Zadání 3. série 37. ročníku
Termín odeslání: 3. 1. 2022
Pravidla pro odevzdávání řešení najdete zde. O tom, jak řešení sepisovat, si můžete přečíst zde nebo se podívat na video.
Adresa: Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8
Zadání je k dispozici také ve formátu pdf.
Zlaté jablko, které bylo předmětem sporu Athény, Héry a Afrodity, na sobě mělo nápis „Té nejkrásnější.“ Vzpomněl jsem si na Eris, kterou jsem před chvílí potkal, a začínal jsem tušit, o co tady jde. Ne, že by byly hádky mezi bohy něco nového, ale jak se do toho zaplete bohyně svárů, bude to mít pravděpodobně větší důsledky než běžné dohady nad tím, komu je zasvěceno více chrámů.
Úloha č. 1
Athéna má polovinu chrámů co Héra a Afrodita dohromady, Héra má třetinu, co Athéna a Afrodita dohromady. Afrodita má 150 chrámů. Kolik chrámů mají všechny tři bohyně dohromady?
„Já jsem mimo jiné bohyně krásy, jablko patří pochopitelně mě,“ natahovala se pro něj Afrodita. „Jenže krása není jen hezká tvářička,“ odsekla nabroušeně Héra. „Přesně tak. A o tom, kdo je tu nejmoudřejší, se snad nemusíme bavit,“ vítězoslavně prohlásila Athéna.
Po chvíli dohadování se v místností s mohutným hřměním objevil sám Zeus. Ještě než se do něj všechny tři bohyně pustily, umlčel je pohybem ruky. „Mé milé dámy, i když bych vám rád pomohl, cítím, že tento úkol vyžaduje někoho nestranného.“ Potichu jsem se zasmál. Kdo by to byl řekl, nejvyšší vládce a bojí se naštvat tři bohyně.
„Herme, pojď sem.“
A kruci! Stihnu ještě zmizet?
„Dělej, moc dobře vím, že stojíš za dveřmi!.“
Opatrně jsem vešel do místnosti a snažil se nedívat na bohyně, které se mě zrovna snažily propálit pohledem. „Zdravím, ó velký Die, jak ti mohu pomoci?“
„Především se netvař, že nevíš, o co jde, když jsi celou dobu poslouchal za dveřmi.“
Chystal jsem se něco namítnout, ale Zeus mě přerušil: „Neboj, po tobě chci jen, abys sem přivedl mladého Parida, věřím, že si s tímto úkolem poradí lépe než my dva.“
Ani nevíte, jak se mi ulevilo! Rychle, než si to Zeus rozmyslí, jsem se vydal za Paridem.
Zrovna pásl ovce a při tom psal do země nějaká čísla.
„Herme, zahraješ si se mnou takovou hru?“
„Nemáme čas, vyžádal si tě samotný Zeus.“
„Neboj, bude to jen chvilka.“
Úloha č. 2
Na zemi je napsáno číslo 27. Paris a Hermes se střídají v odčítání 2^{k} od aktuálního čísla, kde k je přirozené číslo nebo 0. Nesmí se dostat do záporných čísel a ten, kdo první nemůže táhnout, prohrál. Kdo má výherní strategii?
Naštěstí to opravdu netrvalo dlouho a my se mohli vydat zpátky na Olymp. Tam mu Zeus vše vysvětlil a Paris nějakou dobu jen chodil okolo a nevěděl, co má dělat, protože všechny tři bohyně vypadaly, jako kdyby si ho ani nevšimly. Už jsem myslel, že odejdu, ale v tom se k Paridovi přitočila Héra.
„Vážil jsi sem dlouhou cestu, že? Ale neboj, pokud vybereš mě, nebudeš litovat. Můžu tě učinit vládcem nad celou Evropou a Asií,“ řekla a zase odešla.
Athéna na to šla mnohem nenápadněji a nejprve mu ukázala nějakou úlohu s trojúhelníky.
Úloha č. 3
V pravoúhlém trojúhelníku ABC s pravým úhlem u vrcholu C si patu výšky z C označíme jako D (D je tedy takový bod na AB, že CD je kolmé na AB). Bod P leží na AB a zároveň na ose úhlu BCD. Dokažte |AP|=|AC|.
„Vidím, že jsi chytrý muž,“ začala mu lichotit. „Zdalipak jsi taky dobrý vojevůdce? Ale neboj, s mojí pomocí můžeš vyhrát jakokoliv bitvu. Stačí si dobře vybrat...“
Nestačil jsem se divit. Samozřejmě jsem čekal, že se bohyně nevzdají bez boje, ale tak obrovské dary? Kvůli zlatému jablku? Jsem zvědavý, s čím přijde Afrodita.
Ta se samozřejmě také nenechala zahanbit. „Kdo je nejkrásnější bohyně, musíš rozhodnout ty. Ale já vím, kdo je nejkrásnější žena na světě, a pokud se rozhodneš správně, může být tvoje,“ usmála se na Parida.
Jestli Paris do té doby nad něčím přemýšlel, Afroditin příslib ho očividně přesvědčil okamžitě. „Ukážeš mi ji?“ zeptal se dychtivě a podal jí zlaté jablko.
„Jistě, Hermes tě za ní odnese.“ „Ale za kým vlastně?“ zeptal jsem se trochu zmateně. „No přece za Helenou,“ podivila se Afrodita mé nechápovosti. „Helenkou z labutího vejce? Ta je ale přece vdaná za Meneála, krále Sparty.“ To Parida trochu znejistilo a znovu se obrátil na Afroditu: „Co když mě nebude chtít?“ Nevím, jestli Afroditě začaly docházet problémy jejího plánu nebo ji jen štvaly naše otázky, ale začínala se tvářit trochu rozladěně: „Jsem snad bohyně lásky, ne?“ Zamyslela se a podala mu přívěšek, který měla pověšený na krku. „Když dáš Heleně tento přívěšek, okamžitě se do tebe zamiluje.“
Paris si převzal přívěšek ve tvaru pravidelného čtyřstěnu a začal si s ním hrát, protože ho zaujalo, jaké vrhá stíny.
Úloha č. 4
Může pravidelný čtyřstěn vrhat čtvercový stín? (Slunce vrhá rovnoběžné paprsky kolmo k podložce; čtyřstěn nemusí na podložce stát -- může levitovat.)
Mezitím k nám přišly Héra s Athénou, které si dosud něco šeptaly opodál.
„Ne, že by nás překvapilo, že hodláš rozvracet manželství...“ začala Héra.
„... ale myslíš, že obyčejnému pasáčkovi pomůže tvůj náhrdelník?“ doplnila jí Athéna.
Afrodita se zarazila jen na okamžik. „To je ale štěstí, že NENÍ jen obyčejný pasáček,“ prohlásila vítězoslavně.
„Takže chceš přivést Parida zpátky do Tróji k jeho rodičům? A věštba o tom, že zapříčiní zkázu celého města, ti nevadí?“ zeptala se udiveně Héra.
„Zkáza města, zkáza města ...“ mumlala podrážděně Afrodita, „Appolonovi věštci vždycky hrozně přehánějí, jako kdybyste to neznaly.“
„Jen ji nech Héro, já jsem sama zvědavá, kam to bude schopná dotáhnout kvůli jednomu blbému jablku,“ řekla posměšně Athéna.
Afroditu už přestalo bavit se s nimi dohadovat a obrátila se na mě: „Odnes Parida zpátky domů a pak se společně vydáme do Tróji, abychom jim trochu pomohli s oslavou.“
Paris ale vypadal, že ho momentálně přívěšek zaujal víc než Helena a pro změnu na něj psal nějaká čísla.
Úloha č. 5
Na vrcholech čtyřstěnu jsou napsaná čísla. Na hrany napíšeme součin čísel v jejich koncových vrcholech a na stěny druhou mocninu protějšího vrcholu. Jestliže je součet čísel na stěnách x a ve vrcholech y, jaký je součet čísel na hranách?
Afroditin plán byl jednoduchý. Jako zlatý hřeb tradičních slavností v Tróji byl naplánován zápas a jeho vítěz měl získat nejlepšího býka z královských stád. A o královská stáda se stará samozřejmě pastýř Ageláos, Paridův adoptivní otec. Afrodita proto vnukla Paridovi myšlenku, aby do paláce přivedl býka on sám a rovnou se při té příležitosti taky zúčastnil zápasu. S malou Afroditinou pomocí hravě zvítězí a jeho matka, královna Hekabé, ho určitě pozná a přivítá zpátky v královské rodině.
Na nádvoří královského paláce jsme potkali muže, který se snažil vydláždit plochu dlaždicemi.
Úloha č. 6
Máme tabulku 16\times 16 políček, ze které vyřežeme prostřední čtverec (2\times 2 políčka). Dá se plocha vydláždit pomocí T-ček? (T-čka mají tvar jako na Obr. zad361; pokud to nejde, dobře zdůvodněte proč).
Jen co jsme vše zkontrolovali v Tróji, odletěl jsem ještě jednou za Paridem. Zrovna se připravoval na cestu a vysvětloval Ageláovi, jak se má starat o jeho tymiány.
Úloha č. 7
Paris pěstuje na okně v květináčích tymiány, ale pravidelně mu usychají. Vždy za 60 \over n dní, kde n je aktuální počet tymiánů, jeden uschne (když uschne v rámci nějakého dne, tak ten den prostě uschne). Na začátku jich má 11. Každé ráno se ale podívá, jestli nějaký tymián ten den uschne. Pokud ano, Paris jej vyhodí, ale koupí další dva (aby se pěstované množství nezmenšovalo). Od momentu nového nákupu zase začnou tymiány usychat. Na okno se vejde nejvíce 60 tyminánů. Kdy Paridovi spadne první tymián z okna?
