Zadání 3. série 21. ročníku
Termín odeslání: 16. ledna 2006
Adresa: Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8
Zadání je k dispozici také ve formátu pdf.
Kapitola třetí
Kouřím dýmku již přes pět let, ale ještě se mi nestalo, abych ústy rozdrtil její násadku. To se mi podařilo, když se mi dostala do rukou odpolední pošta. Připadal jsem si jako nějaké zuřivé nemehlo, plivaje kousky dřeva vonícího tabákem. Otevřel jsem totiž zdobenou šedivou obálku s mou adresou a četl, že můj dobrý zákazník, známý továrník blízkých závodů, zemřel. Vstal jsem od stolu a začal nervózně přecházet po pokoji.
„Měl už léta, ale že nás opustí tak nečekaně?“ přemítal jsem v duchu. „A jaký měl vkus“ vytanulo mi na jazyk. Vlastně se mu líbilo všechno, co jsem vyprojektoval, stále říkal, ať předvedu, co všechno ve mně vězí, a já byl náramně spokojen. Před čtvrt rokem jsme slavnostně dokončili poslední úpravy uvnitř domu. Potom jsme se rozloučili, za výbuchu šampaňského, vždyť se slavil Nový rok, a od té doby jsem pro pana továrníka nestrávil u rýsovacího prkna ani minutu. Opřel jsem se do křesla a snažil se odhadnout, kolik času jsem jeho sídlu věnoval.
Úloha č. 1
Tak například u šikmé střechy zahradního altánu mi dalo opravdu zabrat spočítat její plochu, abych mohl určit, jestli ji tři mramorové sloupy udrží. Střecha má tvar průniku dvou kruhů opsaných nad stranami trojúhelníku ABC o stranách |AB| = 2 m, |BC| = 4 m a |AC| = 2\sqrt{3} m, přičemž průměr prvního kruhu tvoří strana AB a druhý kruh má průměr BC. Určete obsah průniku jmenovaných kruhů.
Takových příkladů můžu jmenovat desítky. Ale zpět k mému návalu úžasu, který dokázal rozdrtit jednu z mých kvalitních kuřáckých pomůcek. Četl jsem smuteční oznámení s neobvyklým epitafem zemřelého:
Skřivanem jsi a letíš, rozhlížíš se\cr Mraky v rozbřesku kvetou\cr
Ostříží zrak, ten neprorazí ti \heartsuit\cr tlukoucí po svobodném žití\cr
Výstřel doutnaje jen na rozsudek čeká\cr Pomalu mozek přijímá smrt\cr
Úloha č. 2
Vyřešte sudoku na základě epitafu.
Nechápu, že někdo může nechat vytisknout takové morbidní parte. Ale mnohem více mě překvapil přiložený dopis psaný Kristýnou, ve kterém mě co nejsrdečněji zvala na smuteční obřad. Nenávidím pohřby, nejsem věřící a sám si pohřeb nepřeji. Nechci, aby se na mém pohřbu sjeli příbuzní zaplakat nad černou rakví, když za mého života by se nikdy nedokázali sejít a poveselit. Říkal jsem si: „Ne, nepůjdu tam,“ ale měl bych projevit úctu k váženému muži, také nechci zarmoutit Kristýnu. V jejím dopise jsem se také dočetl o podivných okolnostech kolem smrti pana továrníka. Bylo toho na mne moc a šel jsem brzy spát. Té noci se mi zdál ukrutný sen. Byl jsem uzavřen ve skleněné krychli a ten, o jehož smrti jsem se dozvěděl, jí házel namísto štěstěny, až se mi z toho hlava zamotala, a já se probudil malátný a nesvůj...
Úloha č. 3
Je dána krychle ABCDEFGH o hraně délky 2 metry. Kolmice na tělesovou úhlopříčku AG, která prochází bodem B, protne stěnu ADHE v bodě J. Spočtete obvod a obsah trojúhelníku BGJ.
Nastal den pohřbu. Oblékám se do černého obleku, nechávám si přistavit automobil, připravuji se k odjezdu. Můj sluha a šofér v jedné osobě, Richard, vchází do místnosti a podává mi zapečetěnou obálku, řka: „Tento dopis právě přinesl pošťák jako expres rekomando, pane Heydo.“
Došel jsem chvatně ke stolu, perořízkem psaní otevřel a čtu: Uděláte velmi dobře, když se pohřbu, na který jste zván, nezúčastníte! Váš dobrý Přítel.
Dočítám a zvolna klesám do křesla. „Co si o tom mám myslet? Nejsem zvyklý na výhrůžné dopisy“ křičím bezmocně na sluhu.
Ten na mě vyjeveně hledí. Dávám mu rezignovaně psaní přečíst. Pak ho žádám o radu. Jsem bojácný jako nikdy předtím. Richard mě utěšuje a nakonec se s pevným odhodláním přeci jen zvedám a odcházím k automobilu, který mě zanedlouho odváží k urnovému háji.
Úloha č. 4
Vozidla jsou u nás označována třemi písmeny okresu a čtyřciferným číslem, tedy čísly od 1000 do 9999. Automobil, který mě vezl, má stejný součet první a čtvrté cifry jako součet druhé a třetí cifry. Kolik takových čtyřciferných přirozených čísel existuje? Kolik z nich je dělitelných jedenácti?
Už půl kilometru od obřadní síně jsme projížděli kolem davu dělníků. Ptal jsem se svého svědomí, zda ty obyčejné lidi, ty chudáky vábí k účasti zvědavost, zbožnost, nebo jim v závodě prostě jen účast přikázali. Určitě svého nejvyššího šéfa příliš neoslavovali. Sledoval jsem skrz zadní kouřová skla vozidla to lidské mraveniště, až Richard zabrzdil před branou hřbitova lemovaného po obvodu strážníky, kteří dbali o veřejný pořádek. Vystoupil jsem z automobilu. Ihned se mne ujala Marie, nebožtíkova služebná, a jala se mne uvést na místo v třetí řadě obřadní síně.
Teprve nyní si uvědomuji, kdo sem přišel. V první řadě je posazena vesměs smetánka bohatých podnikatelů, továrníků a veřejných činitelů, zahlédl jsem dokonce senátora sedícího vedle starosty. V druhé řadě sedí hlavně představenstvo a výše postavení zaměstnanci podniku. Ale žádný příbuzný se nedostavil. Asi jich pan továrník neměl mnoho, nebo jsou z daleka a nemohli se obřadu účastnit. Možná, že na můj pohřeb by nepřišlo příbuzných o mnoho více...
Úloha č. 5
Dopočítal jsem se jistého počtu lidí, které považuji za své blízké. Kdybyste chtěli druhou mocninu tohoto počtu dělit sedmičkou, dostali byste jako zbytek jedničku. Stejný zbytek obdržíte po jejím dělení čtyřkou. Avšak po dělení kvadrátu tohoto počtu pětkou zůstane zbytek čtyři. Jaký je nejmenší takovýto počet osob?
Černě oděný řečník již zahájil svůj plamenný a nekonečný proslov, ve kterém opěvoval prošlý život zesnulého. Vychválil ho a zidealizoval, až mi málem vtrhly slzy do očí.
Konečně korunoval řeč slovy: „Snad se najde nový, stejně dobrý pán, který bude spravovat zanechaný majetek v úctě k tomu, s kterým se dnes loučíme...“
Celá síň povstala a šestice mužů pozvedla rakev, čímž začala formovat čelo průvodu. Zástup plynul celým hřbitovem až k vyhloubenému hrobu. Těžce se spouští schránka s tělem do země, mužům se napínají svaly v posvátném tichu. A pak dobrý zvyk si žádá vhodit hroudu hlíny. Také jsem se dostal na řadu. Žmoulám mezi prsty zeminu. Natahuji ruku a otevírám hrst. Slyším, jak se dřevitě rozezvučuje dopad prachu na víko rakve. Jako první vrstva ranní mlhy odděluje hory od údolí, tak půda přikrývá to, co již nespatří světlo světa.
Opodál stojí dvojice ramenatých chlapů v stejnokroji funebráků opírajíc se o lopaty. Zahlédl jsem, jak jeden druhému nenápadně podává láhev zpola plnou hnědavého truňku. Dá jim velkou námahu zahrabat jámu, pokud se budou ještě dlouho takto posilovat.
Úloha č. 6
Hrobař včera hloubil hrob. Nejprve pracoval dvě hodiny s malou lopatou, potom používal pět hodin velkou lopatu. Za včerejšek vykopal 35,5 kolečka země. Dnes začal kopat s velkou lopatou, ale po sedmi hodinách se unavil, odpočíval půl hodiny a dál dělal s malou lopatou dvě hodiny. Dnes vykopal 46,5 kolečka půdy. Kolik koleček hrobař vykope, když pracuje hodinu s velkou a pak hodinu s malou lopatou?
Postupně se všichni vystřídali v symbolickém zahazování hrobu, ale není komu projevit upřímnou soustrast, pročež každý prohodil jen pár slov k těm, které znal. A průvod posléze po skupinkách mizí v přistavovaných automobilech, aniž by se konala společná smuteční hostina. Jak ubývá tváří okolo pomníku, dávám se do řeči s náměstky Svítkem a Weynesem, ptám se jich, zda neví, co se stane s pozůstalostí pana továrníka, ale ani oni o tom nejsou informováni.
Úloha č. 7
Kamenný pomník čnící nad dosud nezasypaným hrobem má tvar trojúhelníku ABC, v němž známe výšku na stranu AB a velikost strany AB. Dále pro patu P výšky na stranu BC platí: |CP| = 3|BP|. Sestrojte trojúhelník ABC, jestliže |AB| = 10 cm, v_{c} = 6 cm. Napište popis konstrukce.
Jsem nakonec rád, že jsem byl svědkem tohoto aktu, který proběhl bez sebemenší nehody, a začínám si myslet, že má obava po obdržení anonymní výhrůžky byla lichá. Nastupuji do svého auta pln dojmů ze zcela prvního pohřbu v mém životě.
Ale mé auto neřídí Richard. Sedí vedle mě spoutaný s roubíkem v ústech. Podobně je naloženo i se mnou, neb nejsem schopen ubránit se dvěma hrubiánům, a tak v mžiku mohu jen sledovat Richardovy smutné oči a interiér vozidla unášejícího nás neznámo kam...
