Zadání 5. série 36. ročníku

Termín odeslání: 26. 4. 2021

Pravidla pro odevzdávání řešení najdete zde. O tom, jak řešení sepisovat, si můžete přečíst zde nebo se podívat na video.

Adresa: Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8

Zadání je k dispozici také ve formátu pdf.


Vašek pochopil, že Aida neblouzní. Nezbývalo mu nic jiného, než ji poprosit, aby mu vysvětlila, co se stalo. Aida mu tedy postupně vyprávěla, co si uvědomila. Vašek nad tím jen nechápavě kroutil hlavou. Nakonec se jen zeptal: „Co chceš dělat teď?“

„To kdybych věděla. Musím něco vymyslet. Měla bych se dostat zpět. Nevíš, kdo by mi mohl poradit?“

„Nenapadá mě nikdo jiný než Eleanor. Jak na zavolanou, právě přichází.“

Aida tedy převyprávěla, co se děje, i Eleanor. Ta v průběhu jejího vyprávění jen přikyvovala. „Takže jsi na to už přišla. Jsi fakt dobrá. Když půjdeš do města \eta , najdeš na náměstí sochu trojúhelníku. Když zmáčkeš jeden speciální bod, tak se ti otevře vchod do podzemních sklepení. Popsané to máš na tomhle papírku,“ řekla Eleanor a podala Aidě zažloutlý papírek.

Úloha č. 1

Mějme trojúhelník ABC. Na jeho straně BC jsou body D_{1}E_{1} tak, že |BD_{1}|=|CE_{1}|. Obdobně jsou na BC další dva body E_{2}D_{2} takové, že |BD_{2}| = |CE_{2}|. Střed AD_{1} označíme M_{1}, střed AD_{2} označíme M_{2}. Dokažte, že přímky M_{1}E_{1}, M_{2}E_{2} a těžnice z vrcholu C v trojúhelníku ABC prochází jedním bodem.

„Vašku, běž s ní. A vemte si dost jídla, možná vám ta výprava zabere dost času,“ poradila jim Eleanor, než zmizela ve vedlejším pokoji. Aida s Vaškem se zabalili a vyrazili na cestu do města \eta .

Už byli nějakou chvíli na cestě, když potkali malou holčičku Jasmínku, která zoufale běhala po poli a zvedala různá čísla. Ukázalo se, že se snaží najít nějaké trojčíslí, které by doplnilo její vlastní trojčíslí. Velmi by ocenila pomoc od Aidy s Vaškem.

Úloha č. 2

Jasmína našla trojciferné číslo. Bylo jí ho líto, že je takové maličké a osamělé, tak ho napsala dvakrát za sebou. Dokažte, že vzniklé šesticiferné číslo bylo dělitelné třinácti.

Ani se nedá popsat, jak z toho byla Jasmína nadšená. Poradila Aidě s Vaškem, že v blízké jeskyni bydlí pavouk, který by jim mohl pomoct, a mohli by tam přenocovat do dalšího dne. Vašek s Aidou se vydali k jeskyni. Po chvilce ji našli a uprostřed ležel pavouk nad bednou ponožek a plakal. Potřeboval si obléct ponožky, ale chtěl vědět, kolik má vlastně možností, protože jinak by na tomto světě přece nebyl spokojený.

Úloha č. 3

Pavouk Adrian má na každou ze svých osmi noh jednu ponožku a jednu botu. Když jde na procházku, tak si musí obléct všechny ponožky a obout všechny boty. Samozřejmě na každou nohu může dát botu až potom, co si na ni obleče ponožku. V kolika různých pořadích to může udělat?

Za tu radu jim umožnil u něj přespat. Jen co Aida usnula, zase se jí zdálo o svém reálném životě. Seděla v knihovně s několika dalšími lidmi a řešila jednu úlohu.

Úloha č. 4

Máme rovnostranný trojúhelník rozdělený na devět malých rovnostranných trojúhelníků. Do malých trojúhelníků napíšeme čísla od 1 po 9 tak, aby součet v každém trojúhelníku složeném ze čtyř menších byl 23. Kolika způsoby to můžeme udělat?

Řešili pak další a další úlohy. Pochopila, že se učí na zkoušky. Užili si super povídání a vydali se ke skříňkám. Ještě předtím musela zhasnout, což nebylo úplně jednoduché.

Úloha č. 5

Mějme na stropě šestnáct lamp ve čtyřech řadách (v každé řadě i každém sloupci jsou čtyři). Máme osm přepínačů, jeden pro každý sloupec a každou řadu. Přepínač ve své řadě nebo sloupci zhasne všechny rozsvícené a rozsvítí všechny zhasnuté lampy. Na začátku jsou všechny lampy zhasnuté. Lze pomocí přepínačů zařídit, aby svítily právě tři lampy?

Když došli ke skříňkám, tak Aidu překvapilo, co za čísla mají. Z boku na skříňkách byla pověšená faktura za číslice, takže se rozhodla spočítat, jaká čísla mají skříňky ve škole.

Úloha č. 6

Ve škole jsou skříňky očíslované od 1. Čísla na skříňkách jsou z plastových číslic. Každá číslice stojí dvě koruny. Kolik je ve škole skříněk, pokud všechny číslice dohromady stály 13,954 korun?

Ze skříňky na ni vypadla obálka, na které bylo napsané: „Úlohy k otestování.“ Některé úlohy jí byly povědomé. Došlo jí, že se jedná o úlohy, které už potkala v matematickém světě. Z neznámých úloh ji zaujala jedna o mouše a kouli.

Úloha č. 7

Nevinná moucha sedí na vrcholu pravidelného čtyřstěnu s hranou délky 1\ m. Pod čtyřstěnem na ni číhá zákeřná koule tak, aby ji moucha nemohla vidět. Koule se dotýká spodní stěny čtyřstěnu. Jaký největší poloměr může koule mít?

Když se dopočítala, uvědomila si, že pavouk má přesně takovou velikost, aby mohl nějakou mouchu trápit. Jen co se vzbudila, viděla, že přesně to pavouk zrovna dělá. S Vaškem se tedy zabalili a vydali se směrem k městu \eta .