Nástiny řešení 1. série
Nepodařilo se Vám pohnout s nějakou úlohou? Rádi byste se podívali, jak se měla řešit, ale nechcete čekat na vzorová řešení? Právě proto jsme pro Vás připravili tyto Nástiny řešení. Ale pozor! Jsou to pořád jenom nástiny, pro řešení se inspirujte u normálních vzorových řešení s výsledky a úplnými důkazy.
Úloha 1: Můžeme sečíst čísla na všech stranách a podívat se, kolikrát jsou v tomto součtu čísla u vrcholů. Každý vrchol sousedí se dvěma stranami a je naproti jedné straně, takže se dvakrát přičte a jednou odečte. Ve výsledku je tedy součet čísel u stran stejný jako součet čísel u vrcholů.
Úloha 2: Celkový počet stran musí být rozdělitelný na čtverce, pětiúhelníky a šestiúhelníky, musí být tedy dělitelný čtyřmi, pěti i šesti. Když najdeme nejmenší takové číslo a spočítáme odpovídající počty jednotlivých útvarů, dostaneme se ke konečnému výsledku.
Úloha 3: Plášť osmiúhelníku je tvořený rovnostrannými trojúhelníky. Pokud si jej rozložíme do roviny tak, aby se hledané body daly spojit úsečkou přes trojúhelníky, tato úsečka je naší nejkratší cestou.
Úloha 4: Abychom našli bod, který je od A, B i C stejně daleko, musíme zjistit, které všechny body jsou stejně daleko například od A a C. Můžeme rychle nalézt dva takové body v polovinách nejkratších cest mezi A a C. To stejné platí i pro body nahoru od pravého z nich a dolů od levého, a pro žádný jiný. Obdobně se podíváme, které body vyhovují libovolné jiné dvojici, a označíme jediný bod, který vyhovuje oběma.
Úloha 5: Můžeme písmena umisťovat postupně od P a počítat, z kolika možností si vybíráme: P má 6 možností (vrcholy šestiúhelníku), I má dvě (vedle P), písmena K a O mají jen jednu možnost, A má dvě (jedno ze dvou volných polí) a T jednu. Počet možností každého výběru nezávisí na tom, kam jsme umístili ostatní písmena, a žádnou možnost jsme nevytvořili dvakrát, celkový počet možností získáme vynásobením počtů možností jednotlivých písmen.
Úloha 6: Jednou možností, jak úlohu řešit, je napsat si počet kostiček jako aritmetickou posloupnost (tedy řadu čísel za sebou takovou, že mezi každými dvěma čísly je vždy stejný rozdíl), která se dá sečíst. O něco pěknější metoda je ale vzít všechny kostičky napravo od středu, obrátit je a přesunout doleva tak, aby vznikl čtverec.
Úloha 7: Nejvyšší počet lidí, se kterými si kdokoli mohl podat ruce, je 9 (všichni ostatní). Aby si každý podal ruku s jiným počtem lidí, musel si někdo podat ruku s 9, 8, \ldots i 0 lidmi. Pokud si ale jeden člověk nepodal ruku s nikým (0), tak si ji nepodal ani s tím člověkem, který by podal ruku se všemi, takže tato situace nemohla nastat.
