Zadání 4. série 21. ročníku
Termín odeslání: 6. března 2006
Adresa: Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8
Zadání je k dispozici také ve formátu pdf.
Kapitola čtvrtá
„Danny se už zase někde poflakuje,“ pomyslel jsem si, když jsem uviděl jeho pracovnu prázdnou. „My se tu topíme v práci a on tady není, zrovna když ho potřebuju“ Podíval jsem se na hodinky. „Vždyť už je půl dvanáctý“ Tak to už Danny běžel na oběd, až se vrátí, bude se divit, co nového se stalo v případu toho zastřeleného boháče. Sedl jsem si a čekal.
Mohutná Dannyho postava se objevila ve dveřích až po půl hodině. Danny je trochu při těle, ale povinné policejní testy ho drží v kondici.
„Víš, co se stalo, Danny?“ vybafl jsem na něj, aniž bych mu dal příležitost k otázce, co zde dělám. „Představ si, že zmizel architekt, kterýho sis všiml na pohřbu toho továrníka.“
Hledím na parťáka, který mlčí. Zasmušilý obličej má plný vrásek. Pak povídá, že asi dneska večer zajde do Barnyho krčmy zeptat se, jestli se v podsvětí o něčem neví.
To zatracený slunce zapadlo už třikrát a žádnou hlášku jsme nezachytili, udělali jsme sice pár výslechů, ale myslím si, že nikdo toho továrníka neměl příliš v lásce, a zdá se mi, že všichni jsou nějaký zaražený a hrajou mrtvý brouky...
Danny právě přišel z pochůzky, ptám se ho: „Tak co?“
Leč slyším jen klasickou odpověď: „Tak nic! Jen u Barnyho mají nový koule do kulečníku. Jsou ze skla a uvnitř jsou různobarevné krystaly, avšak ten Skoták Barny je půjčuje jen za zálohu deseti babek a účtuje si za každou hru o deset procent víc.“
Úloha č. 1
Je dána krychle, které je opsán plášť koule tak, že všechny vrcholy krychle leží na povrchu této kulové plochy. Vedeme-li středem každé stěny krychle přímku kolmou k dané stěně, protnou tyto přímky plášť koule v bodech B_{1}, ..., B_{6}. Každý z těchto bodů spojíme hranami se čtyřmi nejbližšími vrcholy krychle. Dostaneme tak určité těleso. Kolik má hran, vrcholů a stěn? Jaký je jeho povrch, jestliže je délka hrany krychle 2 palce?
„Dám si kafe, chceš taky, Davide?“ zeptal se mě Danny a já přikývl. „Měli bychom se jet podívat na zoubek Hokynářovi, už ho pustili z blázince.“
Oba jsme věděli, co je to za člověka. Když si dávám kávu, často si vzpomenu, jak nám ji jednou uvařil Hokynář. Tu přezdívku si vysloužil v arestu, prodával všechno, od zápalek, až po talíře či jiné kuchyňské harampádí. Dokázal kšeftovat i ve vězeňské cele. A kafe nám tehdy vařil těsně před tím, něž jsme ho zatkli za podvody v účetnictví. Osolený nápoj z Brazílie, který jsme na něj vyprskli za nic nemohl. Občas měl nálady, že bych ho nepoznal: zakalily se mu oči a začal odříkávat cizím jazykem texty z bible. Potom, co ho pustili, už nepodváděl a jeho obchod se smíšeným zbožím vcelku prosperoval. Začal podávat velmi dobré informace z podsvětí, stal se z něj potrhlý informátor.
Úloha č. 2
Hokynář si vymyslel takovéto počítání pro vařečku, smeták, špendlík a sklenici. Když libovolný předmět připočítá k vařečce, dostane opět tentýž předmět. Pokud připočítá smeták ke špendlíku, dostane špendlík. Pokud špendlík přičte ke smetáku, dostane smeták. Kdyby sklenici připočítal k libovolnému předmětu, dostal by sklenici. Když smeták připočítá ke sklenici, dostane sklenici. Pokud připočítá jeden předmět k druhému a takto vzniklý předmět připočítá k třetímu předmětu, dostane stejný předmět, jako kdyby nejdříve připočítal druhý předmět ke třetímu a k takto vzniklému předmětu připočítetl předmět první.
Co dostane, když připočítá:
- smeták ke smetáku,
- špendlík ke špendlíku,
- špendlík ke sklenici?
Sedli jsme do auta a rozjeli se k našemu starému známému Hokynáři; bydlel v okrajové čtvrti města, chvíli to trvalo, než jsme vjeli do ulice, kde si asi půl tuctu chlapců hrálo v prachu rozbité cesty mezi činžovními domy. Kluci špinaví až za ušima až příliš bezstarostně předstírali, že si policejního auta vůbec nevšímají. Až jsem si všiml, že kromě jednoho každý z nich nedůvěřivě svírá v malé pěstičce kámen připravený na svou obranu. V dělnických čtvrtích nemají lidé k pořádkovému orgánu důvěru.
Zvuk našeho auta zaslechl i Hokynář, vyběhl nám vstříc a s úsměvem pravil: „Myslíte si, že ti kluci se budou bát použít proti vám kameny, když mě budete chtít s sebou odvést?“
Vidím na ulici pět chlapců, každý drží jeden kámen. Předpokládejme, že každý kámen má jinou hmotnost. Hokynář má určitě v obchodě rovnoramenné váhy, pomyslel jsem si. Tak jsem na Hokynáře štěkl: „Dokázal bys na sedm vážení seřadit pět kamenů dle hmotnosti?“
Úloha č. 3
Dokážete sedmi váženími seřadit pět různě těžkých kamenů od nejtěžšího k nejlehčímu?
„Nehněvejte se a pojďte dál.“ A otevíraje dveře svého krámu nás tlačí dovnitř. „Přišli jste si koupit něco konkrétního, nebo se jdete jen pozeptat, co se tady okolo děje?“
Danny se ho hned zeptal na únos architekta Heydy, avšak Hokynář stále zarytě mlčel; zdálo se mi, že přemýšlí, co nám poví. Když jsem si už říkal, že nás nechává napínat až příliš dlouho, propadla se pod námi podlaha. Stáli jsme s Dannym na vzorovaném koberci, pod kterým bylo nejspíše ukryté propadlo. Ten zpropadený všivák nás snad chce sprovodit ze světa...
Úloha č. 4
Vzor na kruhovém koberci byl sestaven ze samých kružnic. Jakou plochu měla tmavá část koberce, který je zakreslen na obrázku?
V tu chvíli jsem ucítil pod nohama prázdný prostor, dopadl jsem na hromadu uhlí a dál se kutálel za hrozného lomozu sesouvající se černé masy pode mnou. Vše, co jsem viděl okolo sebe, byla tma a skoro jsem nemohl dýchat, dusil jsem se prachem, až jsem kamsi dopadl a uhlí mě po pás zasypalo.
„Co teď?“ prohodil jsem nahlas do ztichlé místnosti. „Danny, ozvi se“
Žádná odpověď.
„Jsi tu někde?“
Vyhrabal jsem se z uhlí a začal pátrat, kde jsem se to objevil. „Snad se Dannymu nic nestalo“ Tápu po malé místnosti, snažím se najít nějaké dveře. Konečně jsem objevil plechová vrata a se skřípotem je otevřel. Vstupuji do táhlé chodby. Podle ozvěny bych hádal, že jsem v koupelně, ale proč ji mít právě ve sklepě? Když v tom svist a ležím na zemi, bolí mě celá záda, narazil jsem si pánev a škaredě se odřel na pravé ruce. Vytáhl jsem z kapsy zapalovač a trochu si posvítil...
Úloha č. 5
Na podlaze byla rozlita voda, čímž se dlaždičky staly téměř vražednou zbraní. Chodba je vydlaždičkována čtvercovými dlaždičkami. Menší jsou černé o hraně 10 palců, vetší jsou bílé o hraně 15 palců. Na obrázku je zakreslen výřez toho, jak byly uspořádány. Můj skluz měřil rovných 100 palců. Kolik černých dlaždiček jsem svou trajektorií minimálně protnul? Kolik jsem jich mohl maximálně protnout? Předpokládejme, že trajektorie tohoto mého bolestivého uklouznutí byla částí přímky a že chodba je dostatečně široká.
Jsem špinavější než četa havířů po šichtě, bloumám podzemím odřen do krve, už ani nevím, kolikáté dveře otevírám s namířenou pistolí proti možnému nebezpečí. Když tu jsem náhle natrefil na pevné okované dveře s mřížovým okénkem. Tak jsem si posvítil dovnitř.
„No to mě podržte, jste to vy, pane Heydo?“
On si tam sedí unesený pan architekt a vyděšeně na mě hledí.
„Konečně záchrana“
S úlevou slyším unavený hlas pana Heydy. Ale dveře jistí tři zámky označené písmeny A, B a C. „Neradujte se předčasně, musíme se odsud nejdřív dostat“
Úloha č. 6
Naštěstí architekt Heyda odpozoroval od svých věznitelů několik omezení, která nám snad brzy pomohou zámky rozkódovat. Chápeme-li kódy jako celá čísla od nuly po 9999, pak kód zámku C je třikrát větší než kód zámku A, zatímco kód zámku B je jen o dva menší než kód zámku A. Číselná kombinace B je dělitelná pěti, a pokud bychom přičetli ke kódu B pětku, bylo by toto číslo dělitelné sedmi. Kolik je takových trojic kódů A, B, C?
Chvíli jsem na zámcích zkoušel různé kombinace, ale žádný z nich se mi nepodařilo otevřít. Zevnitř se na mě sypaly rady pana Heydy, ale ani ty nepomohly. Nakonec mi praskly nervy, vytáhl jsem pistoli. Po třetím výstřelu zámky povolily a cesta do cely byla volná.
Před námi leží nevraživá tma, sunu se píď po pídi, za sebou slyším dech pana Heydy, snažíme se najít východ. Jak dlouho můžeme přežít, jestliže nenajdeme východ? Bez vody možná den. Touha po svobodě nás žene vpřed. Tady zkusím zahnout doleva a...
„Stůj“
Světlo baterky mě úplně zbavilo zraku. „Děkuj bohu, že jsem nezmáčkl spoušť“ volám za hlasem svého parťáka. Jsem rád, že je živ a zdráv, ač se Danny válí smíchy nad mou kominickou vizáží.
Zanedlouho se všechno objasnilo, Dannymu pomohla jeho mohutná postava k tomu, že nespadl do té jámy lvové za mnou. Zajal Hokynáře, zavolal posily a hned se dal do výslechu. Hokynář prý zpočátku celkem odolával, ale pak se Danny naoko rozzlobil a začal rozbíjet věci kolem sebe, až když zničil dva sádrové modely dvanáctistěnů, začal Hokynář spolupracovat...
Úloha č. 7
Lze obarvit pravidelný dvanáctistěn třemi barvami tak, aby každá stěna měla jen jednu barvu a žádné dvě stejnobarevné stěny neměly společnou hranu?
Poznámka: Stěny pravidelného dvanáctistěnu jsou pravidelné pětiúhelníky.
„Inu pomatenci mají rádi pravidelné geometrické tvary,“ uzavřel Danny své vyprávění, ale netušil, co přinese další vyšetřování.
