Zadání 2. série 36. ročníku

Termín odeslání: 23. 11. 2020

Pravidla pro odevzdávání řešení najdete zde. O tom, jak řešení sepisovat, si můžete přečíst zde nebo se podívat na video.

Adresa: Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8

Zadání je k dispozici také ve formátu pdf.


23. 11. 2020 Párty se pomalu rozjížděla. Kofola tekla proudem a všichni se začali dostávat do uvolněné nálady. V tom si Aida uvědomila, co je na nich zvláštní. Všichni měli místo uší trojky. Navíc, vždy než spolu začali interagovat, řekli si nějaké číslo. Chtěla si popovídat s jedním klukem, a tak jí Eleanor poradila, jak si správné číslo může spočítat.

Úloha č. 1

Mějme přirozená čísla AV. Jejich největší společný dělitel je 12. Číslo A je druhá mocnina přirozeného čísla, číslo V je větší než 25. Zjistěte nejmenší možný společný násobek těchto dvou čísel.

Když se dostala k výsledku, přišla za klučinou a řekla mu ho. On jí odpověděl to stejné a Aida pochopila, že se nejspíše jedná o jistou formu pozdravu. Po chvíli přijemného rozhovoru zjistila, že si povídá s Vaškem, organizátorem večírku. Ten jí prozradil, že na oslavu pozval tolik lidí, aby mohl nakoupit výhodněji v bližším ze dvou obchodů, které má v okolí.

Úloha č. 2

V okolí jsou dva obchody -- Mňamky a Dobroty. Na oslavu chceme nakoupit jen v jednom z nich. Potřebujeme koupit dvě čokolády a jedny bonbony pro každého, kdo přijde. Také chceme deset čokolád a deset bonbonů do rezervy. V Mňamkách stojí čokoláda 20 Kč a bonbony 19 Kč, zatímco v Dobrotách stojí čokoláda 22 Kč a bonbony 16 Kč. Kolik musí přijít na oslavu lidí, aby bylo levnější nakoupit v Mňamkách?

Teď už tedy ví, kolik asi lidí je na oslavě, protože od jejich příchodu se počet značně změnil. No jo, ale kde jsou bonbony? Vtom si Vašek vzpomněl, že má problém a požádal Aidu o pomoc. Bonbony někdo uzavřel do krabiček, jejichž obsah zmizí, pokud je někdo otevře, aniž by věděl, co se v nich nachází. Vašek ale má dva testovací stroje, díky kterým by se Aida mohla pokusit co nejvíce bonbonů zachránit.

Úloha č. 3

Máme padesát krabiček. V některých je bonbon, ostatní jsou prázdné. Máme dva přístroje. Ke každému z nich vždy přiložíme právě dvě krabičky. Jeden přístroj nám pak řekne, jestli alespoň v jedné z krabiček je bonbon. Druhý nám řekne, jestli je v nejvýše jedné krabičce bonbon. Přístroje od sebe neumíme rozeznat.

Když otevřeme krabičku bez toho, že bychom si byli jisti, jestli v ní bonbon je nebo není, tak sice zjistíme, jak to je, ale případný bonbon zmizí. Jakým způsobem získáme co nejvíce bonbonů?

No, snad se jí to povedlo dostatečně dobře. Tak jí přišlo na mysl, jak tady asi pozná, kolik je hodin. Prý je to snadné, mají tady sluneční hodiny. Ty však nefungují, jak by člověk očekával. Čas je totiž vyjádřen obvodem stínu, ne polohou, kam dopadá.

Úloha č. 4

Krychle o hraně a je postavená tak, že její tělesová úhlopříčka je kolmá na rovinu pod ní. Slunce svítí také kolmo na tuto rovinu a jeho paprsky jsou vzájemně rovnoběžné. Jaký je obvod stínu krychle?

Čas evidentně dost pokročil. Když nad tím Aida uvažovala, zaznamenala, že na ni Eleanor volá. Rychle se ohlédla. Spatřila Eleanor, jak sedí s dalšími lidmi kolem šachovnice se čtyřmi koňmi a snaží se na ni nakreslit nějaké čáry.

Úloha č. 5

Máme šachovnici, na ní čtyři koně na polích A1, B2, C3D4 (obr. zad251). Rozřežte šachovnici na čtyři shodné díly tak, aby na každém byl právě jeden kůň.

Když se jim povedlo šachovnici rozřezat, Eleanor Aidě řekla, že je pomalu čas jít zpátky domů. Ale než půjdou spát, budou muset pomoct s natíráním zdi.

Úloha č. 6

Máme klasickou cihlovou zeď (dvě cihly sousedí kratší stranou nebo polovinou té delší). Řada cihel je tvořena sousedícími cihlami, jejichž středy leží na jedné přímce (obr. zad261). Lze každou cihlu obarvit červeně nebo modře tak, aby neexistovala jednobarevná řada tří cihel?

Když zeď konečně natřely, bylo už velmi pozdě. Obě se rychle odebraly na kutě. V noci se Aidě opět zdálo o korespondenčním semináři. Chystala s dalšími lidmi, kteří jí byli velmi povědomí, úlohy do další série a parádně se u toho bavili. Bylo to prostě úžasné. Mimo jiné vymysleli geometrickou úlohu, která zněla:

Úloha č. 7

Máme rovnostranný trojúhelník ABC. Přímka p svírá se stranou BC úhel 30\deg. Přímka p protíná polopřímku opačnou k BA v bodě D, strany BCCA postupně v bodech EF (obr. zad271). Platí, že |AB|=5|BD|=2. Určete |EF|.

Proč se jí pořád zdá o tomhle semináři? Má to nějaký význam? A proč ji tady všichni znají a je jim blízká, ale ona to tu vůbec nepoznává?