Zadání 2. série 39. ročníku

Termín odeslání: 27. 11. 2023

Pravidla pro odevzdávání řešení najdete zde. O tom, jak řešení sepisovat, si můžete přečíst zde nebo se podívat na video.

Adresa: Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8

Zadání je k dispozici také ve formátu pdf. Průvodní povídání, které vám může pomoci s některou z úloh této série najdete zde.

„Co mi to vykládáš! Přijedeš si v noci, jen tak bez ničeho, a hned chceš něčeho požadovat?“ Správce města rozčileně rozhazoval rukama a jeho podrážděný hlas se odrážel od kamenných stěn místnosti. Naproti němu seděl značně znavený posel. Asi už po desáté si poposedl a pokusil se nalézt příjemnější polohu pro své rozbolavěné pozadí. Tři dny strávené v sedle nesly své následky a tvrdá židle také příliš nepomáhala. Cizinec nevarského lorda podezříval, že se tak snaží zkracovat audience, protože na lordově židli, jako na jediné, ležel pohodlně vypadající polštář. Teď tu ale šlo o něco jiného, něco, co očividně správce nepobíral. Posel si povzdechl, nesnášel předávání zpráv. Co začal pro krále pracovat, a že to nebylo dávno, už zažil takovýchto ukřičených rozhovorů až moc.

Nepříjemné atmosféře nepomáhala ani kvičící meluzína, která doprovázela doznívající hromobití.

Na desce správcova pracovního stolu ležela podivná dřevěná kostka. Posel neodolal a v jeho mysli se hned začala ztvárňovat vtipná úloha.

Úloha č. 1

Červík Bertík z krychle 3\times 3\times 3 vykousal sedm krychliček: prokousal se ze středu přední stěny do středu zadní stěny, ze středu horní stěny do středu spodní stěny a ze středu levé stěny do středu pravé stěny. Poté se chtěl dostat z pravého horního zadního rohu celé krychle o dvě krychličky dopředu, o dvě doleva a o dvě dolů. Směl chodit jenom po stěnách zbylých krychliček. Jak dlouhá je nejkratší cesta, kterou mohl lézt?

Nakonec lord s nechutí pokynul, aby vyrušitel jeho klidu pověděl, co má na srdci, a dal si náležitou až úctyhodnou práci s co nejnevlídnějším pohledem, co jen dovedl.

„Nepustili bílou holubici s krvavou náprsenkou, zvěstovatele příchodu královského posla. Bouře zuří celým královstvím již třetím dnem, nedoletěla by.“ Posel si vzpomenul na svoji oblíbenou holubičku.

Úloha č. 2

Její náprsenka měla velmi podivný tvar. Body A, B a C tvořily trojúhelník. Útvar ABDE byl čtverec nepřekrývající se s trojúhelníkem ABC. Obdobně náprsenka obsahovala čtverce BCFG a CAHI nepřekrývající se s trojúhelníkem ABC. Obvod celého útvaru AEDBGFCIH byl 30 cm. Určete obvod trojúhelníku ABC.

„Ano, zuří ode dne rovnodennosti,“ přitakal správce klidnějším tónem. Cizincovo jednoduché vysvětlení ho uklidnilo, teď dostal zájem o to, co mu král chce.

„Jak jistě víte, celé pobřeží od východního cípu Cirty, přes Krasnu, Nevar až do nejzápadnějšího zálivu naší země bojuje s nedostatkem ryb.“

„Ano, ano, snažil jsem se rybáře přesvědčit, ať plují dál do vzdálenějších vod, kde by bylo ryb k lovu dostatek, ale jen hrstka z nich je ochotná a o to menší část z nich se vrátí ve zdraví. Bojí se a není divu. To, co na moři zažívají, se nápadně podobá prastarým legendám. I mí vojáci se bojí jezdit s rybáři a chránit je. V sítích i na tržnici však ryb ubývá a ubývá.“

Například v jedné prastaré legendě se povídá, že na rybáře zaútočí obrovská černá chapadlovitá příšera, jestliže alespoň do třech sítí chytí nešťastný počet ryb.

Úloha č. 3

Nešťastná čísla jsou kladná celá čísla x, y, 84, pro která platí, že je jejich součet roven jejich nejmenšímu společnému násobku. Najděte alespoň tři dvojice čísel x, y, kde x<y.

„Jak jste již zmínil, před třemi dny byl den rovnodennosti, den, kdy Alison přijímá prosby o věštbu. Sám král se za ní vydal. Urychleně nesu jak její věštbu, tak královy pokyny.“ Posel se na lorda dlouze zadíval. Byl to muž jako hora, a i když očividně bojoval s mírnou nadváhou, jeho svaly nešlo přehlédnout. Cizinci přejel mírný mráz po zádech, když si představil, jak by mu asi mohl čelit. Teď však vypadal správce spíš komicky. Rozhořčení odeznělo tak rychle, jako se objevilo. Ukazováčkem si ťukal na špičku nosu a se zadumaným výrazem chodil po pracovně sem a tam.

Posel si odkašlal a počkal, až se na něj nevarský správce znovu podívá a věnuje mu dostatečnou pozornost. „Čtvrtého dne, když jen pěna zbude z uštvaných vln a slunce svatozář dá horám, ať vypluje loď, jež zvládne doplout až na konec světa. Ať příď se nikdy nestočí do stran, ať pluje přímo do vycházejícího slunce až za hranice lidem známých končin. Vaše víra v ní dá naději, že vše bude zas jako dřív. A správná oběť bude podle prastarých zákonů světa zaručovat to, oč jste žádal, králi.“ Cizinec se odmlčel, tiše vzpomínal.

Seděl před ebenovými dveřmi audienční síně samotného krále. Dovolil si být viděn. Poradil, a o co hůř, úspěšně, cirtskému lordovi, který jeho chytrost a důvtip vychvaloval do nebes.

Úloha č. 4

Cirtský lord potřeboval zjistit, kolika způsoby lze 14 vojáků postupně s jedním až čtrnácti odslouženými roky rozdělit na 7 dvojic tak, že v každé dvojici má více zkušený voják alespoň dvojnásobný počet let ve službě než méně zkušený voják.

Vyřešením této úlohy se zefektivnila výuka šermu v Cirtě, ale král z toho radost spíše neměl. Královští poslové totiž nesmí být viděni, především nesmí být známi. Jsou jen králova slova, ne osoby. Jeho oči těkaly z jedněch dveří na druhé, děsil se, z jaké strany asi přijde problém. Nakonec došel k závěru, že nejspíš přijde z obou naráz. Ne že by se tedy bál o ztrátu svého místa, i když vlastně také trochu, ale především tu čekal dostatečně dlouho, aby jeho fantazie stvořila ty nejhorší možné scénáře.

Jediné, co mu na chvíli zahnalo nežádané myšlenky, byly zdobené kachličky pověšené na stěně do tvaru hradby.

Úloha č. 5

Máme hradbu utvořenou z kachliček jako na obrázku zad251. Kolika způsoby bylo možné hradbu poskládat? Každou kachličku šlo položit buď úplně dolů, nebo na nějakou, která už byla umístěná. (Způsoby jsou různé, pokud se liší pořadí, ve kterém byly kachličky umístěny.)

Z chodby, za druhými dveřmi místnosti, se ozvaly spěšné kroky a neharmonické plechové chrastění, jak se stráž nahonem snažila otevřít těžká dřevěná křídla. Posel se koprně postavil. V tu chvíli se do místnosti protáhl komorník a za ním napůl otevřené dveře rozrazily královy ruce. Jejich majitel uhnaně oddechoval. Jeho pohled ihned padl na černovlasého kluka. „Ty jsi Kristian, ten posel?“ zeptal se ho se sípáním a bez okolků. Posel se zmohl jen na vlahé přikývnutí, zato na králově tváři se rozlil samolibý úsměv. „To bychom měli tři mouchy jednou ranou.“

„To je celá věštba?“ Otázal se lord dumajíc nad poslovými slovy a vytrhl ho tak ze vzpomínek.

Posel se nadechl.

„Loď ať chráněna je jedním a tím pravým mečem a vedena tak, jak byla již natisíckrát. Ať rozumí jazykům a zná místa všech živých i neživých.“

Odmlka.

„Ať dá sbohem zlatému přístavu až černá kočka pro smůlu přes palubu přeběhne.“

Odmlka.

„Věřte, že osud si sám vybírá, kdo popluje, toť rada má, králi.“

Ještě teď si pamatoval, jak Alisonina věštba zněla královskou audienční síní i s dovětkem, jenž patřil jemu. Ani nevěděl, zda se ho tak král chtěl zbavit, nebo zda tak slova věštkyně opravdu zněla.

„Až se vrátíte domů, třetí člen posádky na vás bude čekat přímo před audienční síní.“

Nevarský správce si se zaujetím prohlédl cizince. Pomalu mu docházelo, proč král poslal s věštbou právě sem a proč poslal právě tohoto kluka. Něco málo o něm už slyšel.

Holčička se smutně šourala za neobvykle rychlými kroky starého rybáře. Přes rameno jí visela brašna s oblečením a několika málo drobnostmi. Její děda už od brzkého rána měl jen naspěch. Jakmile si všiml, že z oblohy mizí mračna jedno za druhým, začal se chystat na výpravu na moře, která po takové blýskavici obnáší důkladnou kontrolu celé lodě a jejího vybavení, opravení drobných závad, uklizení paluby, roztáhnutí plachty a tak dále. Nic by holčičku nevzrušovalo více než plavba a dobrodružství s ní spojená, ale pravdou bylo, že vždy, když se děda vypravoval na lov na širý oceán, ona s ním jet nemohla.

„Ale no ták, nebuď tak smutná, vždyť teta tě má ráda, určitě se s ní nebudeš nudit, třeba se něco i přiučíš.“ Starý rybář moc dobře viděl nechuť v dívčině tváři, ale měl své důvody ji nebrat moc daleko na moře.

Holčička nic neodpověděla, jediné, na co myslela, bylo, jak by se tentokrát dostala nepozorovaně na dědovu loď a počkala, než odpluje dostatečně daleko, aby se už nedalo vrátit.

Ale děda měl pravdu, minule jí teta dala zajímavou úložku.

Úloha č. 6

Na tabuli si měla napsat I a zajímalo ji, jestli může na tabuli získat pouze U konečným počtem tahů, kde v každém tahu může udělat jednu z následujících operací:

Může vzít celý řetězec písmen z tabule a celý ho opsat za konec. x \to xx
Je-li v řetězci písmen na tabuli I, může hned za něj dopsat U. xIy \to xIUy
Jsou-li v řetězci písmen na tabuli dvě U hned za sebou, může je smazat. xUUy \to xy
Jsou-li v řetězci písmen na tabuli tři I hned za sebou, může je smazat a napsat místo nich U. xIIIy \to xUy

Ukažte, proč se holčičce nemůže povést z I na tabuli vytvořit U.

Černé stvoření hovící si na brašně protestně zamňoukalo, jako by vnímalo holčiččiny myšlenky.

Konečně zastavili u jednoho vyššího domu, který patřil tetě Eufemii. Rybář jen zavolal a zanedlouho se jeho majitelka celá veselá vyřítila z vchodových dveří.

„Ahoj Gerusi, už jsem vás tu čekala, a co ty, Eliško?“ Oba vítala s rozzářeným úsměvem i očima.

Eliška měla tetu ráda, ale rozhodně neměla z jejich setkání stejně velkou radost, chtěla by mnohem radši trávit dny posloucháním tichých i bouřlivých mořských vln, usínat při mírném pohupování lodi nebo zažít velké příhody jako její děda.

Dospělí si prohodili jen pár slov a Eliška už stoupala po schodech nahoru do svého nynějšího pokoje. Holčička si stihla hodit tašku na postel a už slyšela volání své tety.

„Potřebuji si něco zařídit u známých, mohla bys dojít nakoupit na tržnici?“ Eufemie nepočkala na odpověď a vtiskla malý útržek papíru do Eliščiných rukou. „Na, tady máš seznam věcí.“

Holčička rychle prolétla seznam a hned ji něco zarazilo.

Úloha č. 7

Gramů mouky máme koupit tolik, kolik je součet čísel v tabulce 100\times 100. V prvním řádku jsou postupně čísla 1 až 100, ve druhém 2 až 101, ..., v posledním 100 až 199. Kolik gramů mouky je třeba koupit?

Úlohu s lehkostí vyřešila. Teď však nadešel čas plánovat tajné nalodění se.