Zadání 4. série 37. ročníku
Termín odeslání: 14. 2. 2022
Pravidla pro odevzdávání řešení najdete zde. O tom, jak řešení sepisovat, si můžete přečíst zde nebo se podívat na video.
Adresa: Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8
Zadání je k dispozici také ve formátu pdf.
Na Olympu se dneska koná další hostina a já výjimečně nesháním po celém Řecku nejlepší fíky a olivy, ale místo toho pomáhám s výzdobou. Tentokrát si Zeus z nějakého důvodu přál, abychom pokryli zdi trojúhelníky a kružnicemi.
Úloha č. 1
Mějme trojúhelník ABC. Opišme mu kružnici k. Kolmici na přímku AB procházející bodem A pojmenujme m, kolmici na přímku AC procházející bodem A pojmenujme n. Průsečík m a k (různý od A) pojmenujme M, průsečík n a k (různý od A) pojmenujme N. Dokažte, že |MN|=|BC|.
Hned po tom, co jsem trojúhelník dokončil, začali přicházet první hosté. Po hostině se všichni rozdělili do skupinek a začali si povídat. Já jsem se přidal k Héře, Afroditě a Áreovi s nadějí, že se dozvím nějaké zajímavé drby. A taky že jo!
„Už jste slyšeli tu novinku o Paridovi?“ zeptala se nás Héra. „Prý okouzlil Helenu ze Sparty, je to tak?“ „No, okouzlil...“ Héra se významně podívala na Afroditu. „Dobře, dobře, možná byl ten můj amulet trochu moc silný. Ale hned, jak jsem to zjistila, jsem mu dala nový, který jsem vyrobila z krychle.“
Úloha č. 2
Afroditin nový milostný amulet měl původně tvar krychle se stranou 6\ cm. Afrodita rozřezala jeho stěny na čtyři stejné čtverce a ty pak změnila následujícím způsobem. Jejich vnitřní vrcholy posunula o centimetr směrem ke středu krychle. Jejich vrcholy, které jsou ve středech hran krychle, zůstaly na místě. Vrcholy, které byly původně ve vrcholech krychle, se posunuly po prodloužené tělesové úhlopříčce tak, aby se čtverec změnil na jiný rovinný útvar. Narýsujte útvar, který z jednoho čtverce vznikl.
„Ale to už bylo pozdě,“ pokračovala Héra ve svém vypravování, „Helena byla tou dobou už dávno rozhodnutá odjet s Paridem do Tróji.“ „Co na to řekl Helenin manžel, Meneláos?“ skočila jí do řeči Athéna, která si k nám zrovna přisedla. „Pochopitelně se naštval a rozhodl se táhnout na Tróju a přivést Helenu zpátky.“ „Správně! Taková drzost nemůže zůstat nepotrestána!.“ vykřikla bojovně Athéna.
Všichni jsme se na ni překvapeně podívali. Jistě, Athéna je kromě jiného i bohyně spravedlivého boje, ale dosud se o války nijak nezajímala a „bezhlavé mordování“, jak sama říká, přenechávala Áreovi. Že by byla pořád naštvaná kvůli tomu jablku?
„Takže se na zemi bude válčit,“ usmál se spokojeně Áres.
„Přesně tak, Trója padne popelem!.“ prohlásila Athéna stále dost zlověstně.
„A kdo to udělá? Meneláos?“ potměšile se usmál Áres. „Viděli jste ho někdy bojovat? Ten bude akorát postávat před Trójou a stejně se k žádnému útoku nezmůže. Pokud tam teda vůbec dojede,“ neodpustil si závěrečné rýpnutí.
Zamyslel jsem se. Sice ho nijak zvlášť neznám, ale jako velký vojevůdce opravdu nevypadá. Ale možná by to ve výsledku nebylo tak špatné, Meneláos si udělá výlet, chvíli bude tábořit před Trójou a nakonec ho to přestane bavit, vrátí se zpátky do Řecka a najde si jinou ženu.
Moje úvahy přerušila Athéna: „A co když mu trochu pomůžu?“
Všichni jsme na ni zůstali nevěřícně zírat. Dokonce i Áreovi zmizel konečně z tváře jeho samolibý úsměv.
Jako první se odvážila promluvit Héra: „Chceš se vměšovat do lidské války?“
„Pokud vím, všechno je to Afroditina vina. Já to chci jen napravit.“
Áres se konečně vzpamatoval a postavil se do bojového postoje: „Ale je ti doufám jasné, že jestli pomůžeš řeckému vojsku, pomůžu zase já Tróji? A jestli sis nevšimla, já jsem bůh války!.“
„Klidně pomáhej, tvoje bezhlavé mordování nemá proti mým nápadům šanci!.“ vykřikla Athéna a naštvaně odešla.
„Co kdybychom si zahráli nějakou hru?“ navrhnul jsem ve snaze trochu rozvířit dusno, které tu vzniklo po Athénině odchodu.
Úloha č. 3
Čtyři lidi stojí v kruhu. Každý má své tajné číslo, které je po celou dobu stejné. Na začátku každý dostane tabulku, na které je napsaná nula. V každém kroku každý člověk vynásobí číslo na tabulce, kterou zrovna má, dvěma a k výsledku přičte své tajné číslo. Z tabulky smaže původní číslo a napíše na ni výsledek svého výpočtu. Potom podá tabulku člověku po své pravé ruce. Takto pokračují, dokud každý nedostane tabulku, kterou měl na začátku. Na konci jsou na tabulkách postupně čísla 44, 58, 56 a 67. Jaká byla tajná čísla?
Následující týdny strávila Athéna přesvědčováním řeckých hrdinů, aby se přidali k Meneláovu tažení. S některými to bylo jednoduché, například Meneláův bratr Agamemnón se s radostí ujal vedení celé výpravy. Achilla původně nechtěla pustit jeho matka bohyně Thetis, ale Athéna ji nakonec přesvědčila a slíbila, že jí pomůže pro Achillea vytvořit velkolepou zbroj. A pak tu byl Odysseus, před jehož moudrostí někdy i sama Athéna uznale pokyvuje hlavou, a proto ho chtěla získat za každou cenu. Odysseovi se do války moc nechtělo, a tak se rozhodl během Athéniny návštěvy předstírat, že je hlemýžď.
Úloha č. 4
Hlemýžď Odysseus našel krychli, jejíž vrcholy jsou pevně očíslované od 1 po 8. Začal ve vrcholu 1 a lezl po hranách, dokud nenavštívil každý vrchol právě jednou. Cestou si postupně zapisoval čísla vrcholů, kterými prošel. Kolik různých posloupností čísel mu mohlo vzniknout?
Athéna ho chvíli pozorovala, ale pak prohlásila, že tak chytrého hlemýždě ještě neviděla a že se bude ve válce jistě hodit. A tak se Odysseus přece jen vzdal a přislíbil svou účast.
Ani Áres nezahálel a s pomocí Hefaista, našeho kováře a vynalézce, pomáhal Trójanům zdokonalovat jejich opevnění.
Už jsem na jejich spor málem zapomněl, ale náhodou jsem měl nějaké vyřizování v přístavu Aulida a všiml jsem si, že tam kotví spoustu lodí a kolem nich se poflakují Meneláos, Agamemnón, dokonce i Achillea s Odysseem jsem tam zahlédl, což mě dost překvapilo. Čekal jsem, že touto dobou už budou dávno u Tróji, co pořád dělají tady? Kdyby si to náhodou rozmysleli (i když pochybuju, že by to Athéna a Áres připustili), vydali by se přece hned domů a nezůstávali by v přístavu. Až se vrátím zpátky na Olymp, musím se někoho zeptat. Ještě než jsem odletěl, všiml jsem si, že mezi počtem lodí Achilla a Odyssea panuje zajímavý vztah.
Úloha č. 5
Achilleus má A lodí, Odysseus O lodí a platí, že A^{2}+O+2=O^{2}+A. Najděte všechna přirozená čísla A a O, která to splňují.
Jako první jsem v paláci náhodou narazil zrovna na Athénu a Área, kteří nad něčím společně diskutovali. Chtěl jsem se jich zeptat, ale Athéna mě před běhla: „Herme, máš čas? Potřebovali bychom s něčím pomoct.“
„Jasně, co potřebujete?“
„Kdo všechno tady na Olympu umí ovládat vítr?“
Trochu mě její otázka překvapila, čekal jsem, že mě jen jako obvykle někam pošle, ale zkusil jsem se nad tím zamyslet. „Tak samozřejmě jsou tu bohové severního, jižního, západního a východníhu větru; Boreás, Notos, Zefyros a Euros. Zeus kromě hromů a blesků umí poručit i větru. No a Poseidon také občas větrem rozbouří moře. Proč?“
„Ano, to víme,“ ignoroval moji otázku Áres, „a kdo další?“
„Už mě asi nikdo nenapadá.“
Oba se na sebe zklamaně podívali. „Hmm, tak jeden půjde za Diem a druhý za Poseidonem?“ navrhla Athéna Áreovi.
„Beru si Poseidona!.“ vykřikli oba najednou.
Áres se zamračil: „Hodíme si mincí?“
„Mám lepší nápad, ale řeknete mi, o co tady jde?“ zeptal jsem se jich.
Oba přikývli, a tak jsem před ně položil sirky a vysvětlil jim hru, kterou jsem se nedávno naučil.
Úloha č. 6
Máme čtyři hromádky sirek. V první hromádce je jedna sirka, ve druhé jsou dvě, ve třetí tři a ve čtvrté čtyři. Athéna a Áres hrají hru. Střídají se v tazích, přitom Athéna začíná. Jeden tah znamená vybrat si nějakou hromádku, kde je ještě alespoň jedna sirka, a vzít z ní libovolný počet sirek (klidně všechny, ale musí vzít alespoň jednu). Vyhraje ten, kdo vezme poslední sirku. Ukažte, zda někdo může hrát tak, aby vždy vyhrál. Pokud ano, popište takovou strategii, pokud ne, ukažte, proč ne.
Hned po hře se Athéna pustila do vysvětlování: „Jak jistě víš, sehnala jsem ty nejlepší řecké vojevůdce, aby pomohli Meneláovi v jeho tažení na Tróju. Jenže nemůžou vyrazit, protože nefouká vítr! Ani lísteček se v okolí Aulidy nepohne! Nejdřív jsem samozřejmě myslela, že v tom má prsty Áres, ale...“
Áres jí skočil do řeči: „... já vítr ovládat neumím. A navíc, proč bych to dělal, už se nemůžu dočkat pořádné bitvy.“
Přikývl jsem a začal znovu přemýšlet nad bohy, kteří umí ovládat vítr. Najednou se palácem začal ozývat hlasitý štěkot a se smečkou obrovských psů k nám přišla značně rozčílená...
„Artemis!.“ vykřikli jsme všichni tři. Na tu jsme úplně zapomněli! Ale proč by se bohyně lovu zapletla do válečného sporu?
„Představte si, co se stalo! Ten pitomec Agamemnón zabil mou posvátnou laň!.“
„Já to chápu, Artemis, ale je nutné nechávat je tvrdnout v přístavu takhle dlouho?“ zeptala se opatrně Athéna.
„Vždyť já už jsem je chtěla nechat pomalu vyplout,“ pokračovala Artemis trochu mírněji, „ale věštci v Aulidě očividně za nic nestojí, protože Agamemnónovi řekli, aby obětoval vlastní dceru, jestli si mě chce usmířit. Vlastní dceru!.“ Artemis už zase křičela a já se jí nedivím. Jistě, olympští bohové jsou často k lidem krutí, ale i my máme nějaké hranice.
„Udělal to?“ odvážil jsem se zeptat, i když odpověď jsem tušil.
„Nejdřív nechtěl, ale nakonec pro Ífigeneiu přece jenom poslal. Ta se nejdřív zděsila, ale nakonec odevzdaně nakráčela na obětiště. Zachránila jsem ji a udělám z ní kněžku v nějakém mém chrámu.“
„A co vítr?“ zeptal se jí Áres.
„Všechny lodě už vypluly,“ odsekla Artemis a zmizela.
Já jsem se už také chystal odejít, ale zaujalo mě, jak si Athéna hraje se sirkami.
Úloha č. 7
Umístěte do roviny čtyři sirky (úsečky délky 1 cm) tak, aby pro každé tři existovala přímka, která je všechny protíná, ale aby neexistovala přímka protínající všechny čtyři.
