Zadání 1. série 37. ročníku

Termín odeslání: 11. 10. 2021

Pravidla pro odevzdávání řešení najdete zde. O tom, jak řešení sepisovat, si můžete přečíst zde nebo se podívat na video.

Adresa: Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8

Zadání je k dispozici také ve formátu pdf.


Jmenuju se Hermes a jsem posel olympských bohů. Díky tomu neustále někde lítám a vím o všem, co se na Olympu šustne. Pojďte se na to podívat se mnou.

Nejprve krátká prohlídka. Nejdůležitější místo na Olympu je velký sál, pořádají se tu všechny hostiny a důležité porady, jako je ta dnešní. U vchodu do něj teď stojí Athéna, píše do obrázku na dveřích nějaká čísla a nechce mě pustit dovnitř, dokud jí s tím nepomůžu.

Úloha č. 1

Athéna chce napsat do vrcholů (obr. zad111) pikomatího loga čísla 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 12, 14, 24, 56 tak, aby pro dvojice čísel spojených hranou platilo, že jedno dělí druhé. Jak to může udělat?

Hádanku jsme společně úspěšně vyřešili, a tak se můžu jít podívat dovnitř na sněm šesti hlavních bohů, dětí Krona a Rhei. V čele sedí Zeus, náš velký šéf, a vedle něj jeho manželka Héra. Hádes má většinou spoustu práce v podsvětí, takže na sněmy moc nechodí, ale dneska asi nechal záležitosti mrtvých na starost své manželce Persefoně. Naproti němu sedí Poseidon a pod ním jako vždy louže vody. Dále Hestia, strážkyně domácího krbu, a moje nejoblíbenější bohyně Deméter, která má na starosti zemědělství. Dneska už ale asi všechno důležité probrali a teď hrají nějakou hru s kostkou.

Úloha č. 2

Každý ze šesti bohů hodil klasickou šestistěnnou kostkou a padlo mu jiné číslo. Poseidon hodil dvakrát víc než Hádes, Héra dokonce třikrát víc než Hádes a Hestia třikrát víc než Zeus. Kolik hodila Deméter?

Po skončení sněmu si mě Zeus nenápadně zavolal, aby mi předal nejnovější várku milostných psaníček. Héra je sice mimo jiné bohyně manželského štěstí, ale s Diem to nemá jednoduché. Jeho oblíbenou strategií je okouzlit jiné bohyně a pozemské ženy ve zvířecí podobě, ale občas jim píše také vzkazy, které mě nechává doručovat. Tentokrát jich chtěl poslat hned osm a chtěl, aby měly všechny stejný tvar.

Úloha č. 3

Zeus má papír ve tvaru pravidelného šestiúhelníku. Jak ho může rozstřihnout na osm shodných částí? (Dvě části jsou shodné, pokud mají stejný tvar a velikost.)

První adresátkou je Léda. Tu má Héra obzvlášť nerada a já se jí moc nedivím. Jako by nestačilo, že Lédina dcera má být podle věštby nejkrásnější ženou světa, ale navíc se s ní Zeus setkal v podobě labutě. Héra se do něj zamilovala potom, co několik dní ošetřovala zraněnou kukačku, ve kterou se proměnil. Tehdy to Héře asi tolik nevadilo, ale když vidí, že kvůli milence se promění v labuť, přijde jí kukačka pochopitelně trochu málo. Ale kdo to odnese? Léda, kterou Héra zamknula v malé místnosti bez oken, a já, který jí musí nosit psaníčka. Už jsem tady -- jako posel bohů mám schopnost dostat se kamkoliv a nějaké zamčené dveře mě nemůžou zastavit. Ne nadarmo mě uctívají také zloději. Podle čísel na stěně to vypadá, že je tu chudák zavřená už pěkně dlouho.

Úloha č. 4

Léda na stěny místnosti postupně napsala čísla 160 bez mezer a vytvořila tak jedno velké číslo. Teď chce škrtnout sto jeho cifer tak, aby jí zbylo co největší číslo. Které má škrtnout?

„Milá Lédo, tady ti nesu vzkaz od našeho slovutného vládce.“ „Jéé, díky.“ Jak to, že se tváří tak spokojeně? A proč pořád chová to vejce? „Mám mu něco vyřídit?“ „Ano, řekni mu, že naše holčička se brzy narodí,“ řekne a znovu pohladí vejce na svém klíně, „budu jí říkat Helenka.“ Vejce! Takže se mu to přece jenom povedlo. To Héra nebude ráda.

K Helence se ještě vrátím, ale nejdřív musím roznést všechna psaníčka a pak zkontrolovat ještě jedno zajímavé dítě.

Paris se narodil jako syn trojského krále, ale podle věštby má zapříčinit zkázu Tróji, takže ho rodiče nechali samotného v lese. Jenže Appolon nemá rád, když se smrtelníci pokoušejí obejít věštby, a tak zařídil, aby Parida odkojila medvědice a vychoval obyčejný pastýř. Všichni věříme, že jednou sehraje důležitou roli v řeckých dějinách, ale zatím si očividně nejraději hraje s mravenci.

Úloha č. 5

Po obdélníkovém stole lezou mravenci, přičemž každý začíná jinde. Pokud přijde na totéž místo současně více mravenců, otočí se všichni čelem vzad, jinak chodí rovně rychlostí 1 km/h. Když doleze mravenec na okraj stolu, spadne. Existuje takové počáteční rozestavění mravenců pro nějaký počet mravenců, že nikdy žádný mravenec nespadne? Pokud ne, své tvrzení zdůvodněte. Pokud ano, rozestavení popište.

A teď zpátky za Helenkou. Čas pro polobožské děti plyne trochu jinak, takže se zrovna chystá jít do školy.

Úloha č. 6

Helenka má následující útvar, jehož plášť je tvořen čtverečky 1\times\exclaim 1: Základ je kvádr 5\times\exclaim 5\times\exclaim 1, ale je v něm vyříznuté „plusko“ (obr. zad161zad162). Chce si tento útvar odnést do školy, aniž by se zmačkal, takže chce rozříznout některé hrany čtverečků 1\times\exclaim 1 a následně plášť útvaru rozložit do roviny, aniž by se některé části pláště překrývaly. Zároveň chce, aby plášť zůstal v jednom kuse. Najděte nějaký způsob, jak to může udělat.

Přestože je Helenka ještě malá holčička, už teď nemůže být pochyb, že z ní jednou vyroste velká krasavice. A něco mi říká, že se s ní ještě potkáme.

Cestou zpátky na Olymp jsem se chtěl ještě zastavit za Poseidonem. Když jsem ale dorazil do jeho paláce, byla tam jenom mořská nymfa Thetis. Vesele mě pozdravila: „Ahoj, Herme, jestli sháníš Poseidona, musíš chvíli počkat, zrovna je na procházce s Hlavounem.“

Úloha č. 7

Poseidon si jednoho dne pořídil dvě chobotnice, Hlavouna a Chapouna, a od té doby chodil každý den na procházku po mořském dně. Někdy s sebou vzal Hlavouna a někdy Chapouna, ale nikdy obě chobotnice najednou. Na osmnácti procházkách s sebou nějakou chobotnici měl. Hlavoun zůstal doma čtrnáctkrát, Chapoun šestnáctkrát. Jak dlouho má Poseidon obě chobotnice?

Za Thetis jsem dřív také chodíval s psaníčky od Dia, ale co se dozvěděl o věštbě, že její syn předčí svého otce, o ni ztratil zájem.

„A jak se vůbec máš, Thetis? Dlouho jsem tě neviděl.“

„Budu se vdávat. Zeus se rozhodl, že se proti věštbě pojistí a najde mi nějakého nedůležitého ženicha,“ řekne trochu posmutněle Thetis.

„Koho? Nějakého satyra?“

„Ne, smrtelníka. Péleus se jmenuje. Naštěstí aspoň nemusím dělat pozemskou svatbu, a tak můžu pozvat všechny olympské bohy. Doufám, že taky dorazíš!.“

Samozřejmě, že na její svatbu přijdu rád, ale o tom zase příště.