Zadání 4. série 40. ročníku
Termín odeslání: 10. února 2025
Pravidla pro odevzdávání řešení najdete zde. O tom, jak řešení sepisovat, si můžete přečíst zde nebo se podívat na video.
Adresa: Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8
Celý leták najdete ve formátu pdf zde. Samostatné zadání je k dispozici také ve formátu pdf.
S některými úlohami z této série vám pomůže průvodní povídání, přečtěte si ho zde.
Ve filmu Jurský park z roku 1993 je pouze 15 minut s dinosaury.
Úloha č. 1
V řadě na kamennou polévku stojí nekonečno dinosaurů. Každý dinosaurus buď polévku dostane, nebo ne. Dinosaurus, co polévku rozdává, řekl, že polévku dostane právě jeden z prvních dvou dinosaurů v řadě. První dinosaurus v řadě řekl, že polévku dostane právě jeden ze tří dinosaurů, co stojí v řadě za ním. Druhý dinosaurus řekl, že polévku dostane právě jeden ze čtyř dinosaurů, co stojí v řadě za ním. Třetí dinosaurus řekl, že polévku dostane právě jeden ze dvou dinosaurů, co stojí v řadě za ním. Výroky dinosaurů se takto opakují, tedy čtvrtý hovoří o třech dinosaurech za ním, pátý o čtyřech, šestý o dvou, ... Určete, jestli polévku dostane 99. dinosaurus v řadě. Odpověď zdůvodněte.
Dinosauři žili na všech kontinentech, včetně Antarktidy.
Úloha č. 2
Troodon má hromádku standardních kostek. O standardní kostce vždy platí, že součet teček na protějších stěnách je 7. Postavil jednu věž ze všech kostek hromádky a kostky hezky srovnal, aby vznikl vysoký kvádr (dal je na sebe libovolně, nic po tečkách na sousedících stěnách nevyžadoval). Zjistil, že součet teček na každé ze 4 bočních stěn věže je sudý. Určete všechny možnosti, pro kolik kostek v hromádce se to mohlo stát. U těchto možností ukažte, že to opravdu jde. U ostatních možností zdůvodněte, proč to nemůže jít.
Největší dinosauří vejce byly velké jako basketbalový míč.
Úloha č. 3
Ouranosaurus má krychli velikosti 3\times 3\times 3, kterou chce rozřezat na 27 krychliček s hranou 1. Vždy po říznutí může vzniklé útvary na stole přeskládat, takže třeba budou čtyři za sebou. Při následujícím říznutí všechny díly rozřízne, tedy třeba rozřízne ty čtyři díly zároveň. Kolikrát nejméně musí ouranosaurus říznout? Ukažte, jak by takové řezání probíhalo, a zdůvodněte, proč méně říznutí nevystačí.
Žádný dinosaurus v délce nepřesahoval plejtváka obrovského o největší potvrzené délce 30 metrů.
Úloha č. 4
Plejtvák má tabulku 4\times 4, v každém políčku je jeden žeton. Žeton je zeshora černý, zespoda bílý. V jednom tahu vybere část tabulky o velikosti 2\times 2 a každý žeton v této oblasti převrátí. Kolik nejméně tahů plejtvák potřebuje, aby žetony celé tabulky tvořily šachovnicové obarvení? Ukažte, jaké tahy použít, a zdůvodněte, proč méně tahů nestačí.
Při vyhynutí dinosaurů vyhynulo asi 70 \% živočišné populace Země.
Úloha č. 5
Ve skále je vytesán obdélník ABCD, |AB|=10, |BC|=8, střed strany AB je označen K, střed strany BC je označen L. Dále je ve skále vytesaná kružnice k se středem v bodě K a poloměrem |KB| a také kružnice l se středem v bodě L a poloměrem |LB|. Určete nejdelší možnou délku úsečky XY, kde X leží na k a Y leží na l. Také zdůvodněte, proč neexistuje žádná delší.
První dinosauři se pravděpodobně vyvinuli na pevninách jižního superkontinentu Gondwany, jedná se o jih dnešní Jižní Ameriky.
Úloha č. 6
Na čtverečkové tabulce 10 \times 10 hraje hru Altirhinus s Velafronsem. Střídají se v tazích, Altirhinus začíná. V každém tahu do nějakého prázdného políčka hráč umístí svůj tvar, Altirhinus má křížek a Velafrons kolečko. Altirhinovým cílem je vytvořit čtverec 2 \times 2 složený ze čtyř křížků. Velafronsovým cílem je pouze tomu zabránit, tedy zaplnit celou tabulku, aniž by se tam vyskytl čtverec 2 \times 2 ze čtyř křížků. Kdo vyhraje? Dobře popište vyhrávající strategii a zdůvodněte, proč je vyhrávající.
První pojmenovaný dinosaurus je Megalosaurus, tedy velký ještěr. Fosilie našel a pojmenoval britský vědec William Buckland roku 1824.
Úloha č. 7
Talarurus má 28 zelených osteodermů (kostěné plátovité výrůstky z kůže) a pinacosaurus má 20 červených osteodermů (tyto počty neodpovídají historickým skutečnostem). Na paloučku se potkalo několik talarurů s několika pinacosaury. Určete všechny možnosti, kolik se na paloučku mohlo potkat kterých dinosaurů, pokud se celkový počet zelených osteodermů rovnal celkovému počtu červených osteodermů. Výsledek zdůvodněte.
K vyřešení této úlohy se může hodit letošní Průvodní povídání o diofantických rovnicích.
