Zadání 3. série 40. ročníku

Termín odeslání: 13. 1. 2025

Pravidla pro odevzdávání řešení najdete zde. O tom, jak řešení sepisovat, si můžete přečíst zde nebo se podívat na video.

Adresa: Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8

Celý leták najdete ve formátu pdf zde. Samostatné zadání je k dispozici také ve formátu pdf.

S některými úlohami z této série vám pomůže průvodní povídání, přečtěte si ho zde.

---

\def\tecky{\lower .2ex\hbox{ ..... }}\def\Z{\mathbb{Z}}\def\cm{\,{\rm cm}}

Vědecké pojmenování „dinosauria“ znamená „strašný ještěr“. Tento termín vytvořil paleontolog Richard Owen v roce 1842.

Úloha č. 1

Stegosaurus chce do políček napsat čísla 1 až 5, každé právě jednou, tak, aby všechny nerovnosti platily.

Kolika způsoby to může udělat? Zdůvodněte.

Dinosauři neřvali jako ve filmech. Vědci se domnívají, že vydávali nízké zvuky, podobné dnešním holubům nebo krokodýlům.

Úloha č. 2

Stegosaurus se narodil 1. ledna. Když mu bylo 100 let a 299 dní (jedná se o 300. den daného kalendářního roku), bylo úterý. Když mu bylo 101 let a 199 dní, bylo také úterý. Jaký den v týdnu byl, když stegosaurovi bylo 99 let a 99 dní? Odpověď zdůvodněte.

Některé fosílie byly dříve mylně považovány za dračí kosti. Například v Číně byly kosterní pozůstatky dinosaurů spojovány s legendami o dracích.

Úloha č. 3

Ankylosaurus má šachovnici velikosti 7\times 7. Velociraptor mu z ní vystřihl 6 políček jako na obrázku zad331. Ankylosaurus chce zbylá políčka šachovnice bez překryvu a bez přečnívání pokrýt L-dílky (pokrývající 3 políčka) nebo I-dílky (pokrývající 2 políčka) jako na obrázku zad331, přičemž dílky může otáčet. Bohužel ale L-dílky jsou mnohem dražší než I-dílky, proto se snaží využít co nejméně L-dílků.

Varianta za 3 body: Nakreslete rozmístění dílků na šachovnici s co nejmenším počtem L-dílků.

Varianta za 5 bodů: Nakreslete takové rozmístění dílků a pečlivě zdůvodněte, proč nelze použít méně L-dílků.

Spinosaurus byl pravděpodobně semi-vodní. Paleontologické studie ukazují, že měl adaptace na plavání, jako byly ploché nohy a husté kosti.

Úloha č. 4

Tato úloha se pojí s Průvodním povídáním přiloženým u zadání 2. série. Doplňte slova do následujícího textu.

Čínská zbytková věta: Mějme nesoudělná přirozená čísla a, b. Mějme nezáporná celá čísla g<a, h<b. Pak existuje právě jedno nezáporné celé číslo m, pro které platí:

Důkaz: Nejprve dokážeme, že takové m existuje maximálně jedno. To uděláme tak, že si představíme, že taková m existují alespoň dvě, a ukážeme, že tato situace nemůže nastat. Tedy předpokládejme, že existují dvě různá m_{1} a m_{2} tak, že platí m_{1}\equiv g \pmod a, m_{1} \equiv h \pmod b, m_{2} \equiv g \pmod a, m_{2} \equiv h \pmod b. Takovému přístupu říkáme důkaz sporem.

Předpokládejme, že m_{1}>m_{2} (kdyby bylo m_{2}>m_{1}, tyto dvě čísla prohodíme a už můžeme pokračovat, jak jsme chtěli). Z tvrzení o součtu zbytků plyne, že m_{1}-m_{2} \equiv \tecky \pmod a, m_{1}-m_{2} \equiv \tecky \pmod b. Tedy číslo a \tecky 1cm (dělí/nedělí) číslo m_{1}-m_{2}, podobně číslo b \tecky (dělí/nedělí) číslo m_{1}-m_{2}. Z toho a z nesoudělnosti čísel a, b plyne, že a\cdot b \tecky (dělí/nedělí) číslo m_{1}-m_{2}.

Z definice dělitelnosti tedy existuje nějaké k\in\Z takové, že m_{1}-m_{2}=k\cdot a\cdot b. Jelikož m_{1}>m_{2}, je m_{1}-m_{2} kladné. Tedy i číslo k musí být kladné. Jelikož je zároveň celé, musí platit, že k\geq1. Tedy

Zároveň a\cdot b>m_{1}, tedy i a\cdot b>m_{1}-m_{2}. Dosazením do předchozí rovnosti dostáváme, že

což ale nemůže nastat, neboli jsme dostali spor. Tedy takové m může skutečně existovat maximálně jedno.

Dále ukážeme, že existuje alespoň jedno m. Pro to si nejprve uvědomíme, že dvojic čísel g,h, kde 0\leq g<a, 0\leq h<b, je celkem \tecky \cdot \tecky Zároveň víme, že platí 0\leq m<a\cdot b, tedy číslo m může nabývat \tecky \cdot \tecky různých hodnot.

Z předchozí části důkazu již víme, že s každou dvojicí čísel g,h se pojí maximálně \tecky (žádná/jedna) hodnota čísla m. Víme, že dvojic g,h je \tecky (méně než / stejně jako / více než) kolik je možných hodnot čísla m. Potřebujeme ověřit, že ke každé dvojici čísel g,h existuje alespoň \tecky (žádná/jedna) hodnota čísla m.

Nyní zkusíme novým způsobem spočítat, kolika různých hodnot může m nabývat. Pro každou dvojici čísel g,h si zapíšeme tolik možností, kolika hodnot může m příslušné této dvojici nabývat. Z předchozí části důkazu víme, že tento počet možností je roven \tecky nebo \tecky. Pokud by tento počet možností byl roven vždy jedné, dostali bychom celkový počet možností roven \tecky \cdot \tecky. Pokud by pro nějakou dvojici čísel g,h byl tento počet možností nulový, pak by celkový počet možností pro m byl \tecky (ostře menší než / stejný jako / ostře větší než) a\cdot b. Taková situace však nemůže nastat, neboť víme, že možností pro m je dohromady přesně \tecky.

Tedy pro každou dvojici g,h musí být alespoň jedno m. Zároveň již víme, že pro každou dvojici g,h musí být maximálně jedno m. Dohromady dostáváme, že takové m musí existovat právě jedno, což jsme chtěli dokázat.

Příklad: Ve skupině je x stegosaurů. Když jsme je rozdělili do pětic, tři přebývali. Když jsme je rozdělili do sedmic, pět přebývalo. Stegosauři jsou alespoň dva a není jich více než 35. Stegosaurů je \tecky. Z Čínské zbytkové věty víme, že se jedná o \tecky (jediný možný výsledek / jeden z více možných výsledků).

Maiasaura, což znamená „dobrá matka ještěrka“, pravděpodobně pečovala o své potomky. Fosilie naznačují, že mláďata zůstávala v hnízdech pod dohledem rodičů.

Úloha č. 5

Do skály byl vytesán obrazec zad351. Jednalo se o kružnici m se středem v bodě O a poloměrem 4 \cm. Dále tam byla kružnice n se středem v bodě P a poloměrem 9 \cm. Body A a B leží na kružnici m, body C a D leží na kružnici n. Přímky AD a BC jsou tečnami kružnic m a n. Určete obsah šestiúhelníku AOBCPD.

Pomůcka: Tečna je kolmá na poloměr. V našem případě např. poloměr AO je kolmý na tečnu AD.

Pachycephalosaurus měl velmi tlustou lebku, která mohla být použita při soubojích mezi samci o dominanci nebo partnery.

Úloha č. 6

Ankylosaurus si myslí tři kladná čísla (nemusí být pouze přirozená, může se jednat i např. o 0{,}5) x, y, z, splňující

Určete, kolik je x\cdot y\cdot z. Dobře popište postup od rovnic až k výsledku.

Dinosauři měli často „náhradní“ zuby – například ceratopsidi mohli regenerovat své zuby několikrát za život, aby si udrželi účinnost při drcení tvrdé vegetace.

Úloha č. 7

Stegosaurus našel tisíce kamenů tvaru jako na obrázku zad371. Rád by z nich slepil kostku velikosti 50\times 50\times 50, která musí být uvnitř zcela zaplněná, ale ven můžou části kamenů vyčnívat. Poraďte mu, jak na to.

Varianta za 3 body: Poraďte stegosaurovi, jak namísto kostky obdobně vytvořit tyč o rozměrech 2\times 4\times 50.