Zadání 3. série 41. ročníku Pikomatu Junior
Termín odeslání: 12. ledna 2026
Pikomat Junior je pro řešitele 3. až 6. tříd, můžou se zúčastnit i mladší.
Jak řešit, odevzdávat a další důležité informace ohledně Pikomatu Junior naleznete zde.
Adresa: Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8
Celý leták najdete ve formátu pdf zde. Zadání je k dispozici také ve formátu pdf. Velice doporučujeme dětem dát toto vytištěné zadání.
Úloha č. 1
Kolik trojúhelníků je na obrázku?
Obrázek s trojúhelníky
Úloha č. 2
Celá různá čísla a,b,c,d splňují \frac{a+b+c+d}{4}=10, neboli jejich průměr je roven 10. Jaké největší číslo mezi nimi může být?
Úloha č. 3
Terka má nakreslené slovo Pikomat do tvaru pyramidy jako na obrázku níže. Z nakreslených písmenek chce vybrat jedno "P", jedno "I", "K", "O", "M", "A" a jedno "T" tak, aby tato písmenka mohla projít shora dolů po vyznačených čarách. Kolika způsoby to může udělat?
Pyramida s písmeny
Úloha č. 4
Jedním z nejdůležitějších pojmů v geometrii je úhel. Nejprve si vysvětlíme, co tento pojem znamená. Můžeme například říct, že se jedná o část roviny ohraničenou dvěma protínajícími se přímkami. Velikost úhlu je pak určena tím, jakou část roviny náš úhel zabírá. Pokud úhel tvoří celou rovinu, řekneme, že jeho velikost je 360° (čte se 360 stupňů). Pokud tvoří jen půlku roviny, bude jeho velikost poloviční, tedy…°. Takovému úhlu často říkáme přímý.
Přímý úhel
První úhel
Na obrázku výše úhel zabírá přesně jednu osminu roviny, jeho velikost tak bude…°. Nabízí se ale otázka: Jak z pozice dvou přímek určím, jaký úhel svírají? Vždyť jich přece je hned několik! Na dalším obrázku vidíme dva další úhly, které jsou také ohraničeny přímkami p a q. Jejich velikost je ale jiná.
Druhý úhel
Třetí úhel
Ke spočtení velikosti druhého úhlu si můžeme uvědomit, že zná-me velikost přímého, ta je…°. Když… (přičtu/odečtu) velikost původního úhlu (už víme, že je to…°), dostaneme velikost nového úhlu, která tím pádem bude…°. Nyní si zkusíme spočítat velikost třetího úhlu. I tentokrát můžeme využít velikost přímého úhlu. Pak… (přičteme/odečteme) velikost úhlu na pravém obrázku níže, ten je… (větší než / stejně velký jako / menší než) náš původní úhel. Vyjde nám proto…°.
Úhlů mezi dvěma přímkami je tedy víc, a proto obvykle chceme vyjádřit, který zrovna máme na mysli. Na přímkách naštěstí často leží nějaké body, s jejichž pomocí můžeme vyjádřit to, co chceme. Tak například řekněme, že se přímky p a q protínají v bodě X, na přímce p leží bod P a na přímce q leží bod Q jako na následujících obrázcích.
Náš původní úhel tak můžeme zapsat pomocí trojpísmenného kódu. Na druhém místě vždy bude bod, v němž se přímky protínají (tomuto bodu říkáme vrchol úhlu), v našem případě je to bod… (P/X/Q). Na prvním a na třetím místě pak budou body, které úhel ohraničují. To jsou tedy body… (P/X/Q) a… (P/X/Q). Nezáleží na tom, které písmenko napíšu na první a které na třetí místo, náš úhel tedy lze zapsat dvěma způsoby: úhel… nebo úhel… Tento zápis úhlu si procvičíme na ještě jednom příkladu. Nutno dodat, že ani z tohoto zápisu úhlu není jasné, jestli se skutečně jedná o náš původní úhel, nebo o ten napravo. Tomu menšímu říkáme konvexní a tomu většímu nekonvexní. Při použití tohoto zápisu ale většinou máme na mysli ten konvexní.
Příklad 1: Zapiš vyznačený úhel.
Všimneme si, že se přímky protínají v bodě… Úhel je ohraničen polopřímkami… (PA/PB/PC/PD) a… (PA/PB/PC/PD). Na druhém místě kódu bude označení průsečíku, na prvním a třetím místě budou body na hraničních polopřímkách různé od jejich průsečíku. Úhel tedy můžeme zapsat jako… anebo… (uveď obě možnosti).
Nyní se podíváme na to, jak úhly můžeme značit přímo v obrázku. Většinou volíme takový oblouček u vrcholu, což znázorňuje další obrázek. K němu můžeme přidat buď přímo jeho velikost, nebo nějaké malé písmeno z řecké abecedy. Například \alpha (alfa), \beta (beta), \gamma (gama), \delta (delta) nebo \varphi (fí). Tato řecká písmenka ale vždy označují jen velikost daného úhlu.
Teď si ukážeme nějaká důležitá tvrzení, která pro úhly platí. Zajímavé věci se budou dít, pokud se v obrázku vyskytnou nějaké rovnoběžné přímky. Připomeňme si, co to rovnoběžné přímky jsou.
Definice. O dvojici přímek řekneme, že jsou rovnoběžné, pokud mají stejný směr (jsou stejně natočené), a tím pádem se nikdy neprotínají.
Představme si nyní, že máme dvě rovnoběžné přímky a, b a obě protíná třetí přímka c (jako na obrázku). Dále se na přímkách a, b, c nacházejí bod A, B, C , přímky a, c se protínají v bodě D a přímky b, c se protínají v bodě E . Na přímce b navíc ještě leží bod P. Velikost úhlu ADC označme \alpha a velikost úhlu BEC označ-me \beta . Pokud se na úhly \alpha, \beta podíváme z pohledu, že velikost úhlu odpovídá tomu, jak moc se liší směry přímek a, c , resp. b, c , s přihlédnutím k tomu, že přímky a, b mají stejný směr, můžeme si všimnout, že \alpha… \beta (doplň znaménko (ne)rovnosti). Pokud zároveň označíme velikost úhlu PED písmenem \gamma , můžeme si uvědomit, že \beta… \gamma (doplň znaménko (ne)rovnosti). Celkově proto platí, že \alpha… \gamma (doplň znaménko (ne)rovnosti). Dvojici úhlů ADC a BEC někdy nazýváme úhly souhlasné, dvojici úhlů BEC a PED se říká úhly vrcholové a dvojici úhlů ADE a PED můžeme nazvat úhly střídavé.
Na závěr si ukážeme dvě těžší tvrzení. Máme jakýkoliv trojúhelník, jeho vrcholy označíme A, B, C . Velikost úhlu BAC označme \alpha a velikost úhlu CBA označme \beta . Napravo od bodu C leží na přímce BC ještě bod D . Nás by zajímalo, jestli je možné nějak hezky vyjádřit velikost úhlu DCA pomocí \alpha a \beta . K tomu nám pomůže trik. Do obrázku nakreslíme přímku rovnoběžnou s přímkou AB , která prochází bodem C (na ní leží bod E ). Teď si můžeme všimnout, že v obrázku vznikly zajímavé úhly. K úhlu CBA můžeme najít jeden souhlasný úhel, a to úhel… K úhlu BAC naopak můžeme najít jeden střídavý úhel, ten zapíšeme jako… Teď už vidíme, že velikost úhlu DCA lze zapsat jako součet velikostí těchto dvou úhlů. Proto můžeme říct, že velikost úhlu DCA je… My ale ještě můžeme zjistit něco. Pokud označíme velikost úhlu ACB jako \gamma , můžeme si všimnout, že velikost úhlu DCB lze vyjádřit jako součet velikostí tří úhlů, z nichž všechny mají vrchol v bodě C . Prvním je úhel ACB , jehož velikost je \gamma , druhým je…, jehož velikost je \alpha , a třetím je úhel…, jehož velikost je \beta . Když si ale uvědomíme, že velikost úhlu DCB je…°, můžeme dospět k závěru, že \alpha + \beta + \gamma =…° pro libovolný trojúhelník ABC , kde \alpha, \beta, \gamma jsou jeho tři vnitřní úhly. Vnitřní se jim říká proto, že celý trojúhelník ABC je uvnitř každého z těchto úhlů.
Ukázali jsme si, že dokreslování rovnoběžek do obrázku je užitečný trik, který se vyplatí znát. Ještě jednou si ho můžete vyzkoušet v páté úloze. Napovíme, že bude třeba dokreslit dokonce dvě přímky, každá však může být rovnoběžná s nějakou jinou přímkou.
Úloha č. 5
Na obrázku je čtyřúhelník ABCD . Víme, že velikost úhlu BAD je \alpha = 30° , velikost úhlu CBA je \beta = 60° a velikost úhlu DCB je \gamma = 45° . Urči velikost obou úhlů CDA (tedy konvexního, \delta_1, i nekonvexního, \delta_2). Svoji odpověď zdůvodni výpočtem, ne změřením z obrázku.
