Matboj -- vzorové řešení

Úloha 1. Nejprve si uvědomíme, že pokud lze lichoběžníku opsat kružnici, tak musí být rovnoramenný. Střed kružnice opsané totiž musí ležet na osách stran lichoběžníka, a proto osy dvou rovnoběžných stran splývají. To ale znamená, že délky úseček AE a BF jsou shodné a tudíž daný lichoběžník je rovnoramenný.

Z Pythagorovy věty určíme vzdálenosti |AE|=|BF|=\sqrt{15^{2}-9^{2}}=12cm. Tedy |AB|=|AE|+|CD|+|BF|=54cm a můžeme dopočítat obsah lichoběžníka S={|AB|+|CD| \over 2}v = 378cm^{2}. Strana CD nemusí být kratší než strana AB, proto druhé možné řešení je |AB|=6cm a S=162cm^{2}.

Úloha 2. Možné řešení je znázorněno na obrázku.

Úloha 3. Pokud lze daný obrázek nakreslit jedním tahem, tak se tento tah skládá z úseček spojujících vrcholy mnohoúhelníka (strany a úhlopříčky -- každá právě jednou). Když při kreslení projdeme nějakým vrcholem, jedna úsečka do něho vchází a druhá z něho vychází. Proto musí z každého vrcholu vycházet sudý počet úseček. Výjimkou jsou ale vrcholy na začátku a konci tahu. V případě, že jsou různé, může z těchto dvou vrcholů vycházet lichý počet úseček.

Nyní najdeme konvexní mnohoúhelníky, které mají tu vlastnost, že buď z každého vrcholu vychází sudý počet úseček nebo ze dvou vrcholů vychází lichý počet a z ostatních sudý. Pokud má mnohoúhelník n vrcholů, vychází z každého vrcholu n-1 úseček (2 strany a n-3 úhlopříček). Vidíme tedy, že podmínky zadání splňují pouze mnohoúhelníky s lichým počtem vrcholů.

Úloha 4. Označíme si |AB|=a=12cm, |BC|=b a |CX|=x.

Obsah čtyřúhelníka BSXC je roven součtu obsahů trojúhelníků BSC a CXS:

Víme, že obsah čtyřúhelníka BSXC je třetina obsahu obdélníka. Dostáváme tak rovnici

Vzdálenost bodu X od vrcholu C je 4cm.

Úloha 5. Označme součet všech 24 čísel na kružnici písmenem s. Součet každých 10 vedle sebe stojících čísel je vždy 60. Zvolíme-li libovolně 4 vedle sebe stojící čísla, zbylých 20 čísel tvoří 2 skupiny po deseti, proto se součet zvolených 4 čísel rovna s-2\cdot 60 a je tak stejný pro libovolné 4 vedle sebe napsaná čísla. To ale znamená, že i libovolných osm čísel vedle sebe má stejný součet. A když je stejný součet každých deseti i každých osmi vedle sebe stojících čísel, platí to i pro každá 2 vedle sebe napsaná čísla. Na kružnici se tedy střídají pouze 2 různá čísla. Jejich součet je 60:5=12. Protože na lichých místech je číslo 5, musí být na sudých místech 7. Osmé číslo je tak 7 a celkový součet všech čísel na kružnici je 12 \cdot 12 = 144.

Úloha 6. Platí n^{2} - 5n + 3 = (n + 1)(n - 6) + 9. Má-li n+1 dělit n^{2}-5n+3, musí tak dělit i číslo 9. Dělitelé čísla 9 jsou jenom 1, 3 a 9. Řešením úlohy jsou hodnoty n=0, n=2 a n=8.

Úloha 7. V každém trojúhelníku dělí těžiště těžnici v poměru 2:1. Úsečka AK je těžnicí hledaného trojúhelníka na stranu BC. Můžeme tak sestrojit těžiště T. Protože trojúhelník ABC má být rovnoramenný, platí |AT|=|BT|. Zároveň musí vrchol B ležet na úsečce KV.

Popis konstrukce:

• {1.} bod T, |AT|={2\over3} |AK|,
• {2.} kružnice k se středem T a poloměrem |AT|,
• {3.} bod B, B = k \cap KV,
• {4.} bod C, C \in KV, |BK|=|CK|,
• {5.} trojúhelník ABC.

Úloha 8. Jelikož trojúhelníky AXY a XYC mají být rovnoramenné, musí platit |\angle XAY| = |\angle XYA| = \alpha, $|\angle CXY| = |\angle XCY| = \beta. Zatímco velikost úhlu \alpha neznáme, úhel \beta$ je známý (úhel ACD). Zkusíme vyjádřit \alpha pomocí \beta.

Součet velikostí úhlů AXY a YXC je 180^{\circ}. Odtud máme 180^{\circ} = (180^{\circ} - 2\alpha) + \beta, a proto \beta = 2\alpha. Bod Y tak najdeme jako průsečík úsečky CD s přímkou procházející vrcholem A a svírající s úsečkou AC úhel \alpha = {\beta \over 2}. Konstrukce bodu X už je potom jednoduchá, stačí například sestrojit osu úsečky AY a najít její průsečík se stranou AC.

Úloha 9. Jednodušší bude určovat, kolik čísel neobsahuje číslici 1. Ty čísla, která 1 obsahují, pak lehce dopočítáme odečtením.

Každé číslo menší než 654 321 si můžeme představit jako posloupnost 6 číslic (pokud má dané číslo méně než 6 cifer, doplníme na jeho začátek nuly). Nejprve uvažujme čísla, která začínají 0 (tj. menší než 100 000). Pokud dané číslo neobsahuje číslici 1, je pouze 9 možností volby cifry (0, 2, ..., 9) pro každé z 5 zbylých míst (na prvním místě je 0). Celkem je tedy $9^{{5}=9 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 9 čísel menších než 100 000$, které neobsahují číslici 1. Zřejmě všechna čísla mezi 100 000 a 199 999 obsahují 1. Dále čísla mezi 200 000 a 299 999 začínají všechna číslici 2 a je proto mezi nimi opět 9^{5} čísel neobsahujících 1. Podobně je tomu u čísel začínajících 3, 4 a 5. Čísel neobsahujících 1 menších než 600 000 je tak 5\cdot 9^{5}.}

Podobnou úvahou určíme, že čísel menších než 50 000 neobsahujících 1 je 4 \cdot 9^{4}, čísel menších než 4 000 neobsahujících 1 je $3 \cdot 9^{{3}$ atd. Dohromady tak máme tyto počty čísel neobsahujících 1:}

Čísel obsahujících 1 menších než 654 321 je $654 321 - 323 868 = 330 453$.

Úloha 10. Každý mřížový bod v rovině má souřadnice [x, y], kde x, y jsou celá čísla. Podle toho, jestli jsou tyto čísla sudá nebo lichá, můžeme rozlišit celkem 4 druhy mřížových bodů: 1. x i y sudé, 2. x sudé a y liché, 3. x liché a y sudé, 4. x i y liché. Pokud jsou dva různé mřížové body stejného druhu, pak střed úsečky, která je spojuje, je opět mřížový bod. Ale máme-li v rovině daných 5 různých mřížových bodů, tak určitě existují dva, které jsou stejného druhu.

Zadání

Výsledky