Zadání 3. série 39. ročníku

Termín odeslání: 8. 1. 2024

Pravidla pro odevzdávání řešení najdete zde. O tom, jak řešení sepisovat, si můžete přečíst zde nebo se podívat na video.

Adresa: Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8

Zadání je k dispozici také ve formátu pdf. Průvodní povídání, které vám může pomoci s některou z úloh této série najdete zde.

---

V jedné ruce tašku, v druhé kousek papírku a na něm úhledným písmem tety Eufemie napsaný seznam věcí k nákupu. Holčička se řítila ze schodů rovnou na rušnou ulici probouzejícího se Nevaru. Tetě narychlo řekla: „Ahoj! “ V pokoji nechala nevybalenou brašnu. „Nezůstane tu dlouho,“ pomyslela si. Vše jí klapalo podle plánu. Vchodové dveře městského domku se zabouchly. Malá postavička, po boku s černým chlupatým stvořením, se vydala na ranní trh.

Kdysi jí teta nechala spočítat při výuce matematiky, kolik cest vede od domu na tržnici. Eliška však vždy chodila jen jednou, nebyla nejrychlejší, ale v jedné zatáčce měla výhled na nedaleký přístav.

Úloha č. 1

Pro reálné číslo x platí:

Jaká je hodnota \sqrt{100 - x^{2}} - \sqrt{64 - x^{2}}?

Ulice byly plné lidí jen, co se rozednělo. Mezi dlažebními kostkami tekly potůčky vody odrážející pastelové barvy vycházejícího slunce. Z dálky bylo slyšet melodické hučení již klidnějších mořských vln.

Eliška se zanedlouho dostala přes spletité uzounké uličky až na prostorné náměstíčko, kde to jen hučelo, třískalo a ze všech stran se ozývalo volání prodávajících i kupujících. Rychle procházela mezi stánky, aby našla, co bylo třeba nakoupit. Její vychování jí nedovolilo nesplnit, oč ji Eufemie požádala. A přeci jen měla ještě trochu času, než se loď připraví na plavbu.

Prodrala se přes skupinu komediantů, kteří si přivydělávali veselým zpěvem a tancem. Přímo za nimi byl stánek plný různorodých výrobků ze dřeva. Jeden obzvlášť povedený si prohlížel zámožný pán s nesouhlasným výrazem. Byl to zdobený pravidelný osmistěn, který truhlář vyrobil na zakázku. Holčička se přitočila a pozorně se zadívala na náčrtek, kterým rozmrzelý zákazník mával na prodejce. „Neudělal jste to podle náčrtku, tahle stěna má být jiná“ čertil se. „Ne, ne, je to vyrobeno přesně tak, jak jste mě požádal,“ bránil se na to řezbář.

Eliška se do sporu vložila, aby dokázala truhlářovu přesnost. Na plánek na každou stěnu napsala číslo a po pozorném prozkoumání cizí pán souhlasil, že výrobek opravdu sedí.

Úloha č. 2

Níže je obrázek sítě pravidelného osmistěnu s očíslovanými stěnami (obr. zad321). Když se síť složí, vyjde nám osmistěn jako na obrázku zad322. Zjistěte, jaké číslo má stěna s otazníkem.

S vítězoslavným úsměvem se holčička vydala k protějšímu obchůdku, kde si všimla mnoha látek. Na seznamu od tety Eufemie však měla množství látky, které má koupit, zadané úlohou o obsahu.

Úloha č. 3

Máme n-úhelník o obvodu 20 {\rm\,cm}, jehož kružnice vepsaná má poloměr 3 {\rm\,cm}. Určete obsah takového n-úhelníku.

Koupila ještě sadu barevných knoflíků a zamířila na část trhu se zeleninou a ovocem.

U jednoho obchůdku se zastavila a se zamyšlením pozorovala zvláštní knihy vystavené na pultu. Byly staré, ohmatané, některé potažené kůží, některé zase s dřevěným obalem. Nepamatovala si, že by někdy něco podobného na městském trhu viděla. Hned na poprvé jí padla do oka jedna středně velká kniha, která jako jediná neměla žádný název. Na kožené vazbě měla místo slov vyobrazený jednoduchý obrázek vlny vyšitý stříbrnou nití. Měla pocit, jako by ji v tu chvíli moře volalo. Nechápala, co se stalo, jen nesmírně toužila knihu otevřít a zjistit, co se v ní ukrývá.

Ostatní knihy byly také zajímavé, většina z nich místo slov měla pouze čísla, a to konkrétně palindromy.

Úloha č. 4

Určete největší sedmiciferné přirozené číslo, které je palindromem (čte se odpředu stejně jako odzadu) a je dělitelné třemi, pěti a jedenácti.

Stařík za pultem si holčičku podezřívavě prohlížel. Už už chtěl něco podotknout, ale náhle mu v očích probleskl strach. Za zády holčičky se na nepostřehnutelnou chvíli zjevilo cosi, co jako by vyrostlo ze stínů a zase se v nich rozplynulo. Beztvarý, bezejmenný stínový tvor se podle prodavačových znalostí může zjevovat pouze, když má někoho varovat. Nikdy však nečekal, že ho spatří. Podle legendy chrání bytosti, jež nepatří do lidského světa!

„Tady ta kniha vás nic stát nebude, jen prosím odejděte,“ pověděl prodavač rozklepaným hlasem podstrkávaje knížku holčičce. Eliška se zmohla jen na udivené „děkuji.“

Dívčina kočka se s ladností vyhoupla na pult a škodolibě na staříka zasyčela, přitom tlapkou shodila pár knih, které v oblaku prachu skončily na zemi. Prodavač jen bezděčně ucouvl.

Eliška si své kamarádky ani prodavače sbírajícího knihy nevšimla a zatoužila ihned získanou cennost prozkoumat. Než však knihu stihla otevřít, přímo vedle ní se přidrkocal vozík s kořením. Podle vůně poznala, že je tam i množství cizího koření, včetně kardamomu či muškátových květů, které její teta chtěla do zásoby.

Kolem nového obchůdku se rychle vytvořil hlouček lidí. Holčička zastrčila knihu do tašky, co nejrychleji se přidala mezi první zájemce a pořídila, co bylo potřeba.

Podle slunce, jež se vyhouplo nad domky, zjistila, že už nemá mnoho času. Spěšně nakoupila poslední věci ze seznamu a skoro utíkala vyměnit si tašku s nákupem za svou brašnu.

Doma nikdo nebyl, z koupených věcí vyndala podivuhodnou knížku, neodolala a podívala se alespoň na první stránku. Na ní byla vyobrazená oliheň a pod ní množství klikyháků a neznámých znaků. Na chvilku si obrázek prohlédla, vzpomněla si na jednu úložku a trochu zklamaně knihu zacvakla.

Úloha č. 5

Oliheň si chce obléct 6 ponožek, protože má šest nohou, a jeden klobouk. Má celkem 15 různých ponožek (kusů, ne párů) a čtyři různé klobouky. Určete, kolika způsoby se může obléct. (Jednotlivé nohy od sebe nerozezná, takže pokud oblečené ponožky jenom převlékne na jiné nohy, bude to pořád ta stejná možnost.)

Ještě, než se měla k odchodu, z kapsy vytáhla zmačkaný nákupní papírek a na druhou stranu napsala tetě Eufemii omluvu. Dnes bez ní její děda neodjede!

Tentokrát zamířila ulicemi dolů k přístavu trochu obloukem, aby náhodou nenarazila na rybáře, kteří by ji hned poznali. Nikdo nesměl pojmout podezření. Když se jí nakonec vyskytl pohled na moře, svázala si neposedné pramínky vlasů do copu a přes hlavu si přehodila kapuci.

I kočka pochopila, že nemá být na očích, a zmizela ve vedlejší uličce.

U jedné přístavní krčmy seděli tři rybáři dumající nad oblíbenými logickými hrami s kuličkami. Jindy by se Eliška bez váhání přidala. Když kolem nich procházela tentokrát, pokusila se svoji tvář schovat o něco hlouběji do stínu kapuce.

Úloha č. 6

Máme červenou misku, ve které je 20 zlatých, 20 stříbrných a 20 dřevěných kuliček. Máme zelenou misku, ve které je neomezené množství kuliček všech tří druhů. Smíme dělat následující operace:

• z červené do zelené dáme zlatou a ze zelené do červené dáme stříbrnou a dřevěnou,
• z červené do zelené dáme stříbrnou a ze zelené do červené dáme dvě dřevěné,
• z červené do zelené dáme 6 dřevěných a ze zelené do červené dáme zlatou.

Můžeme se těmito operacemi dostat do stavu, kdy je v červené misce 10 zlatých, 11 stříbrných a 10 dřevěných kuliček? Pokud ano, ukažte postup operací; pokud ne, dobře zdůvodněte proč.

V přístavu se houpalo mnoho lodí všelijakých velikostí, ale dědovu loď poznala holčička bez problémů i na dálku. Ta dřevěná kráska byla bezesporu ojedinělá. Její stěžeň vyčníval nad ostatními. Vypadala staře, ale při bližším prohledání člověk nenašel jedinou chybu. Byla perfektní! Podle holčičky byly všechny lodě kouzelné, ale tahle ze všech nejvíce.

Kolem lodí a na molech byl chaos a hluk, holčička se mezi davy nepozorovaně dostala až k dědově lodi. Prosmýkla se mezi nakládači a schovala se za nejzadnější krabice. Udivovalo ji, kolik toho nakládají.

Úloha č. 7

Je dán obdélník, který je rozdělen na několik dalších obdélníků (obr. zad371). Máme k dispozici 4 barvy. Kolika možnostmi můžeme obrázek obarvit (každý obdélník dostane jednu barvu), aby nikde nesousedily dva obdélníky stejné barvy?

Ještě víc se přikrčila, když uslyšela známý hlas. Hlodalo ji, zda nedělá hloupost. Připadalo jí, jako by tam schoulená, poslouchajíc svůj ustrašený tlukot srdce, seděla věčnost.

Pak uslyšela ještě jeden hlas, spíše chlapecký. „Hele, kočka, je čas vyrazit.“

Provazy se odpoutaly. Loď se dala do pohybu.