Zadání 4. série 36. ročníku

Termín odeslání: 15. 2. 2021

Pravidla pro odevzdávání řešení najdete zde. O tom, jak řešení sepisovat, si můžete přečíst zde nebo se podívat na video.

Adresa: Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8

Zadání je k dispozici také ve formátu pdf.

Aida si začala s Vaškem povídat. Zaujalo ji, jak rád vypráví o svých sourozencích, a tak neodolala a zeptala se, kolik jim je vlastně let. To by ale neodpovídalo místnímu světu, aby to neřekl hádankou.

Úloha č. 1

Vašek má dvě starší sestry, Aničku a Máničku. Anička je starší o čtyři roky, Mánička o devět let. Mamince dohromady s jejími dětmi je v průměru 23 let. Když se Anička narodila, mamince bylo 27. Kolik je Vaškovi let?

Povídali si tak dlouho, až jim k tomu Eleanor přinesla oběd. Talíř, na kterém měli jídlo naservírované, měl zvláštní tvar. Uprostřed byl trojúhelník naplněný omáčkou. Ke dvěma jeho stranám přiléhaly obdélníky, které byly naplněné přílohou. Jaký byl vlastně poměr omáčky a přílohy?

Úloha č. 2

Máme rovnoramenný trojúhelník ABC se základnou BC. K jeho stranám zvnějšku připíšeme obdélníky ABDEACFG tak, že BCGE je obdélník. Spočítejte poměr součtu obsahů BDECFG k obsahu BCGE.

Vašek si šel cvičit počítání na kostičkách a Aida se na něj chvilku jen dívala. Zaujalo ji, jak to dělá.

Úloha č. 3

Vašek má deset kostiček lega, jsou na nich čísla 1,\dots,10. Procvičuje si počítání tím, že staví součtové komínky z kostiček. Pro součtový komínek musí platit, že úplně spodní kostička je součtem všech kostiček nad ní. Je možné udělat několik součtových komínků, aby využil všechny kostičky? Pokud ne, proč?

Aida však byla zase unavená, a tak si šla radši lehnout. Jen co si lehla, tak už spala. Netrvalo dlouho a začalo se jí zdát o zajímavé vlastnosti jednoho čtyřúhelníku.

Úloha č. 4

Všechny vnitřní úhly čtyřúhelníku ABCD jsou menší než 180°. Středy obou dvojic protějších stran spojíme, čímž se ABCD rozdělí na čtyři části. Dokažte, že tyto části umíme přeskládat tak, aby vznikl rovnoběžník.

„Pojď to ukázat k tabuli,“ promluvil na ni nějaký hlas. Evidentně seděla na nějaké hodině, protože se nacházela v krásné učebně. Zvedla se a šla k tabuli. Cestou si všimla na tabuli napsané úlohy, a tak ji začala rychle řešit, aby ji mohla vypočítat u tabule.

Úloha č. 5

Pro hrany kvádru ABCDEFGH platí |AB|= 5\ cm, |BC| = 4\ cm|AE| = 9\ cm. Na jeho hranách AE, BF, CG jsou postupně body X, Y, Z tak, že |AX|=3\ cm, |BY|=8\ cm|CZ|=6\ cm. Spočítejte velikost řezu kvádru rovinou XYZ.

Naštěstí se jí to povedlo spočítat správně, a tak ji vyučující pochválil a nechal ji si zase sednout na její místo. Když otočila stránku, vypadla na ni obálka, na které bylo napsáno: Pro Aidu, radši to nikomu neukazuj. Neodolala a otevřela ji, byla přece pro ni. Byl v ní papír. Její pohled plně zaujal nadpis, který hlásal: „Virtuální realita matematického světa. Pojďte zažít ještě více matematiky, než je kolem nás běžné.“ Dál už se ve čtení nedostala, protože jí zazvonil telefon, a poslední, co přečetla, než se probudila, byl červený nápis dole na stránce: „Prosím, otestuješ to?“ Co to mělo znamenat? Zmateně se vymotala z pokoje. Tam stále seděl Vašek a hrál si opět se zlomky.

Úloha č. 6

Vašek si hraje se zlomky. Zlomek nejdřív zkrátí do základního tvaru. Potom spočítá součin jmenovatele a čitatele. Pro kolik zlomků mezi nulou a jedničkou mu mohlo vyjít 20!? Jako n! označujeme součin přirozených čísel od 1 do n a čteme to n faktoriál.

„Co se děje?“ zeptal se Aidy Vašek, když viděl, jak zmateně vypadá. Aida chvilku přemýšlela a pak z ní jen vypadlo: „Asi vím, kde jsem. Ale netuším, jak odsud pryč.“ Teď se začal tvářit nechápavě Vašek. „Co to povídáš? Jsi u Eleanor, kde jinde bys měla být? Je ti dobře? Vyřeš mi tuhle úlohu, jestli neblouzníš.“

Úloha č. 7

Je dána posloupnost šesti celých kladných čísel. Každé (kromě prvního) je ostře větší než předchozí a zároveň je jeho násobkem. Součet všech šesti čísel je 79. Jaké je největší číslo posloupnosti?

Aida ji vyřešila. A už jen řekla: „Jsem v matematickém světě. V Norbertově virtuální realitě.“