Průvodní povídání 1

Thaletova kružnice a Pythagorova věta

\def\cm{{\rm \,cm}} Průvodní povídání je také k dispozici ve formátu pdf.

Milí pikomaťáci,

vítáme vás u prvního průvodního povídání, ve kterém si představíme Pythagorovu větu a Thaletovu kružnici. Nově nabyté poznatky se vám budou hodit nejenom k řešení jedné z úloh této série, ale bezesporu i k řešení jiných geometrických problémů a také k výpočtům délek stran trojúhelníků. Přejeme vám spoustu zábavy při čtení tohoto textu a hodně zdaru při řešení příkladů.

Definice: Pravoúhlý trojúhelník je trojúhelník, který má jeden vnitřní úhel pravý. Stranu naproti pravému úhlu budeme nazývat přepona a zbývající dvě strany odvěsny.

Pythagorova věta

Označme délky odvěsen pravoúhlého trojúhelníku a a b a délku přepony označme c. Potom vždy platí

a^{2} +b^{2} = c^{2}.

Důkaz: Na obrázku obr11 vidíme dva čtverce o straně a+b, ze kterého jsou různými způsoby odstřiženy 4 stejné pravoúhlé trojúhelníky s odvěsnami a a b a přeponou c. V prvním případě je zbytkem čtverec o ploše c^{2}, v druhém případě zbydou dva čtverce o ploše a^{2} a b^{2}. Šedá plocha v prvním načrtku musí být stejná jako plocha na druhém. Tedy c^{2} = a^{2} + b^{2}.

Příklad: Jakou délku má přepona pravoúhlého trojúhelníku, jehož odvěsny mají délku 6 a 8?

Řešení: Když dosadíme do Pythagorovy věty za a a b hodnoty 6 a 8, získáme c^{2} = 6^{2} + 8^{2} = 36 + 64 = 100. Po odmocnění obou stran získáme c = 10, což je hledaná délka přepony.

Příklad: Vypočítejte obsah rovnostranného trojúhelníku s délkou strany 2.

Řešení: Abychom spočítali obsah, musíme znát délku výšky. Jelikož je trojúhelník rovnostranný, pata výšky půlí stranu. Můžeme si proto vzít polovinu trojúhelníku (rovnostranný trojúhelník přepůlený výškou), o kterém víme, že je pravoúhlý s přeponou délky 2 a s jednou odvěsnou délky 1. Délku druhé odvěsny označíme v jako výška. Z Pythagorovy věty vyplývá rovnost

2^{2} = 1^{2} +v^{2}.

Z ní vypočítáme hodnotu v a poté obsah onoho rovnostranného trojúhelníku:

\eqalign{v^{2} &=4 - 1 ,\cr v &= \sqrt{3}, \cr S &= 1/2 \cdot a \cdot v = 1/2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}.}

Thaletova kružnice

Mějme kružnici k a její průměr AB. Pak pro každý bod C různý od A, B na kružnici k platí, že úhel ACB je pravý (obr. obr21).

Důkaz: Střed kružnice k označme S, velikost úhlu CAS označme \alpha. Trojúhelník ASC je rovnoramenný, protože délky AS a CS jsou rovny poloměru kružnice. Z toho vyplývá, že velikost úhlu ACS je také \alpha. Velikost úhlu CSA musí být 180^{\circ} - 2\alpha (součet vnitřních úhlů trojúhelníku je 180^{\circ}), velikost úhlu CSB tedy je 2\alpha (doplněk do 180^{\circ} pro přímý úhel ASB). Jelikož je trojúhelník CSB také rovnoramenný, bude velikost úhlu SCB rovna 180^{\circ} - 2\alpha/2 = 90^{\circ} - \alpha. Velikost úhlu ACB spočítáme jako součet velikostí úhlů ACS a SCB a vyjde nám \alpha + 90^{\circ} - \alpha = 90^{\circ} .

Příklad: Je dána úsečka AB. Sestrojte trojúhelník ABC, pokud víte, že |AB| = 6 \cm, |BC| = 7 \cm, v_{a} = 3 \cm.

Řešení: Nejdříve sestrojíme úsečku AB, potom sestrojíme kružnici k nad průměrem AB. Když označíme P patu výšky z vrcholu A, tak P musí ležet někde na k. Dále sestrojíme kružnici l se středem A a poloměrem 3 \cm. Tam, kde l protne k, leží P. Sestrojíme přímku q procházející body P a B. Bod C leží na q a je ve vzdálenosti 7 \cm od bodu B. Vzniknou celkem 4 řešení, přitom dvě a dvě jsou jen zrcadlově převrácená podle AB.

Příklad: Mějme kružnici k se středem S a libovolný bod P, který neleží uvnitř nebo na k. Sestrojte tečnu t ke kružnici k procházející bodem P.

Řešení: Bod dotyku tečny s kružnicí k nazveme T. Trojúhelník STP musí být pravoúhlý, protože tečna t je kolmá na poloměr ST. Bod T tedy bude průsečíkem zadané kružnice k s Thaletovou kružnicí nad průměrem SP. Nakonec jen sestrojíme přímku PT. Dostaneme dvě řešení, která jsou zrcadlově převrácená podle SP.