Zadání 5. série 39. ročníku
Termín odeslání: 15. 4. 2024
Pravidla pro odevzdávání řešení najdete zde. O tom, jak řešení sepisovat, si můžete přečíst zde nebo se podívat na video.
Adresa: Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8
Zadání je k dispozici také ve formátu pdf. Průvodní povídání, které vám může pomoci s některou z úloh této série najdete zde.
Rudé pruhy začaly protínat modrou oblohu. Mezi nimi se proplétalo pár purpurových čar. Bylo však jen pár chvil po poledni. Slunce zůstávalo nad hlavami dobrodruhů, zbarvilo se do oranžova až do červena a svítilo na maličkou loďku ztracenou uprostřed mořské krajiny. Vítr a moře spolu začaly tančit, plynule a pomalounku ve všech směrech naráz. Loď bez větru v plachtách se téměř zastavila.
To bylo poprvé, co Kristian viděl na vlastní oči výjev, který kdysi jeden zbloudilý mořeplavec načrtl do své knihy. Nevěděl přesně, odkud se vzal, ale tušil, že původ by musel hledat jinde než ve světě lidí. Všichni na palubě mlčky zírali na oblohu, na tmavé stíny, co se ve spirálách větru a moře skoro neznatelně objevovaly, přibližovaly k lodi a zase mizely. Nikdo z nich však netušil, co doopravdy zapříčinilo jejich příchod, ani ta, co je přilákala. Když si poté o události povídali, každý si pamatoval jiný počet přízraků.
Úloha č. 1
Určete počet možností, jaká čísla si mohli myslet Eliška, Iris, Kristian a Gerus, jestliže zjistili, že součin jejich čísel je 120. (Na vlastníkovi myšleného čísla záleží, tedy možnost, kde si Eliška myslí 44 a Kristian 77, je jiná než možnost, kde si Eliška myslí 77 a Kristian 44. Myšlená čísla jsou přirozená a mohou se opakovat.)
Iris pevně svírala rukojeť meče, ale nebylo s čím bojovat. Tázavě se podívala na ostatní, nepřestávaje periferním viděním pozorovat mihotající se obrysy postav. Stařec si povzdechl. Zachmuřeně si vzpomněl na den, kdy se poprvé setkal s Eliškou. Nikdy s nikým o této události nemluvil, ani s holčičkou samotnou. Tehdy nad mořem hřměla nekonečná bouře, už se vracel s lodí do přístavu, ale přes silný vítr a rozbouřené vlny nemohl vést správný kurz. Se strachem zahryzlým hluboko v duši spatřil v troskách cizí lodi malé dítě, asi mu tehdy předalo jiskru naděje, která ho přivedla bezpečně až ke břehu. V ten den tam také byly ony podivné stíny a i tehdy se mračna zbarvila do podivných nepřirozených barev.
Eliška v podpalubí zkoumala knihu. Listovala a od vyobrazení nejnepředstavitelnějších stvůr se dozvídala i o historii celého světa, jak rychle pochopila, nejen světa, který jí byl doposud znám. Snad zapomněla na nepříjemný zážitek s nepřirozenými návštěvníky. Něco ji táhlo zjistit o těchto věcech, o tomto světě a o bytostech žijících v něm, víc. Jedna ze stránek pojednávala o hodinkách „všeho chaosu“, nástroji mocnějším než cokoliv jiného, který určuje koloběh všech věcí v tomto i jiných světech.
Úloha č. 2
Máme neklasické hodiny. Ručičky se pohybují rovnoměrně. Malá ručička chodí po směru a oběhne jedno kolečko za 50 minut, velká ručička chodí proti směru a oběhne jedno kolečko za 80 minut. Obě ručičky jsme dali na stejné místo a naráz pustili. Za kolik minut nejdříve budou ručičky svírat pravý úhel?
Tyto hodinky, které tikají už od počátků prvních věků, vlastní bytosti zvané Omnifery. Jejich tvar je přinejmenším nezvyklý a snad i větší záhadou než samotné Omnifery a jejich svět.
Úloha č. 3
Mějme pravidelný jehlan, jehož základna je rovnostranný trojúhelník o straně délky 3\ {\rm cm} a který je vysoký 10\ {\rm cm}. Jehlan položíme na bok. Spočítejte, jaká je aktuální výška tohoto tělesa.
Na dalším listu udiveně nalezla mapu s místy, kde na všech mapách, co kdy viděla, byly jen širé mořské pustiny. Při studiu podivné mapy zpozorovala, že kurz dědovy lodi míří přímo na největší trojúhelníkový ostrov království Omniferů. Tento ostrov byl pravidelně rozdělený do několika oblastí. Legendě však příliš nerozuměla.
Úloha č. 4
Máme rovnoramenný trojúhelníkový ostrov ABC. Jeho základna AB je dlouhá 4\ {\rm cm} a ramena mají délku 2(\sqrt{6}+\sqrt{2})\ {\rm cm}. (Ramena svírají úhel 30°). Uvažujme bod D jako střed základny AB. Nakreslíme 2 kružnice, jejichž středy jsou body A a B a poloměry |AD|=|BD|. Průnikem kružnic a ramen vzniknou body E a F. Dále nakreslíme kružnici, jejíž střed je bod C a poloměr |CE|=|CF|. Vypočti obsah té části trojúhelníku, která neleží v žádné kružnici.
Černá kočka Elišku bedlivě pozorovala svýma oranžovýma očima. Rozvážně se k dívce přiblížila a chvilku se s ní dívala na různorodé strany knihy. Sama měla svůj divoký a velmi působivý příběh. A zajímalo ji, jaký příběh čeká Elišku. Když ji chtěla holčička pohladit, rychle se mihla pod rukama, přeběhla přes knihu a ta zůstala otevřená na listech zdobených nezvyklými ornamenty.
Úloha č. 5
Mějme mřížku 5 \times 8 (řádky značeny 1–5, sloupce značeny A–H), ze které odejmeme políčka D1, D2, E1, E2, D4, D5, E4, E5. Dokažte, že počet možností, jak tuto mřížku vydláždit dominovými dlaždicemi, je druhá mocnina nějakého přirozeného čísla.
Elišku však zaujal na pohled známý matematický útvar. Rychle zkoumala, jak vypadá. Něco jí tam ale nesedělo.
Úloha č. 6
V knize bylo vyobrazeno prvních dvacet řádků Pascalova trojúhelníku. Tedy počínaje jedničkou na prvním řádku; a číslo na každém dalším řádku bylo součtem dvou nad ním (viz druhé průvodní povídání). Eliška sečetla všechna čísla ve dvacátém řádku. Potom ale zjistila, že v desátém řádku bylo jedno číslo napsáno o jedna špatně. Tato chyba se pak promítla i do všech následujících řádků. Určete všechny součty, které mohly Elišce vyjít. (S úlohou vám může pomoct průvodní povídání.)
Při snaze v knize opravit špatně napsané číslo v matematickém obrazci se jí inkoust začal rozpíjet a text měnit pod prsty. Nostra regina, Ti prinsesatayo. V novém pojednání se Eliška dočetla o tzv. princezně Omniferů. Jejich vyvolené, jež má moc a schopnost hlídat ony hodinky všeho chaosu. Nechápala, jak se volí, snad ony samy hodinky ukážou, kdo je hoden je nést.
V knize pod textem o princezně se nacházela ukázka jednoho z mnoha rituálů, jež se na počest a vybrání vyvolené Omniferů slavnostně pořádá.
Úloha č. 7
Jeden z Omniferů si myslel čtyři po sobě jdoucí trojciferná přirozená čísla. V náhodném pořadí prozradil čtyřem mladým Omniferám vždy právě jedno číslo (různě). Pak jim prozradil, že jedno z čísel je dělitelné sedmi a nějaké jiné je dělitelné šesti. V ten moment všechny zároveň řekly, že netuší, jaká je sada čísel. Všechny to zaslechly a začaly přemýšlet. Poté někdo (možná více osob) řekl, že ví, jaká je sada čísel. Na základě průběhu „rituálu“ určete počet možností pro sadu čísel.
Vedle rituálu byla ještě napsána věta v cizím jazyce, jemuž Eliška nemohla rozumět. Chtěla ji alespoň říct nahlas, jak zní, ale to vyvolalo silné zasyčení a zaprskání ze strany kočky, která na ni výhružně pohlédla. Slova však byla už řečena. Ze tmy se jí ozvala odpověď.