Úloha č. 1

. Nakreslete čtverec, trojúhelník a kružnici tak, abyste dostali co nejvíce průsečíků.

Úloha č. 2

. Posloupnost 2, 3, 5, 6, 7, 10, \ldotds sestává z čísel, která nejsou druhou ani třetí mocninou žádného přirozeného čísla. Určete 420. člen této posloupnosti.

Úloha č. 3

. Posloupnost a_{1},a_{2},a_{3}\ldotds je zadána následovně: a_{1}=1 a a_{i+1}=a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{i} pro každé i=1,2,\ldotds. Určete 420. člen této posloupnosti.

Úloha č. 4

. Uvažte číslo 42! = 1\cdot2\cdot\cdots\cdot42.

• Kolika nulami končí?
• Jaká je poslední nenulová číslice?

Úloha č. 5

. Najděte taková reálná čísla x,y, že (x-4)^{2} + (y-1)^{2} = 8 a přitom x+y je co největší.

Úloha č. 6

. V mřížce 3\times3 je vepsáno 9 celých čísel (v každém políčku jedno) tak, že součty ve všech řádcích, sloupcích i úhlopříčkách jsou stejné. Dokažte, že součet všech devíti čísel je dělitelný devíti.

Úloha č. 7

. Každá strana konvexního čtyřúhelníku je rozdělena na osm shodných úseček. Spojíme příslušné body na protějších stranách a vznikne šachovnice. Políčka vybarvíme jako na skutečné šachovnici. Dokažte, že černá a bílá plocha mají stejný obsah.

Úloha č. 8

. Rozdělte čtverec na disjunktní množiny A,B a kruh na disjunktní množiny X,Y tak, že A je podobné X a B je podobné Y. Podobnost se míní v geometrickém smyslu, tj. shodnost až na změnu měřítka. Jinými slovy, vybarvěte kruh modrou a červenou barvou a čtverec modrou a červenou barvou tak, aby kusy stejné barvy v obou útvarech byly podobné.

Úloha č. 9

. Najděte všechna celá čísla k a prvočísla p taková, že p+42 = k(k+7).

Úloha č. 10

. Na šachovnici 8\times8 je označeno 33 políček. Ukažte, že se na ně dá postavit 5 věží tak, že se žádné dvě neohrožují.

Úloha č. 11

. Existují přirozená čísla a,b,c\geq1 a z\geq3 taková, že z^{a} + z^{b} = z^{c}?

Úloha č. 12

. Dva hráči hrají následující hru. Do levého horního rohu šachovnice 8\times8 postaví

• šachovou věž,
• šachového střelce

a střídavě táhnou. Figurka ale nesmí vstoupit na políčko, na kterém už někdy stála. Hráč, který nemůže táhnout, prohrává. Který hráč má vyhrávající strategii? Jakou? Jinými slovy, kdybyste si mohli zvolit, jestli začínáte vy nebo protivník, co byste si vybrali a jak byste hráli?

Úloha č. 13

. Označme

Rozhodněte, zda

• \phi^{42} - \psi^{42},
• (\phi^{42} - \psi^{42})/\sqrt{5}

je racionální číslo. (Racionální číslo je takové, které se dá vyjádřit zlomkem s celočíselným čitatelem i jmenovatelem.)

Úloha č. 14

. Máme dán čtverec ABCD. Vrcholy A, B a C jsou obarvené modře. Další modré body získáváme následovně. Vybereme kterýkoliv modrý bod, zobrazíme ho středově souměrně podle kteréhokoliv jiného modrého bodu a získaný bod obarvíme modře. Můžeme modře obarvit čtvrtý vrchol D čtverce?

Úloha č. 15

. Sestrojte pravidelný mnohoúhelník, znáte-li délku strany a délku nejdelší úhlopříčky. Neznáte počet stran, dokonce ani nevíte, jestli je sudý nebo lichý.

Úloha č. 16

. V trojúhelníku ABC je dán bod D ležící na straně AB. Bod E leží na straně BC tak, že AC\barDE, a bod F leží na straně AC tak, že BC\barDF. Dokažte, že

Úloha č. 17

. V rovině je dán 42-úhelník takový, že se žádné tři úhlopříčky neprotínají v jednom bodě. Určete počet průsečíků úhlopříček.

Výsledky