Zadání 5. série 37. ročníku
Termín odeslání: 18. 4. 2022
Pravidla pro odevzdávání řešení najdete zde. O tom, jak řešení sepisovat, si můžete přečíst zde nebo se podívat na video.
Adresa: Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8
Zadání je k dispozici také ve formátu pdf.
Plavba k Tróji trvala několik dní, které jsem využil k tomu, abych pořádně poznal hrdiny, na které Athéna tolik spoléhá. Například mě zaujalo, co si vzali s sebou za talismany. Zatímco Odysseus měl deku, kterou utkala jeho žena, Achilleus si vyrobil kostkový kalendář. Když ho ale viděla Athéna, posměšně řekla, že ho Chairon asi moc nenaučil, protože takový kalendář nemůže fungovat.
Úloha č. 1
Kostkový kalendář má čtyři kostky (každá má 6 stěn), na každou stěnu chce Achilleus napsat jednu libovolnou cifru (cifru 6 nelze zaměnit za 9 ani při otočení kostky). Kalendář by měl fungovat tak, že datum je vyjádřeno vždy všemi čtyřmi kostkami (tedy třeba devátého února má být 0902). Ukažte, že má Athéna pravdu a takový kalendář nejde sestavit -- nelze na kostky napsat cifry tak, aby šlo vyjádřit každý den roku (dvěma kostkami číslo dne v měsíci a dalšími dvěma číslo měsíce).
Kalendář s dny a měsíci by ale Achilleovi stejně nestačil. Roky plynuly a nezdálo se, že by ve válce měla jedna ze stran nějakou zásadní převahu, a tak se tábor Řeků jen střídavě posouval blíže a zas dále od města.
Jednoho dne se na Olympu objevily Múzy, což mě sice nejdřív překvapilo, protože jsem o žádné slavnostní večeři nevěděl, ale zároveň potěšilo. Od začátku války byla většina bohů přiliš zaneprázdněná intrikami a počet společenských akcí za posledních pár let bych spočítal na prstech jedné ruky.
Všiml jsem si, že Múzy přišly jen v osmi, ale to se vlastně dalo čekat. Chybějící Kleió, která má na starosti dějepisectví, samozřejmě tráví většinu času u Tróji.
Vzpomněl jsem si na poslední večírek, kde zahrály vtipné představení s draky.
Úloha č. 2
V představení bylo celkem 192 nohou, 143 rohů a 82 očí. Byly tam stoly (ty mají 4 nohy a 4 rohy), Múzy (ty mají 2 nohy a 2 oči) a draci (mají 4 nohy, 3 rohy a 2 oči). Kolik tam bylo stolů, kolik Múz a kolik draků?
„Přišly jste na večírek?“ zeptal jsem se jich.
Jako obvykle začaly mluvit jedna přes druhou.
„... Agamemnon unesl...“
„... Apollon je hrozně naštvaný...“
„... je to dcera jeho kněze...“
„... Chrýseus ho žádá o pomoc...“
„... chce seslat na řecké vojsko nějakou katastrofu...“
„... třeba by uměla pomoct Athéna...“
Povzdechl jsem si. Apollon doteď vypadal, jako že ho válka vůbec nezajímá a já jsem měl aspoň někoho, s kým jsem si mohl popovídat i o jiných věcech. Ale s tím je teď očividně konec. Nevím, co to Agamemnona napadlo unést zrovna dceru Chrýsea. Musí přece vědět, že málokdo je ochotný vyslyšet prosby svých kněží tolik jako zrovna Apollon. A vzhledem k tomu, že je Zeus na straně Tróji, určitě Apollonovi dovolí vzít si něco z jeho soukromého skladu katastrof.
No, co jsem říkal, támhle jde se zlomyslným úsměvem a krabicí katastrof.
Úloha č. 3
Apollon si vzal ze skladu sadu 100 různých katastrof a nějaké z nich vybral do zelené krabice pomsty. Pak mu to ale přišlo málo a vzal si ještě jednu stejnou sadu katastrof a do oranžové krabice dal stejné katastrofy jako do zelené a možná i nějaké navíc. Kolika způsoby mohl Apollon umístit katastrofy do krabic (nemusí použít všechny a nezáleží na uspořádání či pořadí katastrof v krabici)?
Byl jsem zvědavý, jak to plánuje Athéna vyřešit, a tak jsem se rozletěl do Tróje. Při pohledu na řecký tábor mi bylo jasné, že Apollon nakonec sáhl po jeho oblíbené morové ráně. Nemohl jsem se na to dívat, tak jsem se radši vydal do města za Helenou, kterou jsem viděl naposledy ještě před válkou. Překvapivě jsem ji nenašel s Paridem, ale u nějakého kováře, s jehož pomocí si zkoušela vyrobit nový přívěšek.
Úloha č. 4
Helena vyrábí přívěšek ve tvaru Pikomatího loga. (Jedná se tedy o krychli, kde zadní stěna je prodloužena o čtverec doprava, přední stěna je prodloužena doleva a dolů.) Hrana má délku 1\ cm. Najděte takové dva vrcholy (rohy stěn), aby jejich vzdálenost byla 3\ cm.
Ani v následujících dnech, které jsem ve městě strávil, jsem Helenu s Paridem neviděl příliš často spolu. Zdá se, že po vyprchání Afroditina kouzla už v sobě příliš zalíbení nenašli. Rozmrzelý dalším důkazem o zbytečnosti téhle války mě napadlo, že jsem vlastně ještě neviděl tu dceru Apollonova kněze. Zamířil jsem proto k Agamemnonovu stanu, ale tam jsem ji překvapivě nenašel. Najednou mi ale došlo, že všichni vojáci vypadají daleko líp než při mojí poslední návštěvě. Vydal jsem se rychle ke knězi, abych si svoji domněnku potvrdil. A opravdu! Vypadalo to, že jeho dcera tam přišla jen pár minut přede mnou.
Spokojeně jsem se vrátil na Olymp, ale tam jsem překvapivě našel zamračenou Athénu. „Athéno, proč tak zkroušeně? Teď jsem byl u Tróji a vypadá to, že Odysseus uspěl! Chrýseus má zpátky svoji dceru, Apollon odvolal svou morovou ránu, může se zase bojovat, ne?“
Athéna se dál probírala svými plány a vypadalo to, že mě vůbec neslyšela. Kouknul jsem se místo toho na její plány.
Úloha č. 5
Athéna si zakreslila bojové pole do trojúhelníkové mřížky (Obr. zad551). Kolika způsoby se lze dostat z tábora do města na minimální počet kroků? Jeden krok odpovídá přesunu mezi dvěma průsečíky mřížky.
„Athéno?“ zeptal jsem se opatrně znovu.
Najednou naštvaně shodila všechny papíry ze stolu: „A víš, jak to geniální Odysseus vyřešil? Slíbil Agamemnonovi jakoukoliv jinou ženu a on si samozřejmě musel vybrat Achilleovu otrokyni Bríseovnu! Takže teď pro změnu trucuje Achilleus a jak mám asi já vyhrát bez nejlepšího bojovníka?“
Na chvíli se zarazila: „V tom bude mít určitě zase prsty Afrodita.“
Už jsem měl na jazyku otázku, jestli by jí spíš nemělo vadit, že vyjednávají o těch ženách, jako kdyby to byly nějaké věci, ale při pohledu na naštvanou Athénu jsem si to radši rozmyslel.
„Ale je Achilleus vážně tak dobrý bojovník? Zatím se moc nepředvedl, ne?“ prohlásil Áres, který k nám zrovna přišel. Pak dodal trochu naštvaně: „Trójané se tak bojí jeho zářivé zbroje, že utečou hned, jak se objeví na bitevním poli.“
Athéna se najednou plácla do hlavy. „Oni se bojí jeho zbroje!.“ vykřikla potěšeně a odběhla.
Nechápavě jsme se na sebe s Áreem podívali.
Musím uznat, že Athéna vymyslela vskutku geniální plán. Vložila do snu Patroklovi, Achilleovu nejlepšímu příteli, pohled na sebe samého uhánějícího na koni po bitevním poli v Achilleově velkolepé zbroji proti Trójanům, kteří před ním zděšeně utíkají. Ten se hned po probuzení rozběhl za Achilleem a po dlouhém přesvědčování si od něj vypůjčil jeho zbroj.
Zatímco se Patroklos vydal s vojáky do boje, Achilleus s Odysseem se pustili do rozdělování dosud získané kořisti.
Úloha č. 6
Odysseus i Achilleus napsali každý na svoji tabuli čísla truhel s kořistí, které by chtěli. Odysseus napsal čísla 1, 4, 7,... (vždy přičte trojku), Achilleus napsal čísla 9, 16, 23,... (vždy přičítá sedm). Na konci měl každý 2021 čísel. Na kolik truhel si dělají nárok oba dva zároveň?
Nejprve to vypadalo, že Athénin plán opravdu vyšel. Jakmile se Patroklos objevil, nedalo řeckému vojsku moc práce zatlačit trojskou armádů od tábora, kam se v posledních dnech probojovala, zpátky k městským hradbám. Těžko říct, jestli trojský vojevůdce Hektor tušil, že se za zlatou helmou neskrývá tvář Achillea nebo mu Áres či nějaký z jiných bohů stojící na trojské straně dodal odvahy, ale odvážně na něho zaútočil. Patroklos sice nejdřív vypadal, že mu zbroj předala i Achilleovu sílu, ale po chvíli Hektor přece jen získal převahu a nakonec chudáka Patrokla zabil.
Achillea smrt jeho přítele hluboce zasáhla a rozhodl se ho pomstít. Nejraději by vyrazil hned, jak se o tom dozvěděl, ale jeho matka, bohyně Thetis, ho přesvědčila, aby počkal, než pro něj sežene novou zbroj (protože tu starou si pochopitelně nechal Hektor jako trofej). Sehnání zbroje samozřejmě znamenalo, že mě poslala za Hefaistem.
„Zdravím, Hefaiste, máš chvíli čas?“
„Nevím, teď tu zrovna pracuju na automatickém zavírání dveří, koukni, tady zmáčkneš tohle tlačítko a...“
Rychle jsem ho přerušil: „Posílá mě Thetis, Achilleus potřebuje novou zbroj.“
„Ach tak, to jsi měl říct rovnou, vlastně mám nápad na pár drobných vylepšení... Zrovna testuju speciální antireznoucí vrstvu.“
„To je sice skvělé, ale já bych to potřeboval hlavně rychle, víš?“
„Dobrá, dobrá... A co tohle? Myslím, že když svařím tyhle pláty obráceně, bude to poskytovat daleko větší ochranu.“
„Větší ochrana by se asi mohla hodit, řekl bych. Můžu ti s něčím pomoct, abychom to urychlili?“
„Nejsem si jistý, jestli ten nový díl nebude moc malý, mohl bys to prosím spočítat?“
Úloha č. 7
Hefaistos má dva pláty ve tvaru půlkruhů, větší má poloměr 336\ mm a menší 289\ mm , které chce spojit jako na Obr. zad571. Jaká bude vzdálenost od pravého dolního rohu (A) k levému hornímu rohu (B)?
Po několika úmorných hodinách v Hefaistově kovárně jsme měli hotovo. Poté, co jsem odnesl zbroj Thetis, nabraly události rychlý spád. Rozzuřený Achilleus se vrhl na Hektora a po krátkém boji ho zabil. Paris, který vše sledoval z městských hradeb, najednou vytáhl luk a střelil Achillea do paty, jediného místa, které při jeho koupeli ve vodopádech u řeky Styx zůstalo suché, a ten padl mrtev vedle Hektora.
O tom jak se to Paridovi, který svým lukostřeleckým uměním zrovna neoplýval, povedlo, se potom vedla na Olympu dlouhá diskuze. Athéna tvrdila, že to byla jen náhoda a Paris ve skutečnosti mířil na srdce. Já jsem si na rozdíl od ní ale všiml, že se těsně před tím motal kolem Parida Apollon, takže bych si tím nebyl tak jistý. Radši jsem ale mlčel, spory mezi bohy už v téhle válce způsobily škod víc než dost. Čím dřív celá tahle jejich hra skončí, tím líp.
