Matboj
1. Lichoběžníku ABCD se stranami |CD|=30cm, |BC|=15cm a výškou v=9cm je opsaná kružnice. Určete jeho obsah.
2. Rozdělte šachovnici na 4 části stejné tvarem i velikostí tak, aby v každé části byla jedna hvězdička a jedno kolečko.
3. Chceme načrtnout konvexní mnohúhelník o n vrcholech (n \geq 3) se všemi jeho úhlopříčkami. Pro které mnohoúhelníky to lze provést jedním tahem? Neboli kdy lze nakreslením jediné souvislé čary, která nikde neprochází stejnou dráhu dvakrát (křížit se může), získat mnohoúhelník se všemi jeho úhlopříčkami?
4. V obdélníku ABCD je |AB|=12cm. Obsah čtyřúhelníka BSXC je jedna třetina obsahu obdélníka. Bod S je střed obdélníku ABCD a bod X leží na straně CD. Určete vzdálenost bodu X od vrcholu C.
5. Na kružnici je vedle sebe napsáno dokola 24 čísel tak, že každých deset vedle sebe má součet 60. Páté číslo je pět. Které číslo je osmé? Jaký je součet všech čísel napsaných na kružnici?
6. Najděte všechna přirozená čísla n, pro která číslo n+1 dělí číslo n^{2} - 5n + 3.
7. Mějme dány tři různé body A, K, V tak, že úsečky AV a KV jsou kolmé. Sestrojte rovnoramenný trojúhelník ABC se základnou AB tak, aby bod V byl patou výšky na stranu BC a bod K byl střed BC. Popište postup konstrukce.
8. V pravoúhlém trojúhelníku ABC s odvěsnami |AB|=3cm a |BC|=4cm je dán bod D na straně AB tak, že |AD|=2cm. Na úsečce AC sestrojte bod X a na úsečce CD bod Y tak, aby platilo |AX|=|XY|=|YC|.
9. Kolik je přirozených čísel menších než 654,321, které obsahují číslici 1? Uvažujte, že číslo 0 je přirozené.
10. Mřížový bod je takový, jehož souřadnice jsou celá čísla. V rovině je dáno 5 různých mřízových bodů. Ukažte, že vždy existuje úsečka s krajními body v těchto bodech taková, že obsahuje další mřížový bod.
