Zadání 4. série 39. ročníku

Termín odeslání: 19. 2. 2024

Pravidla pro odevzdávání řešení najdete zde. O tom, jak řešení sepisovat, si můžete přečíst zde nebo se podívat na video.

Adresa: Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8

Zadání je k dispozici také ve formátu pdf. Průvodní povídání, které vám může pomoci s některou z úloh této série najdete zde.

Loď plula již hodnou chvíli. Vlny nerytmicky narážely do přídě a hluk ze vzdalujícího se přístavu postupně mizel. A tak jenom diskuze tří lidí na palubě rozbíjela jinak idylický moment souznění šplouchajícího moře, šustění plachet a nekonečného skřehotu racků.

Na lodi však bylo více nežli jen tři postavy, nikdo si však malé postavičky ukryté v harampádí nepovšiml.

Ta, aby zůstala nepovšimnutá, se pokusila zabavit a začala zkoumat, co za náklad se veze. Narazila na plechovku s obrázkem ananasu, a tak si ji prohlížela.

Úloha č. 1

Plechovka s ananasem a nálevem má hmotnost 700 gramů. Hmotnost samotného ananasu je dvakrát vyšší než hmotnost samotného nálevu. Když sníme jen ananas, váží plechovka s nálevem 300 gramů. Kolik váží samotná plechovka?

„Co bude za úkol, až tam dorazíme? Dokáže tam tahle loď vůbec doplout? Co je mi vůbec potom, tady není nic, v co by šlo doufat. Víte alespoň, jak to tam vypadá?“

„Je až neuvěřitelné, kolik otázek dokáže vymyslet,“ pomyslel si smutně Kristian. Čím dál tím víc pochyboval a nechápal, proč je na tak nebezpečné cestě má chránit jen jeden voják, a ještě k tomu vojačka.

Úloha č. 2

A už vzduchem letěly další otázky. „Teď si myslím čtyřmístné číslo. Co takhle, kdybychom k tomu číslu přičetli sedminásobek první číslice? A co takhle, kdybychom od něj pak odečetli pětinásobek druhé číslice, desetinásobek třetí číslice a dvacetinásobek poslední číslice? Jak bychom pak dokázali, že nově vzniklé číslo je dělitelné devatenácti?“ (Přičítané a odečítané cifry uvažujeme z původního čísla.)

Starý rybář měl na výpravu postoj jasný. Kdysi mu správce města pomohl, kryl ho, i když nemusel. A tak vlastně tuto výpravu rybář bral jako splacení pomyslné laskavosti, kterou dlužil. Byl připraven udělat vše, co bylo v jeho silách, aby daný úkol splnil, jako vždy, nevyjímaje oběti vlastního života.

Iris znal, slyšel i příběhy, co se o ní povídaly. A věřil jim právě proto, že on sám stál v boji proti mnohým příšerám a výjevům jakoby z cizího světa po jejím boku a jejím meči. Ani na vteřinu nepochyboval o jejím výběru do družiny. To však nemohl říct o pobledlém „poslovi“.

„Co ty, knihomole, neřekneš nám alespoň něco, co nás tam může čekat?“ ukončila svůj nekončící proud slov Iris. Kristian si odfrkl, nejen, že se mu z pohupování lodě sem a tam dělalo nevolno, ale především neviděl jediný důvod, proč by se měl svěřovat se svými znalostmi. Znalostmi vyčtenými z knih, kterých mnohdy v království nebylo více nežli jedno vydání.

Úloha č. 3

Představte si knihu, ve které jsou zapsané všechny zlomky, které splňují následující podmínky:

každý jmenovatel a každý čitatel je čtyřciferné přirozené číslo,
pokud čitatel vydělíme jmenovatelem, dostaneme přirozené číslo, toto přirozené číslo po dělení sedmi dá zbytek dva.

Kolik zlomků je v knize?

Už už si připravoval velice nelichotivé odseknutí a následný proslov o důležitosti výpravy, úkolu a jeho vlastní postavy, když se náhle ozvalo vylekané holčičí vypísknutí: „Áááá,“ následované kočičím zamňoukáním.

Když na Elišku znenadání skočilo černé stvoření, byla zrovna uprostřed počítání zajímavého příkladu. Někde našla špejle a dokonale kulaté klubko a přemýšlela, jaké úlohy by se daly vymyslet.

Úloha č. 4

Na kouli o poloměru 13\ {\rm cm} je vyznačený bod. Eliška vzala špejli a skrz vyznačený bod kouli skrz naskrz propíchla. Část špejle uvnitř koule měla délku 8\ {\rm cm}. Poté vzala další špejli a skrz stejný bod kouli skrz naskrz propíchla, že část špejle uvnitř koule měla délku 6\ {\rm cm}. Špejle mezi sebou svíraly pravý úhel. Určete, jaká je vzdálenost středu koule od roviny, ve které leží obě špejle.

V klidné starcově tváři se zkřivily vrásky, snad okamžitě poznal, kdo se na lodi ukrývá. Zděšení se proměnilo ve strach a zoufalství. Co teď? Na návrat nebylo pomyšlení, ale nemůže ji přeci vystavit tak náročné cestě s nejasným cílem a neznámým koncem.

Čepel meče se zaleskla ve světle pozdního odpoledního slunce a neobyčejnou rychlostí zamířila za ještě stále schovanou dívkou. Irisiny červené lokny divoce vlály a odkryly tak jiskřící oči rudovlásky. Než rybář stačil vykřiknout, zbraň byla schovaná zpátky ve svém pouzdře.

Eliška se marně snažila dosáhnout na palubní prkna, nohy se jí houpaly ve značné výšce od podlahy. Iris ji držela za mikinu a pozorně si ji prohlížela. Po dlouhém tichu významně a trochu zděšeně pohlédla na starce.

Holčička byla zklamaná, těšila se na tento okamžik tak dlouho a teď se cítila spíš vinna. Co ale udělala tak špatného? Na moře ji to táhlo už od útlého dětství. Prostě jen toužila zažít stejně velká dobrodružství jako její děda.

Seděla na posteli v jedné místnůstce v podpalubí, kam ji, jako nevítaného vetřelce, odvedli. Shora k ní doléhaly hlasy dospělých, něco o nadpřirozenu, co se probudilo a musí být utlumeno, něco o poslání na konec světa.

Úloha č. 5

EDIT: V původním znění této úlohy byla navíc informace, jak daleko stojí Eliška od zdroje paprsku. Nyní již tato informace k dispozici není. Nicméně za správné řešení úlohy dle původního znění bude také udělováno 5 bodů. Proto, pokud již máš sepsané řešení, nemusíš začínat znovu.

Od podlahy míří paprsek světla pod úhlem 60^{\circ}. Ze stropu visí malé zrcátko, od kterého se paprsek odráží a pak dále dopadá na zrcadlovou zeď. Zrcadlová zeď je kolmá k zemi a nalézá se \sqrt{3}\ m od začátku paprsku. Od zrcadlové zdi se dále paprsek odráží a dolétá přesně zpět do bodu, odkud vycházel. Délka paprsku mezi zrcadlovou zdí a koncem trasy je 2\ m. Navíc víme, že pod malým zrcátkem leží Eliška. Víme i to, že Eliška leží na polopřímce, která začíná ve zdroji paprsku a prochází zrcadlovou zdí, na kterou je dokonce kolmá. Určete úhel, pod kterým může být zrcátko zavěšeno oproti stropu. Strop je rovnoběžný s podlahou. (Poznámka: úhel dopadu se rovná úhlu odrazu.)

S prázdným vydechnutím se svalila na postel, chtělo se jí brečet, ale všechno už vyplakala. Černé stvoření se k ní přitulilo.

Eliška by ocenila něco zajímavého, na co by mohla upnou pozornost a zapomenout, v jaké situaci se nachází. Vzpomněla si na svoji tetu a její krásný, útulný dům.

Úloha č. 6

Na okně má Eufemie kytky, které je třeba maximálně jednou denně zalít, přitom smí vynechat jenom jeden den (tedy např. pokud zalije kytky ve středu, musí znovu zalívat nejpozději v pátek). Eufemie zalévá každou neděli, ale od pondělí do soboty zalévá, jak se jí zrovna zachce. Z kolika možností si může vybrat, v jaké dny bude v daném týdnu (pondělí až neděle) zalívat?

Pak si náhle vzpomněla na knihu, co získala na trhu. Rychle se zvedla a vyrušila do klubíčka schoulené zvířátko, to jen protestně zamňoukalo a dívku pozorovalo.

Když knížku Eliška vytáhla z tašky, cítila něco podivného, to, co ji tehdy ke knize přilákalo. Nedokázala to popsat. Něco v té knize musí být! Zběsile listovala mezi stránkami neznámého textu a výjevů podivných někdy neexistujících zvířat a stvůr. A, jakoby kniha sama chtěla, zůstala otevřená na jednom konkrétním listu.

Kočka k holčičce pomalinku došla. Její tlapky se protáhly a zmizely ve stínu, její oči změnily barvu do zářící oranžové. Když se postavila vedle holčičky, její podoba nabyla velikosti i vzhledu dospělé ženy, avšak její drápy a mlhavý stínový tvar byl stále lidskému světu daleko vzdálen.

Na stránce se text pomalu měnil na srozumitelnou lidskou řeč, mělo by to udivovat, ale dívka si toho nevšímala. Uprostřed levé stránky, namísto kresby, bylo zrcátko a v něm její obraz, na opačné straně stromový rodokmen. Nikde však neviděla lidský obličej. Ani v zrcátku. Dívala se do svých očí mihotajících zlatou barvou a za nimi uviděla oči další a další a další obklopené podivnými stíny.

Začalo se ozývat sto hlasů a v ozvěně mizelo: „Naragsak nga isasangbay, naragsak nga isasangbay, naragsak nga isasangbay…“

„Vítáme tě.“ Sto oranžových očí se stočilo k dívčiným a Eliščin pohled se střetl s neznámou beztvárnou černou tváří. „Vítáme tě, princezno.“

Úloha č. 7

Sto tvorů stálo v řadě a sledovalo Elišku. Eliška řekla náhodné číslo k od 3 do 100 a prvních k tvorů se Elišce poklonilo. Dále z těch, kteří se Elišce poklonili, náhodně tři vybrala. Tito tři tvorové Elišku znovu přivítali. Určete počet možností, jak se tvorové mohli Elišce poklonit a jak Elišku znovu přivítali. (Poznámka: k vyřešení úlohy vám může pomoct Průvodní povídání 2.)

„Buch.“ Knížka zaklapla. Plápolající oči, jako když vítr sfoukne svíčky, uhasly a stíny se vrátily, odkud vzešly. K nohám se Elišce lísala chlupatá kočka.