Vzorová řešení a komentáře k 6. sérii
Řešení je k dispozici také ve formátu pdf.
Úloha č. 1
Tuto úlohu nejdříve vyřešíme obecně. Nejprve hráče očíslujeme. Začínající hráč má číslo 1, hráč napravo od něj 2 a tak dále proti směru hodinových ručiček. Musíme si uvědomit, že vždy vypadne každý druhý hráč, protože střelí vždy hráč na tahu do osoby vpravo od sebe, a tak pokud po každém kole přečíslujeme hráče, vypadnou v něm všichni sudí hráči.
Problém nastává až u konce kola. Můžou nastat dvě varianty. Buď zemře poslední hráč, nebo dostane špuntovku a zahajuje další kolo. V podstatě jde o to, jestli nalevo od prvního je sudý, nebo lichý hráč. Pokud je to sudý hráč, tak první přežije, neboť jeho souseda zabije lichý hráč před ním a pak předá špuntovku prvnímu. To by také znamenalo, že zemře přesně polovina hráčů v tomto kole. Pokud je ovšem počet hráčů lichý, tedy vedle prvního zleva je lichý hráč, tak tento hráč zastřelí prvního a pokračuje hráč třetí a zahajuje nové kolo (neboť druhý je již zastřelen prvním a třetího ještě nikdo nestřelil). Tedy při lichém počtu hráčů zemře v kole polovina počtu hráčů (zaokrouhleno na jednotky).
Povšimněme si ještě jedné věci. Pokud počet hráčů bude mocninou dvojky, tak hráč začínající v libovolném kole bude vždy stejný a nakonec vyhraje, neboť v každém kole padne přesně polovina hráčů, což znamená, že se od exponentu odečte jednička.
Nyní si tedy vezmeme náš konkrétní případ. Šašišandovi dáme číslo jedna a pak vše očíslujeme jako obvykle. V prvním kole 1 zastřelí 2, 3 zastřelí 4, 5 zastřelí 6 a tak dále až k hráči č. 1025. Hráč 1025 je lichý a zastřelí tak Šašišandu (hráče 1). Každý lichý hráč tím pádem zastřelil jednoho hráče a protože lichých hráčů je 513, zbude po tomto kole 512 hráčů (1025 - 513).
Toto číslo (512) je sudé, v druhém kole tedy začínající hráč (první přeživší hráč z minulého kola -- hráč 3) zastřelí dalšího živého hráče (5), 7 zastřelí 9 a tak bude hra pokračovat, dokud předposlední přeživší hráč (1023) nezastřelí toho posledního (1025). Zbude tak polovina neboli 256 hráčů. Takto bychom mohli pokračovat dál, ale my si můžeme povšimnout, že 512 je mocnina dvojky. Z těchto znalostí plyne, že hráč který začínal v druhém kole (3) přežije nejen další kolo, ale také každé další kolo, protože v něm bude pokaždé sudý počet hráčů. Tento hráč je tedy Rambo.
Rambo byl o 2 místa vpravo od Šašišandy.
Komentář: Častým problémem bylo číslování, kdy se lidé v něm natolik zamotali, že se pak stávaly chyby. Dalším z problémů bylo nedostatečné vysvětlení některých kroků a odůvodnění, proč dané tvrzení platí.
Úloha č. 2
Výšku hladiny si označíme x. Tím, že jsou úsečky délky 2 a 3 rovnoběžné, trojúhelníky tvořené měrkami a stěnami nádoby jsou podobné, protože musí mít stejně velké úhly. Trojúhelníky si jsou podobné v poměru 2:3.
Když toto víme, uvědomíme si, že jelikož jsou trojúhelníky podobné, poměr 2:3 ze stěn bude stejný jako poměr částí kratší měrky od pravého horního rohu ke křížení a od levého dolního rohu ke křížení. A tento poměr je zase stejný jako poměr mezi neznámou výškou x a vzdáleností od hladiny k vršku kratší měrky, tedy 2-x.
Hladina ve skleničce tedy sahá do výšky 1,2.
Komentář: Většinou jste úlohu vyřešili správně. Klíčové bylo si uvědomit, že trojúhelníky tvořené měrkami a stěnou nádoby, jsou podobné. Úloha patřila k jednodušším, proto jsme strhávali body i za menší chyby.
Úloha č. 3
Rozeberme si dva případy podle toho, jestli bílá věž mluvila pravdu.
Pokud bílá věž lhala, černá věž musela mluvit pravdu, protože lže vždy jen jedna figurka.
Pokud měla bílá věž pravdu, na šachovnici je kromě obou věží i černý kůň, kterého bílá věž může vyhodit. Poslední figurka tedy musí být také černá (je to černý kůň, nebo černá věž), takže lhala. Zbývá určit, která figurka mluvila jako druhá a měla pravdu v tom, že může vyhodit bílou věž. Nemohl to být kůň, protože v tom případě by se kůň, který ohrožuje pole v jiném řádku i sloupci, vzájemně ohrožoval s věží, která ohrožuje stejný řádek nebo sloupec. Druhá figurka, o které víme, že měla pravdu, tedy musela být černá věž.
Černá věž nelhala v žádném případě, vždy tedy mluvila pravdu.
Komentář: Úloha nebyla příliš těžká, ale bylo naprosto zásadní správně přečíst zadání a uvědomit si, že daná černá figurka nemusela být černá věž. Spousta řešitelů to bohužel neudělala a řešila jen část úlohy.
Úloha č. 4
Existuje mnoho způsobů, jak zadanou soustavu vyřešit. Jedno z nejčastějších bylo následující.
Nejprve upravíme nerovnici roznásobením pravé strany a převedením na levou stranu:
Všimneme si, že můžeme použít vzorce (a-b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}, kdy a=p a b=2k. Dostáváme následující nerovnici:
Protože výraz x^{2} je vždy větší roven 0 a nerovnice tvrdí, že (p-2k)^{2} má být menší rovna nule, nutně musí platit rovnost. A pokud součin dvou čísel je nulový, musí být jedno z čísel nulové. Protože jsou obě čísla v součinu stejná (jedná se o druhou mocninu), dostáváme, že
Člen 2k převedeme na pravou stranu a celou rovnici vynásobíme pro další potřebu dvěma. Dostáváme nyní s rovnicí ze zadání novou soustavu:
Substitucí 4k za 2p v druhé rovnici a převedením tohoto výrazu na pravou stranu dostáváme kvadratickou rovnici:
Podle vzorce určíme, že kořen je p=1 (a je dvojnásobný, protože diskriminant je roven 0) a dosazením do rovnice 2p=4k dostáváme, že k=1/2. Řešením je tedy dvojice p=1 a k=1/2.
Komentář: V zásadě většina řešitelů měla úlohu vyřešenou správně. Často mi chyběla argumentace toho, co člověk vlastně dělal a řešil. Někteří řešitelé nalezli řešení metodou pokus, omyl. To je v pořádku, tak se matematika také z velké části dělá. Někteří došli k řešení analytickým odvozováním. V obou případech je pro opravovatele nejdůležitější pochopit proces, jakým jste se k řešení dostali. A podle toho by mělo vypadat také odevzdané řešení. :)
Úloha č. 5
Zadání úlohy velkou část řešitelů zmátlo. Co se po vás vlastně chtělo v zadání? Hodnota |ad| představuje absolutní hodnotu součinu dvou hodnot a to a a d. Hodnota a je délka hrany jednoho z kvádrů, nikoli pojmenování úsečky BC v trojúhelníku ABC, tak jak tomu bývá v geometrických úlohách. Řešení úlohy tak vypadá následovně.
Kvádry se jistě setkávají v jednom bodě (konkrétně vrchol A). Zároveň jsou jejich hrany rovnoběžné, což nám dává několik možností, v jaké mohou být vzájemné pozici. Jedna taková pozice může například být, že kvádry leží „na sobě“. Další například tehdy, kdy sdílejí pouze jednu hranu, pouze vrchol, apod. Toto je trochu náročnější na představu a nejlépe člověk udělá, když si kvádry vyrobí a zkusí si jimi pohybovat v prostoru.
Pomocí toho, jak mohou být kvádry vůči sobě postaveny, dokážeme vyjádřit přeponu BC. Uvědomíme si, že se na ni můžeme dívat jako na uhlopříčku třetího kvádru, jehož hrany mají délku (a \pm d), (b \pm e), (c \pm f).
Zároveň víme, že strany pravoúhlého trojúhelníku jsou ve vztahu, který je dán Pythagorovou větou. Totiž
Tělesová uhlopříčka kvádru o délkách hran x, y, z je rovna \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}.
Dosazením do Pythagorovy věty tedy dostáváme
Takový výraz roznásobíme
odečteme druhé mocniny
a vydělíme 2. Máme
Protože celou dobu používáme symbol \pm, řešíme vlastně několik rovnic zároveň. Vybereme si proto ty členy, které mají záporné znaménko a převedeme je na druhou stranu. To určitě nebudou všechny tři, protože součet tří záporných čísel není roven 0. Proto to mohou být 2 (kdy třetí je kladný), nebo 1 (a dva kladné). V každém případě dostaneme rovnice, kdy na jedné straně máme jeden člen a na druhé 2 členy. Řekněme, že to dopadne například následujícím způsobem:
Pokud by rovnice vypadala jinak, tak bude postup stejný. Protože na obou stranách rovnice máme kladná čísla, můžeme je považovat za délky stran trojúhelníku, který hledáme. Pro ten ale musí platit trojúhelníková nerovnost, konkrétně
a tím dostáváme spor s tím, že by mohl existovat.
Komentář: Někteří řešitelé řešili úlohu elegantně pomocí analytické geometrie. Nápad to byl hezký, proto ho zde zmiňuji a chválím. :)
Úloha č. 6
V úloze se devětkrát opakuje situace, kdy pugety na dvou místech nemohou být stejné. Většina řešitelů správně přišla na to, že pravděpodobnost, že jedna ze dvojic bude tvořena stejnými pugety, je 1/9, tedy že budou různé, je 8/9. Dále k vyřešení si stačilo uvědomit, že pokud je pugetů všech druhů neomezené množství, tak se neovlivňují, takže nastane tato situace ve všech devíti případech, stačí tyto pravděpodobnosti vynásobit. Tedy řešením je (8/9)^{9} \doteq 34{,}64\,\%.
Někteří řešitelé řešili rovnou všechny možnosti najednou, aby vydělili počet správných možností počtem všech možností. Tedy správně zjistili, že všech možností, jak vybrat z devíti druhů pro všech 18 pugetů, je 9^{18} (na každém místě je devět možností a tyto možnosti vynásobíme). A možností, kdy nebyly žádné dva stejné, je 9^{9} \times 8^{9} (prvních devět pugetů má všech devět možností a dalších devět jen osm, protože nesmí být stejný, jako ten, který je s ním ve dvojici). A když tato dvě čísla vydělíme, tak se opět dostaneme k
Komentář: Nejčastější chybou bylo, že řešitel přišel na to, že jedna dvojice má pravděpodobnost, že se shodne, 1/9, ale nezapojoval dál ostatní dvojice, případně počítal, jestli se tyto dvojice ovlivňují, ale tím řešil celkem jinou úlohu. U těch, kteří počítali všechny možnosti najednou, bylo častou chybou, že nespočítali jednu z možností, ale spíše nevěděli, co vlastně chtějí spočítat a vydělit.
Zjednodušovací rada pro některé řešitele: Obzvláště v tomto druhém postupu je vidět, že se tam zbytečně opakuje násobení \times 9^{9}, které to ale vlastně neovlivňuje. Ono je totiž jedno, jaké druhy jsou na první slavobráně, protože vždy se může shodnout právě jedna varianta z devíti, a proto je možné si je pevně určit. Tomuto zjednodušení se říká BÚNO (bez újmy na obecnosti). Tímto tedy šlo napsat BÚNO na první slavobráně jsou pugety prvního druhu, a řešíme tedy jen druhou bránu, tedy celkově je možností 9^{9}, a na bez dvojic je možností 8^{9}. Nebo v prvním postupu BÚNO vždy určit jeden a je vidět, že druhý má vždy 8 možností, takže to je 8/9, které stačí devětkrát vynásobit.
Úloha č. 7
Jako první si uděláme náčrtek (Obr. vz671).
Všechny krychličky, z nichž se šachovnice skládá, jsou shodné. Zároveň jsou stejně orientované vůči hlavní diagonále. Řez je rovina. To znamená, že řez vedený Fandou vypadá v celých kostičkách úplně stejně. Nejníže je protíná na svislé hraně nejdále od diagonály. Dvě svislé hrany, které jsou stejně daleko od diagonály, protíná o jednu osminu délky hrany výše. A svislou hranu, která je nejblíže bílé diagonále, protíná ještě o jednu osminu hrany výše. Všechny řezy skrze celá políčka mají tedy stejný obsah.
Potřebujeme se vypořádat s řezy, které vedou jen skrz polovinu políčka. Protože dvě ze svislých hran jsou stejně vzdálené od bílé diagonály, tak ta část, která je od nich dál od té diagonály, je jen zrcadlové převrácení toho, co je blíže k diagonále. To znamená, že onen řez vedený přes půlku políčka má poloviční obsah než ten, který je přes celé.
Zbývá spočítat bílá a černá políčka. Bílých je tam 12 a 8 polovičních, dohromady tedy dávají 16 celých. Černých je tam 16 celých. Obsah bílé a černé na řezu je proto stejný.
Komentář: Dalo se argumentovat více způsoby. Na základní myšlenku ale nebylo těžké přijít. Body jsem strhávala za to, když jste v podstatě řekli, že řez má všude stejný sklon a tím je to vyřešené.
Opravovali: 1. Eliška Vítková a Sebastian Duarte, 2. David Hájek a Kristýna Kratochvílová, 3. David Hájek a Tomáš Flídr, 4. Martin Černý, 5. Martin Černý, 6. František Steinhauser, 7. Magdaléna Mišinová.
