Zadání 3. série 36. ročníku
Termín odeslání: 4. 1. 2021
Pravidla pro odevzdávání řešení najdete zde. O tom, jak řešení sepisovat, si můžete přečíst zde nebo se podívat na video.
Adresa: Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8
Zadání je k dispozici také ve formátu pdf.
- 1. 2021 Aida byla stále ve snu, když se na snové schůzce řešila ještě jedna geometrická úloha.
Úloha č. 1
Je dán obdélník ABCD. Platí |AB|=9 a |BC|=8. Uvnitř tohoto obdélníku jsou body E a F. Platí |BE|=4, |DF|=6, EF\parallel AB a BE\parallel DF (obr. zad331). Spočítejte |EF|.
To už si ale začala všímat více detailů z místnosti. Na stěně visely troje hodiny, ale každé ukazovaly jiný čas. Vtom si vzpomněla, že se jednou se svým kamarádem Norbertem bavila o trojích hodinách, které se zpožďovaly. Co že to o nich vlastně platilo?
Úloha č. 2
Norbert má troje kukačkové hodiny. Jedny se zpožďují o dvacet minut za hodinu, druhé předbíhají o dvanáct minut za hodinu a třetí jdou správně. Kukačka kuká jen v celou hodinu tolikrát, kolik je hodin podle těch hodin, v nichž je. Norbert v 0:01 seřídí všechny hodiny na správný čas a do 10:01 počítá zakukání. Kolika se dopočítá?
Když se tak nad Norbertem zamyslela, náhle si vzpomněla na jednu příhodu, která se jí jednou stala, nebo si to alespoň myslela. Byl hezký večer a ona se rozhodla vyrazit na procházku s Norbertem. Rozhodli se jít k řece a vzhledem k tomu, jak moc oba neradi chodili po stejných cestách, chtěli vymyslet, jak mají jít, aby přešli co nejvíce mostů, ale žádný nepoužili dvakrát. A hlavně se chtěli vrátit na stejné místo, odkud vyrazili.
Úloha č. 3
Norbert a Aida jsou na procházce. Jdou se projít k řece, přes kterou vede 5 mostů. Chtějí na své procházce jít co nejvíckrát po mostě. Zase ale nechtějí, aby šli po nějakém mostě dvakrát týmž směrem. Kolika způsoby se mohou po mostech projít?
V tom kukačka zakukala a Aida se probudila. Rozespale vylezla z postele a šla se ven podívat na obvod stínu krychle. Bylo pod mrakem, takže nezjistila, kolik je, ale bylo dost světla, takže už asi bylo ráno, ale na poledne ho bylo málo. Nebo aspoň měla ten pocit.
Venku už stál Vašek a dával čísla do krabičky a hrozně se rozčiloval, protože se mu tam všechna nevešla. Bude jich muset asi část prodat. Chce mít ale možnost je dělit co největším číslem. Rád by věděl jak na to, tak se zeptal Aidy o radu.
Úloha č. 4
Vašek má 3n po sobě jdoucích přirozených čísel. Nevejdou se mu ale do krabičky, tak jich n prodá. Jaký může být v závislosti na n největší společný dělitel zbylých čísel?
Tenhle svět je prostě zvláštní, ale i tak je Aidě opravdu blízký. Měla hlad, a tak se vydala zpátky dovnitř, kde Eleanor převalovala zvláštní osmistěn sem a tam. Chtěla ho otočit vzhůru nohama a nechat na stejném místě, ale byl tak těžký, že ho mohla jen překlápět.
Úloha č. 5
Máme pravidelný osmistěn ležící na rovině. Můžeme s ním dělat pouze to, že ho převalíme přes hranu na stěnu sousední s tou, na níž právě leží. Může se stát, že skončí na témže místě, na kterém začínal, akorát na protější stěně?
Chvilku s ním zápasily, když Eleanor začala Aidě povídat o dalším večírku, na kterém nedávno byla. Bylo na něm sto lidí a někteří se znali a jiní ne. Bylo to prý zajímavé.
Úloha č. 6
Na večírku se sešlo sto lidí. Každý se zná s právě padesáti z nich. Známosti jsou vzájemné. Dokažte, že na večírku je čtveřice lidí taková, že první i druhý se znají se třetím i čtvrtým.
Ještě chvíli si povídaly a pak si daly snídani. Po nějaké době přišel Vašek s kamarádkou a počítali nějaké zlomky. Pokaždé jim však vyšlo jiné číslo. Pak jim ale vyšlo stejné a tak se ukázalo, že Vašek neumí počítat se zlomky.
Úloha č. 7
Vašek s kamarádkou odčítají zlomky. Kamarádka to dělá správně, zatímco Vašek špatně, protože si myslí, že zlomky \frac{x}{y} a \frac{z}{w} se od sebe odečtou následujícím způsobem:
Pro nějaká kladná celá čísla a, b, c, d oběma vyšlo \frac{a}{b}-\frac{c}{d} stejně. Kamarádka potom ještě spočítala \frac{a}{b^{2}}-\frac{c}{d^{2}}. Kolik jí vyšlo?
Aida nad tím jen kroutila hlavou a opět přemýšlela, jak je tenhle svět zvláštní.
