Zadání 1. série 36. ročníku

Termín odeslání: 12. 10. 2020

Pravidla pro odevzdávání řešení najdete zde. O tom, jak řešení sepisovat, si můžete přečíst zde nebo se podívat na video.

Adresa: Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8

Zadání je k dispozici také ve formátu pdf.

Nástiny řešení


„Kde to jsem? Jak jsem se sem dostala? Co to proboha mám na sobě?“ To právě Aida přišla k sobě. Absolutně netušila, kde se nachází. Svět kolem ní byl tak zvláštní. Všude byla samá čísla, a když tam nemohla být čísla, byly tam aspoň geometrické tvary a útvary. Na sobě měla zvláštní geometrické šaty poseté čísly. Hlavní motiv na jejích šatech byl pětiúhelník se spoustou čísel, z nichž většina nebyla čitelná. K pětiúhelníku však byla připsaná zajímavá poznámka, což ji zaujalo. Navíc se jí prý bude součet čísel ve vrcholech hodit.

Úloha č. 1

Pětiúhelník má ve vrcholech čísla, která nejdou přečíst. Na každé straně je napsané číslo, které odpovídá součtu čísel v krajních bodech této strany, od něhož jsme odečetli číslo v protějším vrcholu (obr. zad111). Tím dostaneme postupně výsledky 1, 2, 3, 4, 5. Zjistěte součet čísel ve vrcholech.

To nebylo tak snadné. Ale nějak se jí povedlo to dopočítat. No jo, ale k čemu se to bude hodit? Nemohla na to přijít. A jak nad tím tak přemýšlela, potichu si to číslo pobrukovala. Když ho vyslovovala pošestnácté, opodál se zjevil klučina. Byl malý a když se podíval jejím směrem, radostně se rozesmál. Aida se lekla, co chce. Ukázalo se, že chtěl natrhat geometrické útvary ze stromu vedle ní. Na stromě rostly kruhy, trojúhelníky, čtverce a šestiúhelníky a on si je začal trhat.

Když si jich natrhal plný koš, začal se mračit. Pak si všimnul Aidy a hned toho využil, aby mu poradila s problémem, který se mu vylíhl v hlavě.

Úloha č. 2

Arnoštek má čtverce, pětiúhelníky a šestiúhelníky. Čtverce dohromady, pětiúhelníky dohromady i šestiúhelníky dohromady mají stejně stran. Kolik nejméně útvarů mohl Arnoštek mít?

Odpověď se mu evidentně zamlouvala, a tak poděkoval a dal Aidě za odměnu osmistěn. Byl to prý model planety, na které se nacházejí. Také se zmínil, že pokud půjde doprava, tak se na první křižovatce dostane do středu jedné hrany. A ve středu protější hrany je vstup do města \pi, kde bude brzy párty, kterou by si neměla nechat ujít. Měla by si radši najít co nejkratší cestu. Moc mu nevěřila, ale rozhodla se to risknout.

Úloha č. 3

Najděte délku nejkratší cesty mezi středy protějších hran pravidelného osmistěnu, pokud lze jít jen po povrchu osmistěnu (obr. zad121). Hrana osmistěnu má 4~cm.

Hned jak přišla na to, kudy jít, vydala se na cestu. Když dorazila k městu, už byla tma. U vstupu potkala malou holčičku. Holčička seděla nad mapou a snažila se něco najít. To Aidu zaujalo, a tak se holčičky zeptala, aniž si stihla uvědomit, že ji vůbec nezná: „Co hledáš?“

Holčička k ní vzhlédla a bez váhání odpověděla: „Snažím se najít místo, kde si udělat stanoviště, aby to ke mně měli všichni kamarádi stejně daleko. Ale vůbec nevím jak na to. Pomůžeš mi, prosím?“

Aida se pro problém nadchla a hned se do toho s holčičkou vrhla.

Úloha č. 4

Mapa města \pi je čtvercová síť, kde ulice jsou čáry této sítě. Délka strany čtverce je 10~m. Chodit se smí pouze po ulicích. Vzdálenost dvou bodů na mapě je tedy ta, kterou mezi nimi musíme ujít ulicemi. Najděte bod X, ze kterého je vzdálenost do bodů A, BC stejná (obr. zad141). Bod X musí ležet na křižovatce ulic nebo na některé ulici.

Pokud takový bod neexistuje, vysvětlete. V případě, že jich existuje více, nalezněte všechny. Odůvodněte také, že jste našli všechna řešení.

„Díky za pomoc, Aido,“ poděkovala holčička. Aida nechápala, jak ví, jak se jmenuje, ale než se stihla zeptat, holčička pokračovala. „Jsi tu brzo, párty je až zítra. Pojď ke mně. Můžeš tam přespat a zítra tě doprovodím na tu párty. Jinak, já jsem Eleanor.“

Aida byla moc ráda, že si může odpočinout po celodenní túře. Takže jen co si lehla, tak usnula. Ve spánku se jí zdál zajímavý sen o tom, že se stala návrhářkou a navrhuje placku pro matematický korespondenční seminář.

Úloha č. 5

Pikomat si dělá svoji placku. Designéři se rozhodli, že na ní bude pravidelný šestiúhelník, který bude mít vyznačené vrcholy, strany, střed a spojnice středu s vrcholy. Do středu a vrcholů chtějí umístit písmena P, I, K, O, M, A, T tak, aby písmena, která sousedí v názvu „Pikomat“, byla na placce spojena některou z vyznačených úseček. Protože je to matematický seminář, rozhodli se dát „M“ doprostřed (obr. zad151). Kolik navzájem různých takových placek je možno vyrobit? Všechna písmena jsou stejně orientovaná.

Zbytek noci se jí nic nezdálo, nebo si to alespoň nepamatovala. Když se ráno probudila, vydala se do vedlejší místnosti, odkud vycházela hezká vůně. Linula se z hrnce, ve kterém se vařila prvočíselná polévka. Na zemi sedělo batole, které si hrálo s kostkami a stavělo z nich pyramidu. To Aidu dovedlo k zajímavé úvaze.

Úloha č. 6

Batole si staví pyramidu z kostiček (obr. zad161). V nejvyšším patře je jedna kostička, v druhém nejvyšším tři, ve třetím jich je pět a tak dále. Ať udělá, kolik pater chce, vždy na pyramidu využije počet kostiček roven druhé mocnině nějakého přirozeného čísla. Proč je tomu tak?

Než si stihla svou teorii ověřit, ve dveřích se objevila Eleanor. „Ty už jsi vstala? Bylo načase. Musíme vyrazit,“ rychle na ni vychrlila a už ji táhla za ruku ven z příbytku. Aida už se radši ani neptala a poslušně ji následovala. Stejně jí nic jiného nezbývalo. Když už byly těsně před parkem, kde se měla odehrávat oslava, Eleanor se najednou zastavila. Podívala se na Aidu a prohlásila: „Ještě tě musím varovat. Ne každý si chce podávat ruce, takže je dost možné, že si nepodají ruce všichni. Dokonce jsme párkrát řešili, zda se nám může stát, že si každý podá ruce s jiným počtem lidí, ale nikdy jsme to nedořešili. No, to je jedno. Jdem tam a hlavně se na nikoho udiveně nedívej, nemají to rádi.“

Jenže Aidě nešla otázka o podávání rukou z hlavy, a tak pořád přemýšlela, jestli to možné je.

Úloha č. 7

Na oslavě se sešlo 10 lidí. Každý si podal ruce s nějakým počtem lidí, s každým nanejvýš jednou. Může se stát, že si někdo nepodal ruku s nikým. Může nastat situace, že si každý podal ruku s jiným počtem lidí?

Do řešení se zabrala natolik, že si ani nevšimla, co je na všech nezvyklého.