Řešení je k dispozici také ve formátu pdf.

Úloha č. 1

Při řešení úlohy dělalo velký problém uvědomit si dvě skutečnosti:

Když je v zadání matematické úlohy napsáno, že dva geometrické útvary jsou podobné, pak se tím opravdu myslí podobnost v matematickém smyslu. Znamená to, že délky hran „vnějšího pláště“ konvice (tedy to, co je vidět z vnějšku) a délky hran „vnitřního pláště“ konvice (tedy toho, co je vidět při pohledu dovnitř konvice) jsou v nějakém poměru. Tento poměr spočteme níže.

Někteří z vás vycházeli z toho, že stěny konvice jsou všude stejně tlusté. Podívejme se na obrázek: Konvice je nakreslena tak, že její vnější hrany značí tečkované čáry, její vnitřní hrany jsou vyznačeny plnou a přerušovanou čarou a dno jejího vnitřku (jehož obsah máme spočítat) je vybarveno šedě.

Z obrázku je patrné, že spodek konvice je podstatně tlustší než boční stěny konvice.

Začněme se samotným výpočtem: Nejprve pomocí Pythagorovy věty spočítáme délky výšek komolých jehlanů, ze kterých se vnějšek konvice skládá. Použijeme menší jehlany se čtvercovou podstavou uříznuté z komolých jehlanů pomocí rovin kolmých na jejich podstavy, jak je zakresleno na obrázku níže. Hrana GE, respektive HF, je kolmá na roviny podstav.

Délku výšky EG vrchního jehlanu spočteme pomocí délek hran B'G a B'E:

a

Při výpočtu jsme využili jsme toho, že jehlánek AB'GD'E má čtvercovou podstavu a lichoběžník ABCE je rovnorammenný. Proto

Pomocí stejného postupu použitého na spodní komolý jehlan a z něho vyřízlý jehlánek AB''HD''F lze spočítat délku výšky tohoto komolého jehlanu jako |FH|=14 cm.

Nyní vypočítáme objem sjednocení komolých jehlanů tvořících vnějšek konvice podle vzorce pro objem komolého jehlanu:

Použijme podobnost vnějšího a vnitřního povrchu konvice: Délky odpovídajících hran vnitřku a vnějšku jsou v určitém poměru, označme ho k. Proto povrchy a objemy vnitřku a vnějšku jsou v poměru k^{2} a k^{3}. Toto tvrzení platí obecně, v našem případě se o něm můžeme přesvědčit dosazením do vzorce pro povrch a objem komolého jehlanu. Do konvice se vejde 2,9 l = 2900 cm^{3}, tudíž

Dostáváme, že obsah vnitřního dna je

Komentář: Strhával jsem body hlavně za numerické chyby a za obcházení podobnosti, ve výsledku velmi nepřesné. Pokud jste provedli alespoň nějaké podstatné výpočty, dostali jste 2 body.

Úloha č. 2

Každá karta má 4 vlastnosti: druh symbolu, jeho barvu, počet symbolů a způsob výplně. Každá z těchto vlastností nabývá právě třech různých hodnot. Počet všech karet je tedy 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81.

Ze zbylých čtyř otázek v zadání vyřešíme pouze jednu, odpověď na ostatní tři bude stejná. Budeme počítat, kolik trojic je možné poskládat tak, aby všechny karty v trojici měly stejnou barvu. Karet jedné barvy, např. zelené, je celkem 27. Vybíráme-li trojice, první kartu můžeme vybrat 27 způsoby, druhou vybíráme už jen z 26 karet a třetí z 25 karet. Počet uspořádaných trojic je proto 27 \cdot 26 \cdot 25 = 17 550. Ale pokud takto poskládáme trojici karet ABC, můžeme poskládat i trojici BAC apod. Každou trojici zelené barvy jsme tak počítali šestkrát (počet způsobů, jak uspořádat trojici), ale barvy jsou celkem tři. Takže počet všech trojic je 3 \cdot 17 550 \over 6 = 17 550 \over 2 = 8775.

Komentář: Pokud jste spočítali správně počet karet v balíčku, dostali jste dva body. Jeden bod jsem strhávala, pokud jste si neuvědomili, že trojice karet mohou mít tři různé barvy.

Úloha č. 3

Nejprve si všimneme, že se dlabací rychlosti všech křečků po 2 minutách ustálí a od třetí minuty budou všichni jíst stejně rychle. Nyní vyřešíme, jak to vypadalo v prvních dvou minutách. V první minutě Michal snědl 4 zrna za 4\over6 minuty a pak po zbytek minuty (tj. 20s) jedl rychlostí 5,5 ks za minutu a snědl 5,5 \cdot 1\over3 \doteq 1,83 zrna, stihl si tedy vzít celkem 6 ks. Olda snědl 3 zrna za 3\over4 minuty, za zbylých 15s snědl 3 \cdot 1\over4 = 0,75, to znamená, že si vzal celkem 4 zrna. Myš snědla 2 zrna. Ostatní jedli v první minutě podle zadání. Celkem si křečci vzali za první minutu 5+6+6+4+3+2=26 zrn.

Druhou minutu Michal dojídal zrno z předchozí minuty po čas $2\over5,5

• 1\over3 min \doteq 1,81s$, za zbylý čas si stihl vzít ještě 6 zrn. Olda dojídal zrno 1\over3 - 1\over4 = 1\over12 min = 5s a pak už si vzal normálně 3 kusy. Myš si stále vzala jen 2 zrna. Celkově si křečci vzali v druhé minutě 6+6+5+3+3+2=25 zrn.

Za první dvě minuty si celkově vzali 51 zrn. V teráriu tedy zbylo 948 zrn.

Za další dvě minuty snědli $2\cdot5 + 2\cdot6 + 2\cdot5,5 + 2\cdot3 + 2\cdot3 + 2\cdot4 = 53$ zrn. Provedeme nyní odhad, jak dlouho ještě budou jíst : 948 \over 53 \doteq 17,9 dvouminut. Odtud je vidět, že zrna budou dojedena v 38. minutě. Na začátku 37. minuty zbývá ještě 999-51-17\cdot53 = 47 zrn. Protože 37. minuta bude vypadat jako 3. minuta, vezme si Michal jen 5 zrn (v druhé minutě si vzal 6) a ostatní jí jako normálně, rozebere se celkem 26 zrn. Do 38. minuty zbývá 21 zrn. Tato minuta bude vypadat až na tempo Myši stejně jako minuta druhá, proto si berou křečci v tomto pořadí a přibližně tyto časy: 37:00 Eva, Gimli, Kája, Myš, 37:02 Michal, 37:05 Olda, 37:10 Gimli, 37:12 Eva, 37:13 Michal, 37:15 Myš, 37:20 Gimli, Kája, 37:23,6 Michal, 37:24 Eva, 37:25 Olda, 37:30 Gimli, Myš, 37:35 Michal, 37:36 Eva, 37:40 Gimli, Kája. Tady je vidět, že poslední dvě zrna si vezmou zároveň Gimli a Kája v čase 37:40 od nasypání zrn.

Komentář: Hodně z vás si myslelo, že když vydělíte počet zrn rychlostí za minutu, tak dostanete čas snězení zrna. Tato úvaha by byla správná, pokud by si křečci brali zrna rovnoměrně (např. každých 5s někdo), ale to nedělají.

Úloha č. 4

Řešení této úlohy se výrazně liší podle výkladu jednoho detailu v zadání, proto uvedu dvě možná řešení. Nejdříve si tedy položme otázku: mohou existovat dvě slepé ulice vedoucí do jednoho bodu? Polovina řešitelů se tímto problémem vůbec nezabývala a brala jako samozřejmost, že takové ulice existovat mohou. Druhá polovina řešitelů však tvrdila, že pokud dvě ulice směřují do jednoho bodu, pak v tom bodě musí nutně být křižovatka, ze které podle zadání musí vést ještě další dvě ulice. Nejprve uvedu řešení pro tuto druhou možnost.

Pokud v místě, do kterého vedou dvě ulice, musí být křižovatka a zároveň se na každé křižovatce setkávají čtyři na sebe kolmé ulice, pak musí mít síť ulic tvar obdélníku (čtverec je zvláštním případem obdélníku). (Pod pojmem tvar sítě ulic budeme rozumět tvar ohraničený křižovatkami, bez přečnívajících ulic.) Načrtneme-li síť ulic jiného tvaru, zjistíme, že v ní jsou místa, kde dvě ulice vedou do jednoho bodu, ale přitom v tomto bodě není křižovatka. Když tyto „chybějící křižovatky“ přikreslíme, získáme tvar obdélníku. Zbývá nám zjistit minimální rozměry tohoto obdélníku. Víme, že si hlavní postava poprvé volí směr přímo na křižovatce, na které svou pouť začíná (u Barnyho krčmy). Maximální vzdálenost, kterou může v daném směru ujít, je pro každý směr stejná, takže síť ulic bude mít tvar čtverce.

Když člověk při cestě od krčmy alespoň jednou kdekoli zahne, nebude na konci nikdy tak daleko od krčmy (vzdušnou čarou), jako když jde celou dobu rovně. Proto musí být čtverec alespoň tak velký, aby šlo od Barnyho krčmy vyjít na libovolnou stranu a jít stále rovně. To znamená, že na každou stranu od Barnyho krčmy musí být za sebou alespoň 15 křižovatek, tedy 16 ulic. Čtverec sítě ulic se tak skládá z 15+1+15=31 "hlavních tříd" o délce 16+16=32 ulic v jednom směru a přesně tolika stejně dlouhých tříd ve směru kolmém na tento směr. Celková délka sítě je tedy 2\cdot31\cdot32\cdot200 = 396 800 metrů, což je 396,8 kilometrů.

Druhý způsob řešení počítá s tím, že v místě, do kterého vedou dvě ulice, nemusí být křižovatka (a tyto dvě ulice jsou pak obě slepé). V takovém případě, abychom určili nejmenší rozlohu města, musíme zjistit, kam nejdále může hlavní postava od Barnyho krčmy dojít. Budeme proto uvažovat o všech takových trasách, na kterých odbočí nejvýše jedenkrát (mám na mysli odbočení ze směru, který si vybrala na první křižovatce). Kdyby odbočila vícekrát, pak se dostane někam, kam se mohla dostat i stejně dlouhou nebo kratší cestou. Kam až může dojít, zjistíme vzápětí. Nazvěme souvislý rovný úsek na sebe navazujících ulic třídou. Nazvěme třídy, na jejichž křižovatce leží Barnyho krčma, hlavními třídami a ostatní třídy vedlejšími třídami -- ty, které sousedí s hlavní třídou, nazveme „prvními vedlejšími třídami“, ty, které sousedí s „prvními“, nazveme „druhými“ atd. Pokud zahne nejvýše jednou, pak může na hlavní třídě dojít až 15 křižovatek daleko v původním směru. Na první vedlejší třídě už ale pouze 14 křižovatek, na druhé třináct atd. Síť ulic bude proto vypadat jako „čtverec postavený na jeden vrchol“ a bude tvořena z 2\cdot(2+4+6+\cdots+30+32+30+\cdots+6+4+2)=1024 ulic. Délka všech ulic dohromady bude tedy 1024\cdot0,2=204,8 kilometrů.

Komentář: Zadání šlo pochopit dvěma různými způsoby, a tak jsem za každé z obou správných řešení dával plný počet bodů. Strhával jsem jeden bod za závažnější numerickou chybu, dva body za špatné promyšlení toho, jak daleko lze z původní křižovatky dojít.

Úloha č. 5

První úskalí úlohy spočívalo v tom, že si mnozí neuvědomili, že čluny mohou vyplout z obou ostrovů, a tím podstatně ulehčit pošťákův život. Už proto, že kdyby tomu tak nebylo, určitě bychom vás na to v zadání upozornili. S plavbami z obou stran už většina z vás zvládla systém šesti člunů. Je založen na jednoduché fintě s předáváním vody druhého dne: Vyplují-li spolu dva plně naložené čluny, má na konci druhého dne plavby každý zásoby na další čtyři dny plavby. V tuto chvíli předá jeden druhému zásoby vody na dva dny a zbyde mu voda opět na dva dny, které mu právě zbývají nazpět k pevnině. Tím se může zachránit a nezahyne žízní na moři, jak by to někteří z vás s přehledem dopustili. Doplněný člun je tímto opět plně naložen a dopluje tak o dva dny dále, než kdyby vyplouval sám.

Zbytek systému (zobrazen je na prvním přiloženém grafu -- co čára, to dráha jednoho člunu, na vodorovné ose je den plavby a na svislé ose vzdálenost od prvního ostrova ve dnech plavby) tkvěl v tom, že z prvního ostrova vypluly dvě dvojice člunů, které provedly výše zmíněnou fintu. Pokračující čluny pluly ještě o dva dny dále, jeden doplnil druhý vodou na další dva dny a obrátil se zpět. Na místě vzdáleném dva dny plavby od prvního ostrova se střetl se záchranným člunem, který mu mezitím vyplul naproti. Člun, který byl takto vyexpedován s plnými zásobami až na čtvrtý den plavby od prvního ostrova, pokračuje dále. Zásob má dostatek až do desátého dne, kdy se setká se záchranným člunem z protějšího ostrova, který mu poskytne dostatek vody na dokončení cesty.

Takto postupovala většina z vás a málokdo se pozastavil nad tím, zda by bylo možné vymyslet úspornější řešení. Bylo.

Především si musíme uvědomit, že dny nejsou veslaři a na rozdíl od nich je lze docela dobře půlit a jinak dělit, nebojme se proto toho! Chceme-li použít pouhých pěti člunů (tedy méně než šest), budou muset z jednoho ostrova vyplout tři a z druhého dva čluny (lze samozřejmě vyzkoušet i čtyři a jeden, ale ztroskotáme na chybějící vodě na 2\over5 dne). Zde budeme muset naši fintu poněkud rozšířit, abychom s vodou vystačili: Vyplouvá-li z ostrova více člunů a my chceme, aby dopluly co nejdál, uspořádáme celou věc tak, aby jeden člun zásoboval ostatní co nejdelší dobu svou vodou, a až mu bude zbývat přesně jen na cestu zpět, se odpojil a vrátil. Pak začne se zásobováním další člun. Jak dlouho to tedy člun vydrží? Musí napájet celou dobu sebe a ostatní čluny a po stejnou dobu bude napájet pouze sebe cestou zpět. Pokud by tedy takto vyplouvalo například pět člunů, musí zásoby rozdělit na 1 (člun sám tam) + 4 (ostatní čluny tam) + 1 (člun sám zpět) stejných dílů. Výsledek je 6:6=1. Odvodíme z toho, že čluny jeden den poplují, pak je jeden doplní ze svých zásob na plný stav (5) a zbyde mu voda na jeden den návratu. Následující člun už musí vyšetřit vodu na dvojnásobnou vzdálenost návratu k ostrovu, zato ale napájí o člun méně - výsledek je stejný: 6:(1+3+2)=1. Poplují tedy zase jeden den a další člun ostatním doplní zásoby a vrátí se atd.

Nyní naši vypiplanou fintu použijeme na naše tři veslaře (osudy veslařů můžete opět sledovat na přiloženém grafu). Protože 6:(1+2+1)=1,5, doplní první člun po 1,5 dni ostatním zásoby (ty teď budou 4,5+1,5=6) a samotnému mu zbudou zásoby přesně na zpáteční cestu k pevnině (6-1,5-2\cdot1,5=1,5). Dál plují dva veslaři. Protože 6:(1+1+2)=1,5, po dalším 1,5 dni, tedy na konci třetího dne plavby od ostrova, se jeden odtrhne a vrátí zpět, když předtím předal prvnímu vodu na 1,5 dne cesty. Takto má zbývající veslař k disposici vodu na šest dnů, když už má tři dny cesty od ostrova za sebou. Může proto samostatně doplout až na konec devátého dne cesty od prvního a na tři dny cesty od druhého ostrova. Zde můžeme aplikovat jednoduše totéž, co jsme vymysleli při vyplutí, jenom naruby. Na konci devátého dne cesty se pošťák střetne s člunem z druhého ostrova, který má ještě zásobu na tři dny (6-3=3), a doplují společně o 1,5 dne (3:2=1,5) blíže k druhému ostrovu. Ve chvíli, kdy jim takto zbývá pouhých 1,5 dne cesty k cíli, se setkají s posledním pátým člunem, který už jim 1,5 dne pluje v ústrety a zbývají mu zásoby na 4,5 dne, což je přesně množství nutné pro tři veslaře na cestu k cíli.

Komentář: Pěti body bylo ohodnoceno poctivé řešení s pěti čluny tak, jak je vyvedeno výše. Mnozí z vás si všimli, že v řešení s šesti čluny lze jeden člun použít dvakrát za sebou a tím vytvořit „řešení s pěti čluny“, ale vzhledem k elegantnosti pravých pěti člunů a hrubosti „pěti“ člunů jsem na tyto drobné lsti nebral zřetel. Kdo se zaobíral nějakou minimalizací počtu člunů, musel dospět k tomu, že řešení se šesti („pěti“) čluny ideální není...

Autoři nějak nedokonalých řešení tedy obvykle dostali tři body. Ne všichni přišli na to, že lze posílat čluny z obou ostrovů. Ti, kteří si toto neuvědomili, obvykle napočítali osm člunů a vytvořili monstrózní mechanismus křižujících plavidel, až oči přecházely, leč ověřit vaše schopnosti letových dispečerů nebylo naším cílem. Ale už jen přílišná komplikovanost systému nebo kupříkladu přivážení nespotřebované vody zpět na souš ve vašich návrzích vám mělo být znamením, že cosi není v pořádku.

Dokazovat a široce zdůvodňovat postupy v této úloze by bylo velmi nesnadné, proto jsem toho po vás tentokrát nežádal. Striktně jsem chtěl pouze jakýsi základní ethos, a kdo tedy nechal jen tak pro jakýsi balíček zahynout lodníka na moři žízní, dostal rázem jediný bod.

Úloha č. 6

Počet schodů jedné otáčky označme n. Když se na schody jedné otáčky podíváme shora, uvidíme přibližně toto:

Vidíme, že obvodové oblouky všech n schodů jedné otáčky vyplní kružnici. Délka oblouku připadající na jednotlivý schod je

kde r je poloměr věže, tedy 1,5 metru. Nyní nás zajímá ještě výška jednotlivých schodů. Všechny jsou stejně vysoké a na výšku dvou metrů připadá n schodů. Výška jednoho schodu je proto 2\overn metrů. Tloušťku schodů pro jednoduchost zanedbáváme (uvažujeme tedy „plechové“ schody). Hledaný poměr výšky schodu a délky oblouku je

Při tomto výpočtu jsme využili předpokladu, že schody nad sebou jsou vzdáleny přesně dva metry. Ukazuje se, že je důležité si ujasnit, jak přesně chápeme, že člověk vysoký dva metry může po schodišti projít. Na ilustračním obrázku, kde je náš dvoumetrový člověk představován svislou čárou, vidíme, že pokud nechceme, aby musel ohýbat hlavu, vzdálenost mezi schody musí být větší než dva metry, protože jinak by se při výstupu na následující schod praštil do hlavy.

Potřebujeme, aby dva metry byla vzdálenost nikoli mezi schody, které jsou nad sebou, ale vzdálenost mezi rovinou schodu, na kterém dlouhán právě stojí, a rovinou schodu předcházejícímu schod přesně nad ním. Z této úvahy plyne, že na výšku dvou metrů připadá n-1 schodů (vzdálenost mezi schodem, na kterém začínáme, a schodem předcházejícím schod přesně nad námi má být dva metry). Pak výška jednoho schodu je 2\over(n-1) metrů a hledaný poměr na počtu schodů:

Je to více než výsledek 2:3\pi získaný výše. Abychom určili přesnou hodnotu, potřebovali bychom znát další údaj (např. výšku jednoho schodu), ze kterého bychom mohli spočítat n.

Poznamenejme ještě, že aby se dvoumetrový člověk cítil pohodlně, měla by vzdálenost mezi schody být ještě větší, aby „nedrhl hlavou o strop“. To znamená, že výška schodu i hledaný poměr budou ve skutečnosti ještě o něco větší.

Komentář: Někteří z vás místo kružnice uvažovali šroubovici. Jenže to není náš případ, kdyby schody vyplnily šroubovici, nebyly by vodorovné, ale šikmé. Body jsem strhávala většinou proto, že jste dostatečně nevysvětlili, co znamená, že dvoumetrový člověk „projde“. Podle toho se totiž pak lišila i řešení. Všechny uvedené způsoby řešení jsem uznávala, pokud byly řádně zdůvodněny.

Úloha č. 7

Víme, že někde na úsečce AB leží bod E, který je vrcholem rovnostranného trojúhelníku CDE. Je patrné, že výška tohoto trojúhelníku je zároveň výškou našeho lichoběžníku. Pomocí Pythagorovy věty spočítáme délku této výšky:

Známe-li výšku, můžeme spočítat obsah lichoběžníku podle vzorce

Nyní nám zbývá spočítat délky stran AD a BC. Představme si, že z bodu C spustíme kolmici na přímku AB a její patu nazveme X. Délky úseček AC a BC vyjádříme z pravoúhlých trojúhelníků ACX a BCX:

Označíme symbolem x číselnou hodnotu délky úsečky BX (se záporným znaménkem, pokud bod X leží napravo od bodu B). Pak $|AX| = (60-x) cm$. Délku úsečky CX známe, je to délka výšky lichoběžníku, kterou jsme už spočítali. Dále ze zadání víme, že |AC|=2|BC|. Dosadíme do této rovnice:

Dvojku na levé straně dáme pod odmocninu a tedy pod odmocninou budeme násobit čtyřmi:

Aby se levá strana rovnala pravé, musí se rovnat výrazy pod odmocninou:

Dosadíme číselné hodnoty:

Je vidět, že levá strana se bude rovnat nule, když se bude rovnat nule x nebo x+40, tj. x=-40.

Z tohoto výsledku vidíme, že buď bod X splývá s bodem B (pro x = 0), anebo by musel být o 40 cm vpravo od bodu B. To by potom ale bod E (vrchol rovnostranného trojúhelníku nad stranou AD) ležel mimo úsečku AB, což je v rozporu se zadáním. V úvahu tak přichází jen možnost, že bod X splývá s bodem B. To znamená, že CX (výška) je táž úsečka jako BC a jedná se tedy o lichoběžník pravoúhlý. Jediná strana, u které neznáme její délku je nyní AD.

Výpočet délky strany AD již nebude složitý. Pokud z bodu D spustíme kolmici a patu označíme Y, je hned vidět, že |AY|=20 cm, protože lichoběžník je pravoúhlý. Opět použijeme Pythagorovu větu:

A tedy můžeme konečně spočítat obvod:

Komentář: Obsah lichoběžníku spočítala většina z vás a nebyly s tím nijak veliké problémy. S obvodem to již bylo trošičku horší. Mnoho z vás neodůvodnilo, že |BX| se nemůže rovnat 40 cm. Za to jsem strhávala jeden bod. Dále se objevilo mnoho chyb ve výpočtech a jednoduchých věcech, jako jak vypadá lichoběžník. Všichni, kdo jste chybovali, zkuste být pozornější, protože myšlenky jste většinou měli správné, ale je ještě potřeba je správně uplatnit.

Opravovali: 1. Karel Pazourek, 2. Lenka Burešová, 3. Eva Černohorská, 4. Jan Konopásek, 5. Pavel Houdek, 6. Lenka Blažková, 7. Kateřina Dobiášová.