Zadání 2. série 38. ročníku

Termín odeslání: 28. 11. 2022

Pravidla pro odevzdávání řešení najdete zde. O tom, jak řešení sepisovat, si můžete přečíst zde nebo se podívat na video.

Adresa: Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8

Zadání je k dispozici také ve formátu pdf. K řešení některých úloh by se vám také mohlo hodit průvodní povídání, které najdete zde.

---

Zaklepání Terku vyrušilo z úklidu toho, co zbylo z lapače magie. Když otevřela dveře, zíral z nich na ni střapatý čahoun, který držel v rukách jakýsi kámen. „Ehm,“ řekl. „Mhm?“ odpověděla Terka. „Mno...“ odvětil návštěvník.

„Tak už ze sebe něco dostaň,“ ušklíbla se Terka, která se za prvé už zvládla vzpamatovat z toho, že s někým mluví, a za druhé si potřebovala na někom vylít vztek z rozbitého lapače.

„Já jsem chtěl mluvit s čarodějkou,“ řekl ten kluk nejistě. Rozcuchaná holka s hadrem v ruce naproti němu nevypadala ve zvlášť dobré náladě, což jeho odvahu mluvit zrovna nepovzbudilo.

„O čempak?“

„Eee... Ty nevypadáš jako čarodějka.“

„To neznamená, že nejsem,“ odsekla Terka jedovatě.

„A, a, a jsi?“

„Tady vedle dveří je cedulka 'Bába Ryklová, čarodějka', vidíš?“ nedala se Terka. Jindra se na chvíli zarazil a prohlížel si obrázek na cedulce.

Úloha č. 1

Na obrázku byla tabulka 8 \times 8, která byla téměř celá vyskládaná L-triominy (obr. zad211). Některé byly i otočené. Zbylo jen jedno nezakryté políčko. Kde v tabulce může toto políčko zbýt? Určete všechny možnosti.

„Ale to neznamená, že ty jsi bába Ryklová,“ namítl nesměle Jindra.

„No dobře, já se na čarodějku teprve učím, bába se vrátí tak za hodinu nebo dvě,“ přiznala Terka, kterou docela překvapila Jindrova schopnost poznat, co mu doopravdy říká.

„Fajn, třeba mi stejně zvládneš poradit. Tenhle ehm... kámen jsem, ehm, našel v lese a, ehm, přijde mi trochu, ehm, zvláštní.“ Jindru začala opouštět odvaha. Když to řekl nahlas někomu, kdo dával pozor, tak to najednou znělo trochu divně.

Terka zlehka přejela prsty po kameni, který Jindra držel v náručí, a oči se jí narovnaly. Sice nebylo nic vidět, ale cítila jemné drnčení. „Kdy jsi ho našel? Co jsi s ním dělal?“

„Asi před půl hodinou. Spolužák do něj kopl a říkal, že je horký, ale když jsem na něj potom sáhl, tak mě nepálil ani trochu. A taky mi přijde, že se mění, jak vypadá,“ začal vysvětlovat Jindra, kterému právě svitla naděje, že ze sebe neudělal naprostého blázna. „Podívej, třeba tyhle dvě čárky byly ještě před chvílí úplně jiné, ale teď vypadají stejně dlouhé.“

Úloha č. 2

Jindra Terce ukázal obrazec jako na obrázku zad221. Některé délky úseček jsou stejně dlouhé. Dokažte, že délka a je stejná jako délka c.

„Před půl hodinou? Tak to hodně vysvětluje. Pojď dovnitř,“ pozvala Terka Jindru dál.

Jindra se v čarodějnické chalupě nesměle a opatrně rozhlížel. Kdo ví, co může na takovém místě číhat? Také se trochu bál, aby něco nerozbil. Na poličkách mezi lektvary a sušícími se bylinkami ležely nejroztodivnější předměty, na stěnách visely různé mapy, nákresy a nápisy. Například jedna stěna byla skoro celá popsaná čísly, což Jindru velmi zaujalo.

Úloha č. 3

Na stěně je za sebou napsáno 2\,500 různých čísel. Pro každé z nich platí, že když si ho Jindra vybere a podívá se na předcházející čísla, počet těch, která jsou větší než vybrané číslo, se liší nejvýše o jedna od počtu těch, která jsou menší. Jindra zjistil, že 84. číslo je větší než 222. číslo. Které číslo je větší, 83. nebo 2022.?

„No tak, přestaň zírat na ta čísla,“ vytrhla ho Terka ze zamyšlení, „ta teď potřebovat nebudeme.“

„A co budeme potřebovat?“

„Určitě spoustu věcí, ale pro začátek potřebuju najít jednu bichli, abych se ujistila, jestli ten tvůj kámen je opravdu to, co si myslím.“

„To je co?“ zeptal se zvědavě Jindra. Terka pro efekt chvíli tajemně mlčela a pak prohlásila: „Dračí vejce.“

„Och.“ Jindra byl rád, že měl s „kamenem“ přece jen pravdu. „Víš toho o dracích hodně?“

„Víc než ty. Teď to vejce nech tady na sluníčku, ať je mu pěkně teplo a pojď mi pomoct najít tu knihu,“ řekla Terka, které se nechtělo přiznat, že odpověď je zcela jednoznačně ne.

Když vešli do knihovny, Jindrovi se nechtělo věřit vlastním očím. Bába Ryklová platila za skvělou kořenářku, pro její lektvary, odvary a obklady si chodili lidé z širokého okolí. O lesích, skalách, rostlinách, zvířatech a lidech toho věděla děsivě hodně. Ale třeba učitel ve škole ji svým žákům za příklad nedával, protože ji měl za venkovanku, které se sice občas povede nějaký trik, ale jinak neumí pořádně ani číst, ani počítat. Ale tady, v zadní místnosti malého domku, kam návštěvníci nikdy nechodili, byly knihy vyskládané od podlahy až ke stropu v regálech, mezi nimiž Jindra s Terkou sotva prošli. A nebyly to jen knihy o magii, nýbrž i o medicíně, biologii, geologii, dokonce Jindra zahlédl i knihy o matematice.

„No,“ rozhlédla se kolem sebe Terka, „ta kniha by měla být ve 43. polici, ale to by nebyla bába, aby mi to nezkomplikovala.“

Úloha č. 4

Bába Ryklová police ve své knihovně číslovala následujícím způsobem. Na první napsala 1, na druhou 3. Na každou další potom napsala součet čísla předchozí police a šestinásobku čísla předpředchozí police (tedy například třetí police má číslo 3+6\cdot 1 = 9). Ukažte, že 43. police má číslo, které je třetí mocninou nějakého přirozeného čísla.

Když konečně našli správnou polici, Terka z ní vytáhla tlustou knihu v ozdobné kožené obálce, na níž bylo napsáno „Vše o dracích“.

„Hmmm,“ řekla Terka po chvíli listování a ukázala na ilustraci, která na stáří knihy byla neuvěřitelně živá a realistická, „tohle vypadá dost jako tvůj kámen, co?“

„Úplně!.“ řekl Jindra nadšeně.

„A takhle vypadaly ty čáry, o kterých jsi mluvil?“ ukázala Terka na další obrázek.

„Jo.“

„To znamená, že se vylíhne za... přibližně... ehm... kdy jsi je viděl?“ zeptala se Terka trochu nervózně.

„Tak před čtvrt hodinou, já nevím.“

„... mínus pět minut.“ Podívali se po sobě a v ten okamžik se ozval z vedlejší místnosti rachot, jak něco padalo. Oba se tam hned rozběhli.

„Ale néé,“ zaúpěla Terka, „bábina krychle! Ta se bude zlobit. Proč se dneska všechno rozbíjí?“

Šupinaté, křídlaté stvořeníčko sedělo mezi rozsypanými krychličkami a spokojeně žvýkalo.

„Co se stalo?“ podivil se Jindra.

Úloha č. 5

„Bába měla krychli složenou z menších krychliček. Celý její povrch nalakovala. Jak tak koukám, dráčeti ten lak chutnal, tak snědlo všech 488 nalakovaných krychliček,“ vysvětlila Terka. Z kolika krychliček byla poskládaná původní krychle?

Dráče spokojeně říhlo a vypustilo z nozder proužek dýmu. Když ho Terka vzala, aby ho odnesla z té spouště pryč, jalo se ji oblizovat. Když ho chtěla znova položit, pevně se jí chytlo drápkama, vypísklo a začalo lízat ještě víc.

„Co proboha chce?“ řekla nešťastně Terka.

„Netvářila ses, že o dracích něco víš?“ popíchl ji Jindra, kterého celá scéna zjevně bavila.

Terka po něm naštvaně loupla okem. „No aspoň jsem poznala dračí vejce! Tohle je až v poslední kapitole mojí učebnice čarodějnictví! Víš kolik hloupých zaříkadel je před tím? A přestaň tady tak stát a dones mi tu knihu!.“

Jindra se nechal oblomit a po krátkém čtení zjistil, že si dráče myslí, že Terka je jeho máma, a že má hlad.

„Vždyť právě snědlo hromadu krychliček!.“ stěžovala si Terka, ale nakonec poslala Jindru pro pár kostek uhlí, které dráče okamžitě spucovalo. Potom se stočilo do klubíčka a usnulo, takže Jindra měl čas Terce povyprávět o tom, jak vejce našel.

„Když do něj tvůj spolužák kopl,“ řekla Terka jen co domluvil, „začalo se nejspíš bránit, tak ho spálilo. A tenhle závan magie mi rozbil lapač,“ dodala hořce. „Je super vidět dráče, ale teda dělá mi pěkné problémy. Nejdřív lapač, pak ta krychle. Uklízet lapač je fakt otravný.“

Úloha č. 6

Terce zbyly úlomky pláště, které se pokusila dát do úhledných hromádek. Když je ale dala na hromádky po deseti, zbyly jí tři navíc. Když je dala na hromádky po sedmi, zbyly jí dva, když po devíti, zbyl jeden. Pak to Terku přestalo bavit a řekla si, že jich je míň než 500 a víc ji teď nezajímá. Kolik úlomků pláště Terka měla?

Když to Jindra dopočítal, ozval se šustivý zvuk, jak si dráče protáhlo křídla a hups, napůl vyletělo, napůl vyskočilo otevřeným oknem ven do zahrádky. Tam chvíli čenichalo a ožužlalo pár bylinek, než se k němu ale Terka s Jindrou dostali, už si to poskakovalo a popolétávalo vzhůru do kopce lesem za zahrádkou. Ačkoli se pohybovalo dost chaoticky a bylo poznat, že svoje nožičky ani křidélka ještě moc neumí používat, bylo dost rychlé, takže i s občasným čenicháním za ním Jindra a Terka jen supěli. Najednou zděšeně vykvíklo, zapištělo jak parní lokomotiva a rozletělo se neskutečnou rychlostí, jak kdyby ho něco táhlo, ke skále na vršku kopce. V té se najednou objevila temná škvíra a nad ní se vznášel v jasném dni dobře viditelný útvar.

Úloha č. 7

Byl to komolý pravidelný čtyřboký jehlan, jehož spodní podstava měla hranu délky 10\,{\rm cm}, horní 4\,{\rm cm} a délka boční hrany byla 5\,{\rm cm} (obr. zad271). Jaká byla jeho výška?

„To je zlé znamení!.“ vykřikla Terka, zatímco dráče zmizelo ve škvíře.

Možná by bylo rozumné, aby se v ten okamžik Terka zastavila, našla bábu Ryklovou a poradila se s ní, co dál. Možná není rozumné vrhat se do zlověstné temnoty, nad níž se vznáší znak zla. Jenže Terka si za tu chvíli dráče oblíbila a její první instinkt byl ho zachránit. A tak se naprosto bez rozmyslu protáhla do pomalu se uzavírající škvíry za ním. Jindrovi to všechno přišlo ohromně vzrušující, takže Terku s ještě menším rozmyslem následoval.

Celé to trvalo sotva minutu. Jen co Jindra zmizel, škvíra ve skále společně se znamením zmizela stejně nenápadně, jako se objevila. Vítr dál šuměl ve větvích, jen pár stop ve spadaném listí dávalo poznat, že tu před chvíli někdo byl.