Zadání 1. série 39. ročníku
Termín odeslání: 16. 10. 2023
Pravidla pro odevzdávání řešení najdete zde. O tom, jak řešení sepisovat, si můžete přečíst zde nebo se podívat na video.
Adresa: Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8
Zadání je k dispozici také ve formátu pdf. Tam také naleznete průvodní povídání, které vám s jednou z úloh této série pomůže, nebo si ho přečtěte zde.
„Moře bylo klidné, loďky se jen mírně pohupovaly a pomalu mířily zpátky do Nevarského přístavu, aby s přílivem vpluly do svých domovských doků. Tehdy jsme si pečlivě vybrali noc i místo lovu v onom zálivu, který se rozprostírá na severozápad od našeho města až za útesem Tří tesáků.“
Holčička ani nedutala, hltala každé dědečkovo slovo. Přesně věděla, kde se nachází útes i Graský záliv, o kterých se vedla řeč. Tento příběh, jako jeden z mnohých, slyšela už tolikrát, že by ho i sama dokázala převyprávět s takovými detaily, že by jí mnohý uvěřil, že příhodu prožila. Toužila také jednou zažít stejně velká dobrodružství.
„Nikdo z nás si nemohl stěžovat, tolik ryb jsme do sítí nezachytili za poslední měsíce. Ano, znali jsme všechny ty strašidelné příběhy o Grasu, ostatně jako každí nevarští rybáři, ale nouze donutí člověka nevidět a neslyšet.“
„Pufff, “ ozvalo se z doutníku. Holčička nakrčila nosánek, neměla ráda štiplavý tabákový kouř.
Starému rybáři zacukaly koutky a po odmlce pokračoval ve svém vyprávění.
Úloha č. 1
„O půlnoci tam bylo 400 ryb a několik lodí. Každá loď měla právě jednu barvu, a to modrou, nebo bílou. Každá modrá loď chytila tolik ryb, jako tam ten den modrých lodí plulo. A každá bílá loď chytila tolik ryb, jako tam ten den bílých lodí plulo. Jenom 6 ryb se nikomu chytit nepodařilo. Kolik tam bylo celkem lodí, jestliže modrých lodí bylo o dvě více než bílých?“
Holčička radostně vypískla, odpověď znala. Její hlas se však ztratil v sílící bouři.
Není to jediná úloha, kterou její děda vkládal do svého vyprávění. Rád obzvláštňoval své příběhy. Holčička si vzpomněla ještě na jednu takovou.
Úloha č. 2
Dva námořníci si stěžují, že nikdy nepracují na lodi spolu v týmu. Na lodi je 5 lidí, kteří jsou náhodně rozděleni do tří týmů: dva pracují v podpalubí, dva na palubě lodi a jeden sám kormidluje. Rozdělení probíhá pomocí losu s pěti kartami, kde dvě jsou zelené, dvě modré a jedna červená. Určete pravděpodobnost, že tito dva námořníci budou rozlosováni do různých týmů.
Poznámka: Pravděpodobnost se v tomto případě počítá jako počet správných možností (těch, na které se ptá otázka) děleno počtem všech možností. Vyjde nám číslo mezi 0 a 1, ze kterého bychom po přenásobení stem mohli získat výsledek v procentech.
Mihotavé světlo svíčky znenadání zhaslo.
Vítr zakvílel a opřel se do krásně vyřezávaných barvených okenic. Ty tiše zavrzaly a vzniklou škvírkou umožnily obyvatelům domu spatřit koně uhánějícího vichřicí. Ke krku hřebce se choulila postava skrytá pod vlajícím pláštěm. Tmavý obrys jezdce do městečka nezapadal v kontrastu s okolními domky, které ani ve skličující tmě neztratily svůj půvab.
Blesk proťal oblohu a osvítil úzké věže Nevarského hradu tyčící se vysoko nad střechami ostatních budov. Bylo slyšet vylekané zaržání, ale klapot vzdalujíce se k hradební bráně se ulicemi nesl v neměnném rytmu.
Úloha č. 3
Vzdušnou čarou byl jezdec 100 metrů vzdálen od hradní brány. Městem však nevedla jedna hlavní ulice. Víme, že ujel postupně rovné úseky o délkách 30, 40 a 50 metrů. Narýsujte všechna možná místa, kde se mohl po prvním a druhém úseku zastavit, jestliže po ujetí třetího úseku stál přímo před hradní bránou.
Uběhly necelé dvě vteřiny a hrom zaburácel. Rybář se se zabručením zvedl a na jeho vkus příliš zdobené okenice zabuchl. Škrtl zápalkou a místnost znovu zalilo teplé světlo. Sirku rychlým pohybem uhasil a vhodil ji do sklenky, kam následně umístil i ohořelou špejli ležící vedle svíčky.
Úloha č. 4
Upozorňujeme na poznámku pod úlohou
Do sklenky, která má tvar válce, byla vhozena nejprve jedna špejle o délce 10 centimetrů a potom druhá o délce 6\sqrt{2} centimetrů. Sklenka má dokonale hladké stěny i dno, takže špejle jedním koncem sklouzly po dně až ke stěně a druhý konec se opírá o stěnu na nejnižším možném místě. Středy špejlí jsou od sebe vzdálené 1 centimetr. Jaký je průměr sklenky?
POZNÁMKA: V původním zadání měly špejle délky 7 a 9 centimetrů. Tak to ale moc dobře nevyjde, omlouváme se za chybu. Můžete řešit nové zadání, které vyjde líp. Pokud už máte vyřešené to staré, za kvalitně sepsaný postup můžete získat 5 bodů stejně jako za dobré řešení nového zadání.
Dívka odtrhla zrak od skleničky a její oči zajiskřily novou vlnou zvědavosti. „Kdo to kolem nás jel?“
„Nevím, má zlatá, kdo to byl,“ stařec se zadíval někam do neurčita a povzdechl si, „asi nějaký posel.“
„Dědo, kdo by nesl zprávu v takovém dešti? Vždyť i kočka se k nám pro jednou přišla schovat.“
Černé stvoření uvelebené na dívčině klíně vydalo spokojené zavrčení.
Holčička se však netrpělivě zavrtěla, což vyvolalo mírné pobouření. Kočka s nelibostí seskočila a zamířila do rohu místnosti. Tlapkou odstrčila dva kamínky a nanovo se chtěla schoulit do klubíčka, tu ji však vyrušila bílá myška.
Úloha č. 5
Kočka a myš se proti sobě rozhodly hrát hru. Je celkem 8 políček očíslovaných od 1 do 8. Na políčku 1 je červený kámen, na políčku 2 je modrý kámen. Kočka a myš se střídají v tazích. V každém tahu hráč vezme jeden kámen a posune ho o alespoň jedno políčko výše, ale aby byl červený na nižším políčku než modrý. Hráč, který položí červený kámen na políčko 7, prohraje. Myš hraje jako první. Má některý z hráčů vyhrávající strategii? Pokud ne, vysvětlete proč; pokud ano, určete tuto strategii.
Holčička nikterak neustupovala se svou zvědavostí. „Co může být tak důležité? Kdo by jel v takové bouřce?“
„Takoví poslové jsou, nikdy však nenosí dobré zprávy,“ pronesl děda zachmuřeně a na potvrzení vyřčené domněnky se ozvalo další zahřmění.
„Co se mohlo stát tak naléhavého, nějaká příšera, přízrak, nebo Katarkak?“
„Je pozdě, měla bys už dávno spát, zítra se to určitě dozvíme. Kuš na kutě.“
„Ale, dědó...“ nazlobeně svraštila čelo, ať však řekla cokoli, její plačtivá prosba se ztratila v neustupujícím hromobití.
Nakonec ji uložil do postele a na dobrou noc jí pověděl úlohu.
Úloha č. 6
„Kolik existuje různých čtyřciferných čísel, jejichž cifry jsou navzájem různé a které neobsahují nulu?“
A jak tak holčička počítala čtyřciferná čísla dál a dál, když už na úlohu přišla, víčka se jí začala zavírat, až nakonec usnula.
Před dubovými dvoukřídlými dveřmi s ornamenty sluncem zalitého pobřeží se ze sedla svalil neznámý přímo do blátivé kaluže. Jen na malý okamžik si všiml podivných značek po stranách vchodu.
Úloha č. 7
Na hradební zdi byla vyryta posloupnost několika po sobě jdoucích přirozených čísel. Víme, že tato posloupnost obsahuje přesně 9 čísel dělitelných jedenácti a přesně 9 čísel dělitelných devíti. Dokonce byl začátek této posloupnosti zvolen tak, že ze všech možných začátků posloupností splňujících podmínky o dělitelnostech je tento ten nejmenší. Určete posloupnost, která byla vyryta.
Jen s obtížemi se vyškrábal zpátky na nohy. Jeho kůň hlasitě funěl a od pysků mu šla pěna. Posel natáhl ruku ke klepadlu, „buch, buch, buch.“
Lijavice nešetřila ani jednoho z cizinců. Po svěšené šíji hnědáka stékaly divoké potůčky. Zpod kapuce přes slepené uhlově černé vlasy koukaly unavené oči chlapce. Rozsvícené okno v jedné z mnoha věží podpořilo to, v co doufaly. Správce města ještě nespí.
Brána se nehlučně pootevřela.
