léta jsem z téhleté jeskyně nevylezl a živím se jen tím, co mi sem zrovna zabloudí.“ Když spatřil zděšení v Terčiných očích, rychle dodal: „Ale lidi nejím.“

„A kdo teda jste?“

„Já? No přece yetti, to mě ani nepoznáte?“ zeptal se smutně, „a kdo jste vy dva?“

„Já jsem Terka a učím se na čarodějku,“ řekla Terka.

„Já jsem Jindra a nic magického nejsem ani neumím,“ řekl Jindra.

„Tak to máš štěstí,“ poznamenal yetti, „černokněžník Murhak k sobě totiž přitahuje všechno magické a vysává tomu sílu, aby ji mohl použít sám. Proto se schovávám v jeskyni. Magii má on rád, ale nic jiného neuznává, dokonce svým služebníkům zakazuje, aby cokoli jiného používali. Proto jsem se vás zeptal na ty palindromy. Černokněžník a všichni, kdo ho poslouchají, by to totiž chtěli řešit magií!.“ Najednou se yettiho jinak smutná tvář rozzářila. „Je to pěkný hlupák, jednou jsme ho pořádně převezli.“

Úloha č. 5

Černokněžník Murhak zajal yettiho, trpaslíka a upíra. Řekl svému učni, aby na ně uvalil kletbu, aby mluvili pořád jen pravdu. Učeň je ale popleta, takže nejspíš nějaké zajatce zaklel, že pak jenom lhali. Yetti řekl: „Trpaslík lže a upír mluví pravdu.“ Trpaslík řekl: „Yetti mluví pravdu nebo platí, že upír mluví pravdu a já lžu.“ Upír řekl: „Já nebo yetti mluvíme pravdu. Zároveň trpaslík lže.“ Kdo z nich lže a kdo mluví pravdu?

„No, a než černokněžník našel správné zaříkadlo, tak jsme se zvládli dostat pryč!.“ řekl vítězně yetti a v očích mu zajiskřilo. „A teď mi můžete povědět o té záhadě, jak jste se sem dostali, aniž byste vůbec zaslechli černokněžníkovo jméno.“

A tak se Terka s Jindrou pustili do vyprávění. Během něj yettiho tvář čím dál tím víc vážněla. Na konci smutně zavrtěl hlavou: „Draci... to už tady dlouho nebylo. Obávám se, že Murhak bude to vaše dráče chtít vychovat tak, jak se mu zlíbí. A vlastní drak, to mu dá neskutečnou moc. Kdo ví, třeba pak už nebude chtít vládnout jen těmhle horám...“

„Tak to musíme dráče zachránit!.“ skočila mu do řeči Terka.

Yetti se na ní překvapeně podíval: „A jak bys to chtěla udělat? Taková žabka jako ty proti mocnému černokněžníkovi!.“

„Když je to takový hlupák, jak jsi ho líčil,“ namítl Jindra, „tak už něco vymyslíme.“

„A ty toho tolik víš, tak když nám pomůžeš, nějak to už půjde. Přece nechceš tady jenom sedět v jeskyni a čekat, až si pro tebe černokněžník přijde,“ snažila se ho přesvědčit Terka.

„No já nevím, nevím.“ Chudák yetti přes svou obrovitou postavu najednou vypadal hrozně sklíčeně a ztraceně. „Něco se udělat musí, to je jasné, ale proč bych to dělal já?“ Najednou ho něco napadlo: „Pomůžu vám, když projdete tuhle tabulku.“

Úloha č. 6

Yetti dal Terce a Jindrovi tabulku, která se skládala ze čtverce 5 \times 5 slepeného se čtvercem 3 \times 3, viz obr. zad361, a figurku. Dal jim za úkol projít tabulku figurkou tak, aby každé políčko navštívila právě jednou. Z políčka se může figurka posunout jen na takové, které s ním sousedí stranou. Začínat a končit může kdekoli, třeba i na různých políčkách. Jindra po chvíli prohlásil: „Vždyť to ale nejde!.“ Vysvětlete, proč měl pravdu.

„Takže nikam nejdu,“ řekl yetti, „už jsem starý a unavený.“

„A bojíš se,“ prohlásila kysele Terka.

„Taky by ses bála, kdybys věděla, do čeho jdeš,“ urazil se trochu yetti. Po chvíli dodal: „No ale aspoň se u mě můžete v klidu navečeřet a prospat, než vyrazíte zachraňovat toho svého okřídlence.“

Zavedl je dál do jeskyně, kde to sice nebylo kdovíjak luxusní, ale hořel tam útulný ohníček, na kterém si k jinak nepříliš bohaté večeři udělali čaj.

Úloha č. 7

V hrníčku na čaj měli 730 mililitrů vody o teplotě 22 stupňů, potom měli v kotlíku čajový odvar o teplotě 80 stupňů a ze skály vytékal pramínek, který měl 10 stupňů. Ideální teplota na pití čaje je 37 stupňů. Kolik čajového odvaru a kolik vody z pramínku mají do hrníčku přidat, aby v něm byl 1 litr tekutiny, který má 37 stupňů?

Po večeři yetti vyprávěl o tom, jak bylo v horách krásně, než je černokněžník ovládl. Jak na jaře kvetlo na tisíce různých kvítků, jak v létě vítr hladil zelenou trávu, na níž se pásli ovce a krávy, jak na podzim zežloutly modříny a zahalily paty hor do zlatého hávu, jak se v zimě, když bylo hezky, majestátně tyčily k modré obloze. Ale teď už dlouho na horách nebylo nic než zima, vítr a zlověstná znamení, protože ti se Murhakovi lépe ovládali než živoucí stvoření. A tak Jindra a Terka šli spát plni plánů, jak to černokněžníkovi vytmaví.