Zadání 6. série 40. ročníku
Termín odeslání: 12. května 2025
Pravidla pro odevzdávání řešení najdete zde. O tom, jak řešení sepisovat, si můžete přečíst zde nebo se podívat na video.
Adresa: Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8
Celý leták najdete ve formátu pdf zde. Samostatné zadání je k dispozici také ve formátu pdf.
S některými úlohami z této série vám pomůže průvodní povídání, přečtěte si ho zde.
Upozorňujeme, že 4. 5. 2025 došlo k upřesnění zadání 7. úlohy.
V letech 1877 až 1892 probíhala na západě USA tzv. „Válka o kosti“, kdy soutěžili dva paleontologové o větší slávu. V rámci jejich nevybíravého soupeření došlo i k vyhazování nalezišť dynamitem, aby jej nemohl prozkoumat ten druhý.
Úloha č. 1
Giganotosaurus do skály vytesal opravdu zajímavý nekonvexní mnohoúhelník. Ať už by vybral kteroukoli stranu, mohl by ji prodloužit na přímku a tato přímka by právě jednou protnula jeho mnohoúhelník. Nakreslete jednu možnost, jak mohl giganotosaurův mnohoúhelník vypadat.
Na obrázku zad611 je ukázán nekonvexní mnohoúhelník, jehož strana a je prodloužena na přímku, kde tato přímka právě jednou protíná mnohoúhelník. Nejedná se ale o řešení, protože strana b v prodloužení na přímku neprotíná mnohoúhelník.
Roku 1879 byl popsán Brontosaurus, akorát se roku 1903 ukázalo, že se jedná o již popsaný rod Apatosaura z roku 1877, takže označení Brontosaurus, navzdory obecné oblíbenosti, je neplatné. Až na to, že nové skutečnosti z roku 2015 skutečně potvrzují existenci jedinečného rodu Brontosaurus.
Úloha č. 2
Na šachovnici velikosti 8 \times 8 leží v pravém horním rohu kámen. Brontosaurus a apatosaurus se střídají v tazích, brontosaurus začíná. V jednom tahu hráč posune kámen buď o libovolný počet polí doleva, nebo o libovolný počet polí dolů (nesmí ale kámen posunout zároveň doleva i dolů). Vždy kámen musí posunout alespoň o jedno políčko. Kdo kámen posune na rohové políčko vlevo dole, vyhrál. Který hráč si dokáže zajistit výhru? Dobře vyhrávající strategii popište.
Varianta za 3 body: Hraje se na šachovnici velikosti 3 \times 3.
Navzdory obecně přijímané představě, že různé druhy raptorů žily a lovily ve smečkách (jedna smečka by obsahovala jen jeden druh), nemáme dodnes průkazné důkazy, že tomu tak skutečně bylo. Dokonce některé dřívější ukazatele takového chování byly vyloučeny jako špatně interpretované. (Například utahraptoři chycení v dehtovém močálu v průběhu času.)
Úloha č. 3
Utahraptor si ze stébel trávy vytvořil kostru kvádru jako na obrázku zad631. Změřil si, že délky stěnových úhlopříček jsou 4\,\mathrm{cm}, 5\,\mathrm{cm}, 6\,\mathrm{cm}. Spočítejte, jaká je délka tělesové úhlopříčky (na obrázku je tato úsečka označena písmenem u), a popište, jak jste k výsledku došli.
Big Al je jeden z nejlépe zachovaných fosilních exemplářů. Takto pojmenovaný Alosaurus v říčním sedimentu nese svědectví o svém nelehkém životě plným četných zranění. Paleontologové se z kostry naučili mnoho nového o životě theropodů a z Big Ala (asi teda nakonec samice, ups) se stala celebrita díky speciální epizodě ze seriálu BBC „Walking with dinosaurs“.
Úloha č. 4
Big Al si myslí taková kladná reálná čísla a,b,c, kde a<b<c. Pak se zeptal sám sebe, jestli platí b\cdot (a+c-b)>a\cdot c. Rozhodněte, zda tato nerovnost platí, ať už by si kladná čísla a<b<c myslel jakákoli. Pokud platí, tak to řádně zdůvodněte. Pokud neplatí, nalezněte konkrétní protipříklad.
V průběhu minulého století se opakovaně objevují myšlenky, že velcí sauropodi nemohli chodit po souši a museli žít ve vodě, která je měla nadnášet. Moderní poznatky tyto teorie vyvracejí. Sauropodi žili na souši.
Úloha č. 5
Supersaurus a sauroposeidon hází kameny do dolíku. Oba začínají se stejným počtem kamenů a v házení se střídají po jednom hodu. Víme, že supersaurus se trefí celkem 17krát a sauroposeidon celkem 14krát. Musí během hry nutně nastat situace, kdy se počet kamenů, které sauroposeidon již strefil, rovná počtu kamenů, které supersaurus teprvé strefí? Odpověď zdůvodněte.
Varinta za 3 body: Každý se strefil právě třikrát. Jinak je zadání stejné.
Ještě než Zemi zasáhl meteorit (u poloostrova Yucatan), byla Země na pokraji masového vymírání v důsledku zvýšené vulkanické aktivity. Pokud někteří dinosauři přežili kataklyzmatický dopad 10-15kilometrového tělesa, po miliony let trvající zvýšená sopečná aktivita je dorazila.
Úloha č. 6
Rodině ankylosaurů Trojúhelníkových rostou na zádech trojúhelníkové kameny. Po prvním roce má ankylosaurus Trojúhelníkový na zádech jeden kámen, po druhém 4 kameny, po třetím 9 kamenů, rostou pravidelně dle obrázků zad651, zad652 a zad653.
Rodině ankylosaurů Šestiúhelníkových rostou na zádech šestiúhelníkové kameny a rostou každým rokem postupně dle obrázků zad654, zad655 a zad656. Mohl nějaký ankylosaurus Trojúhelníkový mít na zádech o 3001 více kamenů než nějaký ankylosaurus Šestiúhelníkový (jejich věky můžou být různé)? Pokud ano, určete jejich věky. Pokud ne, zdůvodněte.
K vyřešení této úlohy může pomoci první díl Průvodního povídání.
K–Pg rozhraní je geologickou hranicí mezi druhohorami a třetihorami, kterou lze pozorovat po celém světě a datujeme ji do doby 66.043 ± 0.043 milionu let. Vznikla po dopadu velkého meteoritu, je široká několik až několik desítek centimetrů, je vizuálně odlišitelná a vyznačuje se zvýšeným obsahem iridia (důkaz meteoritu).
Úloha č. 7
Upozorňujeme, že úloha má od 4. 5. 2025 upřesněné zadání.
Achillobator má kámen ve tvaru pravidelného čtyřbokého jehlanu, každá hrana má délku 9\,\mathrm{cm}. Jehlan položil nějakou stěnou na zem a nějakou jinou stěnu, která tedy nutně míří do vzduchu, pojmenoval S. Do těžiště stěny S ve směru kolmém ke stěně S zabodl špendlík o délce 3\cdot \sqrt{3}\,\mathrm{cm}. Jak vysoko je hlavička špendlíku od země? Předpokládáme, že špendlík je celou svou délkou mimo kámen. Napište a zdůvodněte výpočet. Stačí uvážit pouze jednu libovolnou variantu, kterou stěnu dáte na zem a která stěna bude S. Namísto pravidelného čtyřbokého jehlanu můžete zvolit pravidelný čtyřstěn (tedy trojboký jehlan, jehož stěny i základna jsou rovnostranné trojúhelníky).
