Zadání 2. série 37. ročníku
Termín odeslání: 22. 11. 2021
Pravidla pro odevzdávání řešení najdete zde. O tom, jak řešení sepisovat, si můžete přečíst zde nebo se podívat na video.
Adresa: Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8
Zadání je k dispozici také ve formátu pdf.
Najít vhodné místo pro svatbu Thetidy a Pelea nebylo nic jednoduchého. Velký sál na Olympu rázně zatrhnul Zeus s tím, že nechce, aby se mu po domě courali smrtelníci. Po fiasku, které málem skončilo Peleovým utopením, jsme museli zavrhnout i Thetidin podmořský palác. Naštěstí všechno na poslední chvíli zachránil kentaur Chairon, který se nabídl, že poskytne svou jeskyni. Od té doby tam neustále něco zdobí a mě posílá pro všechny možné kytky z celého světa. Teď mu zrovna vezu další zásilku stromů, ze kterých chce vytvořit speciální čtvercovou zahradu.
Úloha č. 1
Chairon chodí po zahradě, která je ve tvaru tabulky 10 \times 10. Nevíme, kde začíná, ale víme, že na každé políčko vstoupí právě jednou. Když vstoupí na některé políčko (včetně prvního), nejprve na něj napíše, kolik stromů je v jeho rozích (mřížových bodech tabulky). Potom zasadí strom do všech rohů políčka, kde ještě není. Na začátku v zahradě žádné stromy nerostou. Najděte všechny možné součty čísel v tabulce.
Když Chairon zrovna nepořádá svatby, vzdělává řecké hrdiny v základech lovu, hudby, léčitelství, ale i matematiky. Jedna taková matematická úloha mu zrovna leží na stole.
Úloha č. 2
Napište, jak sestrojit trojúhelník ABC, víte-li, že |BC|=7 cm, výška na c (tedy vzdálenost bodu C od přímky, na které leží A a B) má délku 7 cm a úhel \gamma (tedy velikost úhlu BCA) je 25°. Pokud je více takových trojúhelníků, které jsou různé, nakreslete všechny.
Během toho, co jsem zkoušel úlohu řešit, se před jeskyní objevila Thetis s náručí plnou obálek.
Úloha č. 3
Každá obálka má na sobě devítimístné číslo neobsahující nulu. Dvě obálky jsou kamarádské, pokud mají na stejné pozici stejnou cifru. Jaká je pravděpodobnost, že dvě obálky nejsou kamarádské?
„Herme, výborně, tebe přesně potřebuju! Mám tady oficiální pozvánky pro všechny olympské bohy a potřebovala bych je roznést.“ „Uf, koukám, že jsi vážně pozvala úplně všechny.“ Thetis se trochu zamračila: „Až na Eris, doufám, že z toho nebudou nějaké problémy...“ Účastně jsem přikývl. Eris je bohyně sváru a jejím hrám nejsme bohužel ušetřeni ani my bohové.
Svatba byla velkolepá, obzvlášť pak samozřejmě hostina. Určitě vás zajímá, co se na takové božské svatbě podává za pokrmy. Nejdůležitější je ambrozie a nektar, které bohům zajišťují nesmrtelnost a věčné mládí.
Úloha č. 4
Ambrozie má tvar kvádru složeného z malých krychliček s hranou 1 cm. Hádes i Poseidon mají ambrozii se stejnými rozměry. Hádes snědl ze své ambrozie nejdřív jeden řádek krychliček, Poseidon jeden sloupec. Potom zbyl Hádovi útvar o objemu 602 cm^{3} a Poseidonovi o objemu 605 cm^{3}. Jaké rozměry měly jejich ambrozie na začátku?
Po hlavní hostině začal své představení Apollon a jeho múzy. Po několika oslavných písničkách o Thetidě a Peleovi jsem se začal nudit a vypravil se do kuchyně, kde Ganymedes právě začal dělat mé oblíbené omelety.
Úloha č. 5
Ganymedes smaží omelety, ale během toho odbíhá poslouchat písničky. Celkem má těsto na 22 omelet. Má dvě pánvičky, na jedné se usmaží omeleta za 5 minut, na druhé za 6. Každá písnička trvá 4 minuty. Když písnička dohraje a zrovna je nějaká omeleta hotová, vezme ji a dá tam těsto na novou. Když se omeleta dodělá v době, kdy Ganymedes poslouchá písničku, sní si omeletu Hermes a také tam dá těsto na novou. Dobu jezení omelet a dávání těsta na pánvičku neuvažujte. Kolik omelet se Hermovi podaří ukrást?
Zanedlouho po svatbě se Thetis narodil syn, kterého pojmenovala Achilles. O věštbě, že předčí svého otce, jsme všichni věděli, ale věštkyně Pýthia překvapivě pronesla ještě jednu. Podle ní měl umřít mladý hrdinskou smrtí, nebo žít dlouho jako průměrný vladař. Thetis je samozřejmě odhodlaná udělat vše proto, aby nastala druhá možnost, ale pro jistotu přemluvila Háda, aby jí dovolil vzít malého Achilla do podsvětí k řece Styx, která by ho měla učinit nezranitelným. Do Hádovy říše se zas tak často nedostanu, a tak jsem se rozhodl, že ji doprovodím.
Podsvětí sestává z několika částí. Nejděsivější je bezesporu Tartaros, kam přijdou všichni, kdo za svého života spáchali něco obzvlášť špatného a už navždy si tu budou odpykávat trest, který jim Hádes se svojí manželkou Persefonou uložili. Na Elysijská pole mají naopak přístup všichni, kdo žili hrdinský život, a Asfodelské louky jsou pro všechny ostatní. První hranicí je ale řeka Acheron, přes kterou převáží duše zemřelých převozník Charon. Když jsme sem ale s Thetis dorazili, zjistili jsme, že Charon odplul po řece za tříhlavým psem Kerberem.
Úloha č. 6
Stanoviště Charona a Kerbera jsou od sebe vzdáleny 260 km. Charon vyplul za Kerberem rychlostí 42 km/h, o 15 minut později vyplaval Kerberos rychlostí 50 km/h. Po dvou hodinách a 40 minutách si Charon uvědomil, že teď nemá kdo převážet duše přes řeku, otočil se a stejnou rychlostí se vrací zpět. Dorazí k Thetis a Hermovi (tj. stanoviště Charona) dřív Charon nebo Kerberos?
Když se Charon vrátil, převezl nás na druhou stranu a my jsme se spolu s malým Achillem vydali k řece Styx, která začíná hrozivým vodopádem.
„Co mám teď dělat?“ obrátila se na mě Thetis ve snaze překřičet burácející vodu.
Ještě než jsem stačil odpovědět, rozkřičel se i malý Achilles, kterému se v podsvětí zřejmě moc nelíbilo. Naše dohadování zřejmě zaslechla sama bohyně Styx, která pod vodopádem bydlí: „Musíš ho ponořit do vody, ale pozor, máš jen jeden pokus!.“
„Jenom jeden pokus? Ale jak ho mám ponořit celého, když ho musím nějak držet? Přece ho musím nějak držet!.“
Styx už ale zase zmizela pod vodopádem a zoufalou Thetis buď neslyšela, nebo jí to bylo jedno.
„Tak co kdybys ho chytla za nohu? Ještě jsem neslyšel, že by někdo umřel na zásah do nohy,“ zkoušel jsem jí navrhnout. Nebyl jsem si tím vlastně úplně jistý, ale chtěl jsem z tohohle zatraceného místa hlavně hodně rychle zmizet.
Thetis uchopila vřeštícího Achilla za nohu a nakláněla se k vodopádu, ale mokrá noha ji pomalu začala vyklouzávat z ruky. Už ho držela jenom za patu, ale to už byl celý pod vodou a ona ho rychle zase vytáhla. Nevím, jestli ho to opravdu učinilo nezranitelným, ale minimálně potom spokojeně usnul.
Když jsem se vrátil na Olymp, zrovna z hlavního paláce vybíhala Eris. Se zlou předtuchou jsem vešel dovnitř a našel Athénu, Héru a Afroditu při jejich pravidelném dýchánku, jak se ošklivě hádají. Předmět jejich hádky ležel v jednom kelímku na stole.
Úloha č. 7
Na stole leží kelímek ve tvaru komolého kužele, jehož podstavy jsou rovnoběžné. Vrchní podstava má poloměr 6 cm, spodní 3 cm. Vrchní podstava je od stolu vzdálena 7,2 cm. Seshora dáme do kelímku jablko ve tvaru koule o poloměru 5 cm. Zjistěte, jak vysoko nad stolem je vrcholek jablka.
Proč se ale tři bohyně hádají o zlaté jablko?
