Nástiny řešení 2. série

Nepodařilo se Vám pohnout s nějakou úlohou? Rádi byste se podívali, jak se měla řešit, ale nechcete čekat na vzorová řešení? Právě proto jsme pro Vás připravili tyto Nástiny řešení. Ale pozor! Jsou to pořád jenom nástiny, pro řešení se inspirujte u normálních vzorových řešení s výsledky a úplnými důkazy.

Zadání naleznete zde.

Úloha 1 Podíváme se, kolikrát je každý strom započítán v součtu všech čísel v tabulce.

Když Chairon poprvé vstoupí na políčko, u kterého bude tento strom, zasadí jej. Poté ještě třikrát vstoupí na jiné pole, se kterým strom sousedí. Tedy na třech polích bude strom obsažen v čísle na políčku.

Ještě si rozmyslíme, jak se chovají stromy na kraji a v rozích. Celkem nám vyjde jediný možný součet, a to 81 \cdot 3 + 36 \cdot 1 + 4 \cdot 0 =279.

Úloha 2 Začneme bodem C. Nakreslíme přímku a tak, aby vzdálenost bodu C od této přímky byla 7 cm (vzdálenost bodu C od paty kolmice z bodu C na přímku a je 7 cm). Body A a B tedy budou ležet na přímce a. Nakreslíme kružnici se středem v C a poloměrem 7 cm. Bod B leží na této kružnici a zároveň na přímce a. Zřejmě vznikne jen jedna možnost bodu B. Stačí už jen narýsovat úhel \gamma podle zadání. Bod A leží na rameni tohoto úhlu a zároveň na a. Možnosti pro toto rameno (a tedy i bod A) jsou dvě, ale souměrné podle přímky BC. Všechna řešení jsou tedy shodná.

Úloha 3 Pravděpodobnost, že čísla dvou obálek nemají stejnou cifru na první pozici, je \frac{8}{9} -- pokud si určíme první cifru čísla první obálky, pro druhou nevyhovuje jedna z devíti možností. Obdobně to funguje pro ostatní pozice. Kromě toho tato podmínka musí platit pro všechny pozice zároveň a pozice jsou na sobě nezávislé, takže celkovou pravděpodobnost získáme vynásobením dílčích jako (\frac{8}{9})^9.

Úloha 4 Označme původní rozměry kvádrů a,b,c. Objem je abc. Hádovi pak zbyl útvar o objemu abc-a=602, Poseidonovi abc-b=605. Z toho vidíme, že b+3=a. Takže 602=(b+3)bc-(b+3)=b^2c+3bc-b-3 \Rightarrow 605=b(bc+3c-1). Číslo b i výraz v závorce jsou určitě přirozená čísla a b<bc+3c-1. Obě tyto hodnoty jsou tedy děliteli 605, tedy 1, 5, 11, 55, 121 a 605. Vyzkoušením možností zjistíme, že aby bylo c celočíselné, musí platit a=14, b=11 a c=4.

Jejich ambrozie měla na začátku rozměry 14\cdot 11\cdot 4.

Úloha 5 Za 30 minut (nejmenší společný násobek 5 a 6) usmaží Ganymedes 11 omelet: 6 na první a 5 na druhé pánvičce. Všech 22 tedy bude smažit hodinu. Z první pánvičky vezme Ganymedes omeletu každých 20 minut (omelety se dosmaží v násobcích 5 a písničky dohrají v násobcích 4, nejmenší společný násobek těchto čísel je 20), takže před Hermem za 60 minut zachrání 3. Nejmenší společný násobek 6 a 4 je 12, takže ze druhé pánvičky vezme Ganymedes omeletu každých 12 minut. Za celou hodinu jich z ní zachrání 5.

Dohromady Ganymedes vezme 8 palačinek, takže Hermes ukradne zbývajících 14.

Úloha 6 Uvědomme si, že rychlost Chárona nás vůbec nezajímá. Plul 2 hodiny a 40 minut, poté se otočil a plul stejnou dobu i zpět. Vrátil se tedy po 5 hodinách a 20 minutách.

Kerberos vyplaval o 15 minut později a vzdálenost 260 km uplaval za 5 hodin a 12 minut. Dorazil tedy o 7 minut později než Cháron.

Úloha 7 Na kelímek se podíváme zepředu a představíme si jen jeho pravou polovinu. Máme teď 2D obrázek. Bod E značí střed jablka. Půlkelímek BCGF protáhneme dolů až k bodu A. Trojúhelníky ABC a AFG jsou si podobné, takže |AB| =7,2 cm. Z Pythagorovy věty použité na trojúhelník ABC máme |AC|= 7,8 cm. Do obrázku nakreslíme úhel \alpha u A a díky pravým úhlům ho přeneseme k E. Trojúhelníky ABC a EDA jsou si podobné, takže |EA|/|DA|= |AC|/|BC|, tedy |EA|=13 cm. Takže |EB|=5,8 cm. A protože má jablko poloměr 5 cm, odpovědí je 0,8 cm.