Zadání 1. série 38. ročníku
Termín odeslání: 10. 10. 2022
Pravidla pro odevzdávání řešení najdete zde. O tom, jak řešení sepisovat, si můžete přečíst zde nebo se podívat na video.
Adresa: Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8
Zadání je k dispozici také ve formátu pdf. Tam také naleznete průvodní povídání, které vám s jednou z úloh této série pomůže, nebo si ho přečtěte zde.
Zaklapnout knihu, strčit ji pod stůl a otevřít knihu zaříkadel, co leží hned vedle. Tuhle věc si Terka nacvičila až moc dobře, protože měla moc ráda všelijakou dobrodružnou literaturu, bába Ryklová by řekla smetí. Zato učení se nazpaměť vůbec ráda neměla. Jenže přesně to po ní ta stará čarodějnice Ryklová chtěla. Ono magie a zaříkání zní tak tajemně a zvláštně, dokud o nich člověk nic neví. Jenže když se má každý týden naučit dvacet nových zaříkadel, je to najednou docela obyčejná dřina.
Úloha č. 1
Například během odříkávání jednoho zaříkadla bylo potřeba si všemi možnými způsoby obléct černou, šedou, bílou a červenou rukavici, modrý, zelený a žlutý prsten a 4 různé čepice, aby na sobě měl člověk vždy právě jednu rukavici, jeden prsten a jednu čepici. Nesmí na sobě ale mít naráz šedou rukavici a zelený prsten. Kolik způsobů oblečení je potřeba během zaříkání vystřídat?
Ozvaly se šoupavé kroky a během chvilky už se bába dívala svýma pronikavýma očima na Terku, jak předstírá ponoření do textu před sebou.
„To je zajímavé, že jsi ještě nedočetla stránku,“ zakrákorala.
„Já se to snažím opravdu pochopit, ne jen se to nabiflovat nazpaměť,“ odsekla pohrdavě Terka.
„No, tak už těch zaříkadel pro dnešek nech, snad se od nich zvládneš odtrhnout,“ ušklíbla se Ryklová. O knížkách pod stolem toho možná věděla dost, ale nechávala si to pro sebe. Snad ji Terčino předstírání i bavilo. „Dneska jsem tě chtěla naučit ještě něco jiného.“
„Tak jo,“ řekla Terka, ale nebylo v tom ani za mák nadšení. Oproti „něčemu jinému“ byla zaříkadla ještě dobrá. Posledně se ji stará čarodejnice snažila naučit péct. Kdo by to byl řekl, že k magii patří taková věc jako pečení?
Úloha č. 2
Terka s bábinou pomocí upekla kruhový koláč o průměru 40 centimetrů. Pak se ale ukázalo, že je potřeba ho dát na obdélníkový plech o rozměrech 30 \times50 centimetrů. Terka musela část koláče sníst, aby se na plech vešel. Sníst z něj mohla jen nějakou kruhovou výseč, protože se jí ale do jezení vlastního výtvoru moc nechtělo, snědla z něj nejmenší možnou část. Jaký byl úhel této výseče?
„Tak začneme,“ přitáhla si bába židli, „budeme dělat lapač.“
„Lapač čeho jako?“
„Kdybys mi neskákala do řeči, už to víš. Budeme dělat lapač magického chvění. Spíš by se tomu mělo říkat detektor, ale to je moc moderní.“
„Mně to teda přijde docela dobrý.“
„Tobě možná, protože tomu nerozumíš. Nejdřív je potřeba vyplnit tyhle šestiúhelníky.“
Úloha č. 3
Bába vytáhla papír se šestiúhelníky a několika čísly jako na obrázku. Mají se vyplnit čísly od 1 do 19 tak, aby v každém sloupci a na každé diagonále byl součet 38. Jak to má Terka udělat?
„Už to mám,“ zahlásila hrdě Terka. Lapače zatím vypadaly zábavněji než dorty.
„Dobře. Tak se dáme konečně do práce. Co víš o magickém chvění?“
„Tohle nebyla práce?“ poklesla Terce nálada.
„To bylo úplně k ničemu, jen jsem potřebovala, aby ses přestala tvářit tak kysele.“
„Že to říkáte zrovna vy,“ utrousila Terka.
„Tak co to chvění?“
„Magické chvění je přírodní zdroj magie. Jeho využití může být mocné, avšak zrádné, neboť se může chovat nevypočitatelně a jeho výkyvy můžou v prováděném kouzlu způsobit značné škody. V roce...“
„Stačí,“ zastavila bába Terčinu monotónní recitaci, „takže, jak jistě chápeš, když ho chceš používat, musíš nejdřív poznat, kolik ho kolem tebe je. Takže jdeme na ten lapač. Je to trochu složitější, bude se skládat ze záchytného pláště a jádra.“
Úloha č. 4
Záchytný plášť lapače má tvar pyramidy se čtvercovou podstavou, jejíž zbylé stěny jsou rovnostranné trojúhelníky. Každá hrana pyramidy má délku 20\,{{\rm cm}}. Do pyramidy je vloženo jádro ve tvaru krychle tak, aby jedna jeho stěna ležela na podstavě pyramidy a vrcholy protější stěny ležely na hranách bočních stěn pyramidy. Zjistěte objem krychle, aby ho mohly bába s Terkou vyrobit.
Následovala značně pracná a nudná část vyrábění jádra, zpestřená jen bábiným popichováním a hodnocením, jak kterou část Terka zvládla.
Úloha č. 5
Bába u každé části výroby určí, kolik nejvýše bodů za ni Terce dá. Terka je se sebou spokojená, když dostane od báby aspoň 80\,\% z celkového počtu bodů. Zatím udělala čtyři části jádra, za každou mohla dostat 30 bodů. Získala z nich ale celkem jen 75 bodů. Ještě zbývá dát všechno dohromady, výsledný výtvor pak bába ohodnotí nejvýše 45 body. Kolik nejméně bodů za výsledný výtvor Terka musí získat, aby se sebou byla spokojená?
„A teď plášť,“ prohlásila energicky stařena. Terka si tiše povzdychla. Tohle bude ještě dlouhé odpoledne...
Když si druhý den Terka prohlížela svůj výtvor, musela uznat, že vypadá spíš jako stavba pětiletého dítěte než magický předmět. Ryklová byla zrovna pryč, a tak by si mohla číst, na druhou stranu dostala za úkol si párkrát lapač vyzkoušet. A to se na rozdíl od zaříkadel neokecá. Tak dobře, tohle trochu stlačí, pootočí... Ale ne, to mělo být doprava. Tak znova. Stlačí, pootočí, zamumlá zaříkadlo. „Tak už funguj,“ řekla otráveně Terka. A pak už zůstala jen bezhlesně zírat. Po chvíli se vzpamatovala dost na to, aby zašeptala: „Tak to byl teda výkyv.“
Jindra se loudal lesem v hovoru s přáteli. Teda, musel uznat, že se spíš loudal lesem a poslouchal, jak se mezi sebou jeho známí baví. Bylo by divné nemít za kým jít ve škole o přestávce, a tak si udržoval alespoň vlažné vztahy s některými svými spolužáky, ač o to moc nestál ani on, ani oni. Vůbec, mluvit s lidmi bylo pro Jindru vždycky složité, radši se toulal sám ve svých myšlenkách.
Úloha č. 6
Jindra přemýšlí o třech přirozených číslech. Největší z nich je 38. Zbylá dvě jsou taková, že nejmenší společný násobek všech tří čísel je největší možný. O kterých číslech Jindra přemýšlí?
Zrovna když už to Jindra skoro měl, strčil ho Sam do žeber: „Posloucháš nás ty vůbec?“
„Hm? Cože? Ne,“ byla zcela upřímná odpověď.
„Zrovna jsem říkal,“ řekl Petr nahlas, jako by byl Jindra nahluchlý, „že by bylo fakt hodně blbý, kdybych dostal z úkolu už šestou pětku za sebou. Tak bys mi s tím mohl trochu helfnout, hm?“
„No dobře.“ Snažit se, aby Petr se Samem uznali, že úkoly by se neměly opisovat, bylo jako přesvědčovat skálu, aby se zvedla a uhnula z cesty. Třeba támhle jeden takový tvrdohlavě se tvářící kus čediče čouhá, napadlo Jindru.
„Jé, co to je za kámen?“ vyjekl najednou a seběhl kousek z cesty. Mezi černošedými skalami a jejich ostrými úlomky ležel docela oblý a hladký kámen, několik desítek centimetrů široký. Zatímco okolní kameny byly zašlé, hrubé a zapadané podzimním listím, tenhle se černě leskl na slunci. „Takhle přece čedič nevypadá!.“
„Ale simtě, vždyť to je jenom kámen, tak nemusíš taky dělat takový povyk,“ zatvářil se pohrdavě Sam a kopl do kamene. „Au! Ten kámen je horký!.“
„Mně přijde docela normální, nepálí,“ sáhl si na něj Jindra.
„No to dává smysl, že je horký, když ležel na slunci,“ ignoroval ho Petr.
„Není to divné, jak je ten kámen hladký? Takhle přece normálně kameny nevypadají,“ nenechal se odradit Jindra.
„Tak ho sem třeba někdo dal, no, to je toho. Pojďte už,“ řekl Petr a zatáhl Sama, který se pořád ještě držel za spálenou nohu, na cestu. „Klidně si tady zůstaň se svým kamenem, jen mi pak dones ten úkol, simtě, fakt bych to potřeboval.“
A byli pryč. Jindra byl vlastně rád, že odešli. Ten klid. Když si znovu prohlížel kámen, přišlo mu, že pod jeho povrchem vystupují jakési oblouky a čáry.
Úloha č. 7
Jedna z čar byla kružnice s poloměrem 6\,{{\rm cm}}. Její střed si Jindra označil S. Na této kružnici byly dva body, které si označil A a B. Těmi totiž procházela jiná kružnice, která procházela i S a zároveň úsečka AB byl její průměr. Jak dlouhá je úsečka AB?
A jak tak Jindra seděl a přemýšlel, čáry vystupovaly víc a víc. „Možná bych o tom mohl někomu říct,“ zamumlal. Rád by, aby o kameni věděl ještě někdo jiný. Možná měli Petr a Sam pravdu a jen si to představuje, ale stejně... Tak moc chtěl mít někoho, koho by to aspoň zaujalo. „Jestli v tom je nějaká magie, tak je jasné, kam jít,“ oznámil lesu a rozhodným krokem zamířil do vesnice.
