Zadání 6. série 39. ročníku

Termín odeslání: 20. 5. 2024

Pravidla pro odevzdávání řešení najdete zde. O tom, jak řešení sepisovat, si můžete přečíst zde nebo se podívat na video.

Adresa: Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8

Zadání je k dispozici také ve formátu pdf. Průvodní povídání, které vám může pomoci s některou z úloh této série najdete zde.


Kovový hlas zazněl místností. Spíše než líbezně cinkavý byl studený a bezcitný.

Elišce přejel mráz po zádech. Bezradně se koukla na černou kočku, která na ni hleděla smutnýma skelnýma očima. Pak holčičku začal uchvacovat nepříjemný pocit. Udělalo se jí mdlo, postupně přestávala cítit konečky prstů. Přestala vnímat i houpání lodi. Chtěla se pohnout, ale její tělo ji neposlouchalo.

Víčka jí ztěžkla a na okamžik neviděla nic.

Svět se k ní pomalinku vracel. Nejdříve byl rozmazaný, ale za nějakou chvíli barvy začaly nabývat stále zřetelnějších obrazců, v hukotu rozpoznávala hovor a šplouchání opět znělo jako mořské vlny. První, co zřetelně rozeznala, bylo její vlastní nehybně ležící tělo na podlaze kajuty. Když se zaměřila víc, na svém zápěstí spatřila podivnou značku. Matně si vzpomínala, že tento ornament již jednou viděla.

Úloha č. 1

Obrazec je tvořen bodem B, kterým prochází přímka p. Z bodu B vede kolmice t na přímku p, jedná se pouze o polopřímku se začátkem v bodě B. V obrazci je dále vyobrazena kružnice o poloměru 20\ {\rm cm}, v jejímž vnitřku leží bod B. Obvod této kružnice je rozdělen na třetiny přímkou p a polopřímkou t. Určete vzdálenost bodu B od středu kružnice. Stačí najít jednu takovou kružnici a zdůvodnit, že opravdu má obvod rozdělen na třetiny.

Ona bytost k ní promluvila podruhé. Elišce se zatmělo před očima a náhle se objevila na úplně cizím, neznámém místě. Všude viděla prazvláštní stvoření, ale také mnoho Omniferů, které již spatřila. Nikdo jí však nevěnoval pozornost, jako by ji ani neviděli. Všichni byli zaujatí svojí prací. Vypadalo to, jakoby čekali hostinu. V několika hrncích bublala podivuhodná tekutina.

Úloha č. 2

Máme červený hrnec o objemu 8 litrů, který je z poloviny naplněn kapalinou. Ta je z poloviny tvořena bujonem, ze čtvrtiny alkoholem a ze zbývající čtvrtiny něčím nerozeznatelným. Dále máme zelený hrnec o objemu 12 litrů, který je plný ze tří čtvrtin. Kapalina uvnitř je tvořena alkoholem a bujonem postupně v poměru 5:4. Chtěli bychom kapaliny z hrnců nějak smíchat a získat kapalinu o objemu 3 litrů, která bude mít alkohol a bujon postupně v poměru 4:5. Určete, jaké objemy kapalin z červeného a zeleného hrnce máme použít.

Znovu k ní promlouval ten ledový hlas, vyprávěl jí o historii oné země, o němž byla i kniha, co ji tak uchvátila. Všechno bylo tak zvláštní. Nerozuměla tomu, nevěděla, co se děje. Slova jí nedávala smysl, věty byly rozporuplné a obsahovaly mnohá cizí slova, která nebyla schopna nikam zařadit. Vyprávěla o oběti, o posvátné rovnováze, o vyvolené a o zhoubném národu lidí. Opravdu řekla zhoubném, chtěla Eliška zavrtět hlavou, kdyby tedy ve své momentální podobě nějakou měla.

Něco ji táhlo zpět, daleko od podivných výjevů, a ještě nemyslitelnější historie onoho světa. Stejně tak, jako nad ránem probuzení volá pryč z pomíjivého snu.

Začala se jí zobrazovat čtvercová síť, která pokrývala čtvercový strop kajuty, tedy to, co viděly její opravdové oči.

Úloha č. 3

V tabulce 8\times 8 vybarvěte co nejvíce políček tak, aby pro každé vybarvené políčko platilo následující pravidlo: součet vybarvených polí ve zbytku jeho řádku a vybarvených polí ve zbytku jeho sloupce je lichý.

Nakreslete takovou tabulku a zdůvodněte, proč nemůže existovat tabulka s více vybarvenými políčky.

Náhle jí byla položena otázka, trochu ostřejším tónem, než by čekala. „Máš svoji kočku ráda? Neměla bys drahá. Kočky jsou zrádné.“

Vybavila si větu z knihy: „Ti, co se bojí, jsou lstiví a zradí nás ostatní. Změní se ve stvoření malá, lstivá, s barvou, jaké je jejich svědomí. Nezmění se ve stvoření půvabná, krásná a veliká, jako jsme my.“

Eliška se zadívala na všechna ta stvoření, byla různorodá, ale jednu věc měla stejnou. Jejich oči byly jako oči koček, všechny do jednoho žluté až oranžové.

Vidění se jí rozplynulo, pozvedla hlavu, která ji brněla, a ucítila ztuhlost svojich svalů. Zarazila se, zpoza stolu na ni koukaly sytě žluté kočičí oči.


Na palubě to začalo vřít. První, kdo si nepřátelských vzezření všiml, byl Krystian. V dálce se z šera mlhy vynořily bělostné oči, bylo jich na tisíc. Bytosti se pravidelně střídaly a měly různé počty očí, jejich pravidelnost, spíše tedy nepravidelnost, podněcovala u Kristiana zanícený děs.

Vojačka byla v klidu. Nebylo to poprvé, co něco podobného viděla. Většinou zmizely po její první nebojácné, dobře mířené ráně. Teď ale měla pocit, že to tak jednoduché nebude.

Úloha č. 4

(Upozorňujeme, že jsme změnili počet bytostí a součet očí. Samozřejmě přijímáme i řešení s původními čísly.)

V řadě za sebou stojí 504 bytostí, kde každá bytost má alespoň jedno oko. Součet jejich očí je 2016. Žádná bytost nemá právě čtyři oči. Navíc pro každou sousedící šestici bytostí platí, že žádné dvě nemají stejný počet očí. (Mezi dvěma bytostmi se stejným počtem očí musí být alespoň pět dalších bytostí.) Určete počet všech takových posloupností počtů očí.

V hluku vřavy rychlá ruka neslyšně vytáhla meč z pochvy. Nebyl to jen tak ledajaký meč. Jeho stříbřité ostří se nezvykle zalesklo a pozorný pozorovatel by si všiml ozdobného písma, jež bylo do kovu kdysi dávno vyryto. Text, který hovořil o původu i schopnostech meče, by jen stěží někdo z lidí mohl rozluštit.

Tak těžko rozluštitelná jako následující pradávná hádanka.

Úloha č. 5

Nechť x je přirozené číslo větší než 10, a je přirozené číslo od 1 do 9 včetně. Dokažte, že nemůže platit \overline{xa} = 2\cdot \overline{ax}. Přitom \overline{bc} znamená, že čísla bc napíšeme za sebe.

Když se Eliška odhodlala vstoupit na palubu lodi, otevřel se jí pohled na lítý boj. Ze skupiny nepřátelských bytostí se vždy určitá část rozhodla přidat do boje. Většinou proti Iris, ta se zdála největší hrozbou. Jak se vždy určitá skupinka snad zdánlivě náhodně vybrala, aby měla právě daný počet členů, holčičce to nápaditě připomínalo kombinatoriku.

Úloha č. 6

Eliška zapřemýšlela nad kombinačními čísly a všimla si, že {16 \choose 2} = 120 = {10 \choose 3}. Navíc existují ještě čtyři další kombinační čísla, která se rovnají 120. Dokažte, že pro každé přirozené n>k>0 platí, že {n \choose k} se rovná nejvýše n dalším kombinačním číslům. (K vyřešení této úlohy se vám může hodit Průvodní povídání.)

Irisin meč se zdál býti smrtícím. Některá stvoření se od lodi začala vzdalovat, když spatřila své umírající druhy. Proti pár lidem však stála nemyslitelná přesila.

Iris náhle začala ochabovat. Jak její pohyby byly pomalejší a pomalejší, bytosti si s uspokojivým vřískotem dovolovaly stále víc a víc. Každým okamžikem vojačce síly ochabovaly a rány se stávaly nepřesnějšími.

Eliška to pozorovala s hrůzou v očích stejně jako všichni ostatní. Jen černá kočka, Eliška si ani nevšimla odkud přišla, zavřela oči a lísala se k dívčině noze. Jako by se se mnou loučila, pomyslela si holčička, jako by mi chtěla s lítostí říct sbohem.

Eliška zavřela oči, něco ji vedlo, aby ona vše ukončila. Přestala vnímat, co se kolem ní děje, zahloubala se do svého nitra. Něco se v ní zlomilo, stala se někým jiným, někým, komu nerozuměla. Pak udělala první krok. Byl velmi váhavý a těžký, ale postupně se jí zdály kroky další, lehčí a samovolnější. Její oči žhnuly oranžově. Když přistoupila k Iris, starý rybář je smutně přihlížel. Muselo to přijít. Ta slova zněla cize, děsivě. Z dívčiných úst se vydrala nepřirozená věta: „Jste povinni mě uposlechnout, jelikož vám přináším oběť. Svoji oběť.“

V jediný moment se rozhostilo nekonečné ticho.

---

Eliška si nic víc nepamatovala. Probudila se na starobylém polorozpadlém oltáři. Dříve snad mohl mít pravidelnější tvary. Teď už šly dobře rozpoznat jen stejné kamenné kvádry, ze kterých byl postaven.

Úloha č. 7

Mějme 27 dílků 1\times 2\times 4. Chtěli bychom z nich utvořit kostku 6\times 6\times 6. Nakreslete nebo popište, jak by se mohla kostka sestavit, nebo ukažte, proč to nelze.

Když otevřela oči, spatřila svět Omniferů.