Řešení je k dispozici také ve formátu pdf.

Úloha č. 1

Služebná Marie má k dispozici celkem tři nádoby -- velkou konvici o objemu 1,2 l, malou o objemu 0,7 l a ještě hrnek, do kterého se vejde 0,5 l. Na začátku máme ve velké konvici 1,2 l čaje a naším cílem je rozdělit ho na dvě stejné části, tedy mít 0,6 l čaje ve velké konvici a stejný objem v konvici malé. Na nádobách nemáme žádné stupnice na měření objemu a tedy jediná možnost, jak odměřovat přesně nějaké objemy, je určitou nádobu úplně naplnit nebo naopak vyprázdnit ji do jiné.

Jako první krok má Marie dvě možnosti přelití: Buď naplní malou konvici, nebo nalije čaj do hrnku. Obě možnosti zaznamenáme jako na obrázku -- trojice čísel v závorce znamenají postupně objem čaje ve velké konvici, v malé konvici a v hrnku, hodnoty jsou v decilitrech. Pak pokračujeme dalším krokem. V něm opět zvážíme všechna možná další přelévání a zapíšeme je. Abychom se neupsali, uvědomíme si, že nemusíme vypisovat všechny situace, ale jen ty, které nemáme v žádném z předchozích kroků. Posloupnosti kroků, které vycházejí ze dvou stejných situací, jsou totiž vždy stejné, a protože nás zajímá jen nejkratší řešení, stačí nám zkoumat vždycky jen první výskyt nějaké situace. Brzy zjistíme, že všech možností není nijak zvlášť mnoho -- jen tolik jako na našem obrázku.

V obrázku také hned vidíme dvě nejkratší z možných řešení. Nejlepší postup je pro Marii samozřejmě ten jedenáctikrokový.

Komentář: Většina řešitelů pochopila zadání správně a našla postup vedoucí k žádané situaci, tedy 0,6 l v každé z konvic. Ty, kteří našli řešení na jedenáct kroků, jsem ocenila plným počtem bodů. Delší postupy (nejčastěji to byly dvanáctikrokové) získávaly zpravidla po třech bodech. Další bodíky jsem strhávala za chybějící komentář nebo jiné chybičky. Největší pochvalu si zaslouží řešitelé (bylo jich celkem šest), kteří podobně jako my ukázali, že jejich řešení je opravdu nejkratší možné.

Úloha č. 2

Označíme výšku podstavce jako v=x, potom šířka s=x+8 a délka d=x+13.

Přirozené číslo, které vynásobíme trojkou, je dělitelné třemi. Číslo 3k je tedy číslo dělitelné třemi pro libovolné přirozené číslo k. Každé přirozené číslo je buď dělitelné třemi, nebo je o jedna, nebo o dva menší než nějaké číslo dělitelné třemi. Máme tedy jen tři možnosti, jak zvolit x.

  • x=3k: potom je výška dělitelná třemi.
  • x=3k-1: potom je délka d=x+13=3k-1+13=3k+12=3(k+4) dělitelná třemi (podíl je k+4)
  • x=3k-2: potom je šířka s=x+8=3k-2+8=3k+6=3(k+2) dělitelná třemi

Další možnosti už by se opakovaly. Pokud bychom například zvolili $x= 3k-3$, je to číslo dělitelné třemi, a proto pro něj platí totéž co pro x=3k.

Objem V podstavce (a tedy i počet krychlí v podstavci) je V = v \cdot s \cdot d. Ukázali jsme, že pro libovolné x bude délka alespoň jedné z hran dělitelná třemi. V součinu v \cdot s \cdot d je tedy vždy alespoň jedno číslo dělitelné třemi, a proto je i celý součin dělitelný třemi. Tedy i počet krychlí v podstavci je dělitelný třemi. Proto, když jednu krychli odebereme, dostaneme číslo, které třemi dělitelné není.

Komentář: Řešením úlohy mělo být vysvětlení, proč pro libovolnou výšku není objem zmenšený o 1 dělitelný třemi. Většina řešitelů ale jenom ukázala, že to pro některé výšky vychází, a že proto to musí vycházet pro libovolnou výšku. Taková řešení jsem hodnotil jedním nebo dvěma body. Ti, kteří se nepokusili ani o to, nedostali nic. Ostatní, kteří se nějak vypořádali s vysvětlením, dostali tři až pět bodů.

Úloha č. 3

Slovní zadání můžeme matematicky interpretovat takto:

S + 1\over2 O + 1 = 2005,

kde S je obsah a O obvod obdélníku. Dosadíme za S = ab, O = 2(a + b), tedy:

ab + a + b + 1 = 2005.

Z prvních dvou členů vytkneme a (pokud nevíš, co to znamená, zkus si závorku v následující rovnici roznásobit, a uvidíš, že ti vyjde přesně totéž, co v rovnici předchozí):

a(b + 1) + b + 1 = 2005.

Všimneme si, že výraz b + 1 se na levé straně opakuje dvakrát. Poslední rovnici si můžeme představit jako:

a(b + 1) + 1(b + 1) = 2005.

Výraz b + 1 můžeme opět vytknout (tomuto kroku se říká dvojí vytýkání; pokud nám někdo nevěří, nechť si zkusí následující vztah roznásobit a shledá, že je totožný se vztahem předchozím):

(b + 1)(a + 1) = 2005.

Na levé straně se vyskytuje součin dvou čísel, zkusíme rozložit číslo 2005 na prvočinitele a koukneme se, zdali nám to nějak pomůže. Jelikož 2005 = 5 \cdot 401 je součinem právě dvou čísel, je evidentní, že jsou to námi hledané délky stran zvětšené o jedna. Tedy:

b + 1 = 5, a+1 =401,
b = 4, a =400.

Ještě je možný součin 1 \cdot 2005, avšak pro ten je délka jedné strany nulová, tudíž se nejedná o obdélník.

Takže délky stran obdélníkové součástky jsou 4 a 400.

Komentář: Řešitelé se dají rozdělit do dvou velkých skupin. První postupovala obdobně jako my, druhá nepřišla na prvočíselný rozklad, a tak řešení jen tipovala. Nic proti tomu, občas je to dobrá metoda, aspoň pro začátek, avšak většina z vás skončila hned poté, co našla řešení, a už se dál nezabývala tím, je-li jediné. Pochybuji totiž, že někdo zkoušel naprosto všechny možnosti. Pokud jste si však možné hodnoty omezili a zkoušeli jen určitý počet (např. 40), beru, avšak je velmi podezřelé, když hned prvním tipem trefíte správný výsledek. A to nemluvě o případech, kdy bez jakéhokoli komentáře dosadíte do rovnice 4 a zároveň i 400.

Úloha č. 4

Nejprve zjistíme, jestli z průhledné koule něco nevyčnívá ven -- modrá krychle to určitě nebude, má polovinu tělesové úhlopříčky (z Pythagorovy věty) délky 5\sqrt{3}\over2_cm(), což je méně než 6 cm. Ve vrcholech krychle jsou opsány koule o průměru 2,5 cm, tj. poloměru r_{m} = 1,25 cm. Tedy nejvzdálenější body rudých koulí jsou od středu vzdáleny 5\sqrt{3}\over2_cm() + 1,25 cm, což je stále menší než 6 cm. Tedy víme, že z průhledné koule nic nevyčnívá.

Objem průhledné koule je

V_{1} = 4\over3 \pi r^{3} = 4\over3 \cdot \pi \cdot 6^{3} cm^{3}

(vzorec pro objem koule). Zjistíme, kolik zabírá barevná část, a zbytek koule bude průhledný. Barevná je modrá krychle, ta má objem V_{2} = a^{3} = 5^{3} cm^{3}. Další barevné sklo jsou rudé koule opsané z vrcholů krychle. Musíme si ale nyní uvědomit, že části koulí jsou v krychli, tedy už je nesmíme započítat podruhé. Každá rudá koule má dvě polokoule -- ta první je celá vně krychle a ta druhá je částí uvnitř krychle -- ta část je čtvrtina (to je vidět například z pohledu shora). Celkově je uvnitř koule čtvrtina z polokoule, tedy osmina každé rudé koule. Jelikož má krychle osm vrcholů, je ve velké průhledné kouli osm rudých koulí o celkovém objemu

V_{3} = 8 \cdot 7\over8 \cdot 4\over3_cdot() \pi\cdot r_{m}^{3}.

Objem průhledné části je tedy V = V_{1} - V_{2} - V_{3} \doteq 722,5 cm^{3}. Kolik je to procent, zjistíme jednoduše:

V\overV_{1} \cdot 100\% \doteq 80\%.

Průhledná část těžítka tvoří asi 722,5 cm^{3}, což je asi 80\%.

Komentář: Většina řešitelů měla správný výsledek. Nejčastější chyby byly, že jste si popletli poloměr a průměr, že jste špatně určili, jakou částí je rudá koule v krychli, a že jste měli špatně vzorec na výpočet objemu koule.

Úloha č. 5

Nejprve si uvědomíme, že osmistěn musí vypadat jako na prvním obrázku.

Na plánu mají společnou hranu s prázdným polem písmena A, D, C, F a G. Pouze z nich se může osmistěn dokutálet na prázdná políčka plánu. Očíslujme prázdná políčka jako na druhém obrázku.

Máme dvě skupiny prázdných polí, začneme tou jednodušší, která obsahuje pole 1 a 2. Máme tři možnosti:

  • Osmistěn se do obou polí dokutálí z A, potom 1 odpovídá D a 2 odpovídá C.
  • Osmistěn se do obou polí dokutálí z D, potom 1 odpovídá B a 2 odpovídá A.
  • Nebo se na pole s 1 dostane z A, pak se vrátí a na pole s 2 se dostane z D, tudíž na 1 bude písmeno D a na 2 písmeno A.

Jiná možnost už není.

Obdobně provedeme rozbor druhé skupiny:

  • Na všechna pole se osmistěn dostane z C (3 \rightarrow F, 4 \rightarrow E, 5 \rightarrow H, 6 \rightarrow A, 7 \rightarrow D).
  • Na všechna pole se osmistěn dostane z F (3 \rightarrow D, 4 \rightarrow C, 5 \rightarrow B, 6 \rightarrow G, 7 \rightarrow F).
  • Na všechna pole se osmistěn dostane z G (3 \rightarrow H, 4 \rightarrow G, 5 \rightarrow F, 6 \rightarrow C, 7 \rightarrow B).

Všechny tři možnosti se liší v každém doplněném poli. Nyní stačí tedy udělat ještě všechny jejich možné kombinace. Zkombinujeme C a G:

  • Čtyři pole z C, jedno z G.
  • Tři pole z C, dvě z G.
  • Dvě pole z C, tři z G.
  • Jedno pole z C, čtyři z G.

Zkombinujeme F a G:

  • Dvě pole z F (3 a 4), tři z G.
  • Tři pole z F, dvě z G.
  • Čtyři pole z F, jedno z G.

Zkombinujeme C a F:

  • Jedno pole z C (3), čtyři z F.

Kombinace všech tří přístupových polí:

  • Jedno pole z C (na více nejde, odřízli bychom přístup z pole s písmenem F), jedno pole z F, tři pole z G.
  • Jedno pole z C, dvě z F, dvě z G.
  • Jedno pole z C, tři z F, jedno z G.

Dostáváme tedy tři možnosti v první skupině a 14 možností ve druhé. Protože doplnění plánu v první skupině můžeme provést nezávisle na tom, jak doplníme druhou skupinu, máme celkem 3\cdot14=42 možností. Na závěr ještě uvádíme všechny možnosti doplněné v jednom obrázku.

Komentář: Mnozí řešitelé tuto úlohu vůbec neposlali. Myslím si, že problémem bylo hlavně představit si, jak osmistěn vypadá, jak jsou na něm jednotlivá písmena umístěna, a pokud jste toto zvládli, ještě pořád nebylo lehké uvědomit si, jakým způsobem se pohybuje. V takovém případě doporučuji, abyste si vyrobili nějaký model osmistěnu, třeba z papíru. Pak se vám nestane, že písmena, která jsou natočena „ven“ z plánu, napíšete na nějaké z polí jako možné řešení. Dalším nedostatkem řešení často bylo, že když už jste model vyrobili, víceméně jste možnosti hledali náhodně, což způsobilo, že jste na nějaké zapomněli. Je potřeba, než vůbec začnete osmistěn po plánu „kutálet“, vymyslet nějaký systém, který žádnou možnost nevynechá. Jak jinak mi chcete zdůvodnit, že jiná řešení už nejsou? Těžko vám to budu věřit jen proto, že si to myslíte ...

Úloha č. 6

Představíme si hodiny se čtyřmi ručičkami, malou a velkou černou (které jdou správně) a malou a velkou červenou (které jdou jako v příběhu). Hodiny z příběhu ukazují správný čas, pokud se červené ručičky shodují s černými.

V šest hodin jsou obě velké ručičky na dvanáctce a obě malé na šestce.

Nejdříve budeme sledovat jen velké ručičky. Černá půjde rychlostí jeden oběh za hodinu, červená dvanáctkrát pomaleji. Poprvé se tedy setkají, až černá předběhne červenou o jedno kolo. Spočítáme, kdy přesně to bude. Po uplynutí t hodin bude červená ukazovat na t a černá nejdříve na 12t, a po oběhnutí ciferníku 12t-12. V okamžiku, kdy se setkají, bude tedy t=12t-12, po vyřešení rovnice máme t=12/11.

Nyní se podívejme, co se mezitím děje s malými ručičkami. Malá černá ručička jde stejně rychle jako velká červená. Navíc víme, že na začátku ukazovaly proti sobě. Z toho plyne, že budou ukazovat proti sobě vždy. Stejně tak malá červená bude vždy proti velké černé. Jakmile se tedy překryjí velké ručičky, musí se nutně překrýt i malé.

Shrnutím dostáváme, že červené hodiny z příběhu se poprvé setkají se správnými černými hodinami po uplynutí t=12/11 hodiny, což je zhruba v 7:05:27. Po dalších 12/11 hodin ukážou ručičky správně podruhé a tak dále, až pojedenácté po 11 \cdot 12/11 = 12 hodinách bude znova šest a celý cyklus se začne opakovat.

Komentář: Velká část řešitelů si zakreslila, co budou ručičky ukazovat po jedné hodině, po dvou a tak dále. Zjistili, že správný čas bude po dvanácti hodinách, ale nevyloučili, že by mohl být i dříve. Protože zadání se přímo neptalo, kdy bude správný čas poprvé, dával jsem za tato řešení dva body, i když je považuji za neuspokojivá.

Někteří řešitelé to, že když po uplynutí jedné hodiny ukazují ručičky jakoby o pět minut víc, zobecnili. Řekli, že ručičky ujdou pět minut za hodinu, a z toho odvodili, že po dvanácti hodinách bude na hodinách sedm. Chyba v této úvaze je v předpokladu, že pokud velká ručička ukazuje o pět minut víc, tak i malá se o kousíček posune. To však není pravda, malá bude příští celou hodinu ukazovat přesně dolů, a to i každou další celou.

Několik řešitelů prohlásilo, že hodiny ukazují správný čas, když se ručičky překrývají. Tomu by tak bylo tehdy, kdyby na začátku ukazovaly obě stejně; v našem případě však ne.

Jak si asi tři řešitelé povšimli, úlohu lze řešit i graficky.

Úloha č. 7

Do čtverce ABCD máme vepsat rovnostranný trojúhelník AKL. Vrchol A musí být totožný s vrcholem A čtverce, takže potřebujeme zjistit polohu zbylých dvou vrcholů. Jak je vidět, není K krajním bodem úsečky BC a podobně L není krajním bodem úsečky CD (měli bychom v rovnostranném trojúhelníku pravý úhel, anebo pokud by K=L=C, nebyl by AKL trojúhelník).

Z předešlého plyne, že \left(\angle ABK\right)=\left(\angle ADL\right)=90\deg. Protože AB a AD jsou strany čtverce, jsou stejně dlouhé. Aby byl trojúhelník AKL rovnostranný, musí určitě platit \left(AK\right)=\left(AL\right). Když si všechny tři předešlé podmínky dáme dohromady, vyplyne nám, že trojúhelníky ABK a ADL musí být shodné podle věty Ssu. Z toho plyne, že jsou příslušné úhly u vrcholu A stejně velké.

Úhel BAD je rozdělen polopřímkami AK a AL na tři části: úhly BAK, KAL a LAD. Aby byl trojúhelník AKL rovnostranný, musí být \left(\angle KAL\right)=60\deg. Zbylé dva úhly jsou stejně velké, a tudíž mají velikost

90\deg-60\deg \over 2 = 15\deg.

Body K a L máme těmito úhly jednoznačně určené. Zbývá vyřešit poslední problém: Je trojúhelník AKL skutečně rovnostranný? Protože v našem případě platí \left(AK\right)=\left(AL\right), je alespoň rovnoramenný. Víme, že u A je úhel 60\deg. Součet velikostí vnitřních úhlů trojúhelníku je 180\deg, a tak každý ze dvou zbylých úhlů u základny (kvůli rovnoramennosti nutně stejně velkých) bude mít velikost

180\deg-60\deg \over 2 = 60\deg.

Jak jsme zjistili, mají všechny úhly velikost 60\deg, a tudíž je trojúhelník AKL skutečně rovnostranný.

Můžeme tedy postupovat následovně:

  • polopřímka AE: \left(\angle CAE\right)=60\deg (E leží v polorovině ACB),
  • polopřímka AX: AX je osa úhlu CAE,
  • bod K: K \in \primka BC \cap \primka AX,
  • kružnice k: k\left(A,\left(AK\right)\right),
  • bod L: L \in \primka CD \cap k,
  • trojúhelník AKL.

K sestrojení trojúhelníku se má použít jen pravítko a kružítko. V postupu potřebujeme sestrojit úhel CAE o velikosti 60\deg. To není problém, protože to je každý vnitřní úhel rovnostranného trojúhelníku. K úsečce AC sestrojíme kružnice k_{1} a k_{2} tak, aby měly obě poloměr \left(AC\right) a k_{1} střed v bodě A a k_{2} v C. Průsečík kružnic označíme E. Protože je trojúhelník CAE rovnostranný, platí \left(\angle CAE\right)=60\deg.

Dále konstruujeme osu úhlu CAE. K tomu nám poslouží kružnice k_{3} se středem v bodě A a s libovolným poloměrem. Průsečíky kružnice k_{3}s polopřímkami AE a AC označíme Z_{1} a Z_{2}. Dále zkonstruujeme kružnice l_{1} a l_{2} se středy v bodech Z_{1} a Z_{2} a s libovolným poloměrem takovým, aby se protínaly. Průsečík těchto kružnic ležící v úhlu BAC označíme X. Polopřímka AX je osa úhlu CAE, a proto |\angle CAX| = 30\deg, což znamená, že |\angle BAX| = 15\deg.

Body K a L jsou velikostmi úhlů KAB a LAD určeny jednoznačně, a tak má náš příklad jediné řešení. Každému čtverci ABCD lze vepsat právě jeden rovnostranný trojúhelník AKL tak, aby K \in BC a L \in CD.

Komentář: Většina řešitelů správně zjistila, že úhly KAB a LAD musí mít velikost 15\deg, ale bylo to nutné dokázat. Dál bylo třeba zdůvodnit, že po splnění této podmínky je trojúhelník AKL skutečně rovnostranný. Pokud se v řešení neobjevil alespoň malý náznak jedné nebo druhé části důkazu, strhával jsem jeden bod. Úloha se měla podle zadání konstruovat pouze pravítkem (samozřejmě bez měřítka a rysky) a kružítkem. Nemalý počet lidí si dopomáhal úhloměrem, což jsem „odměňoval“ ztrátou dvou bodů. Asi pět lidí postupovalo obráceně, tedy opisovalo trojúhelníku čtverec. Nikdo z nich nezískal víc než dva body. Nulu jsem udělil těm, kteří měli ve svém řešení dva různé body A. Žádný bod neobdrželi ani ti, kteří pouze tipovali polohu bodů K a L. Nejčastěji špatně tipované body K a L byly ve čtvrtině BC a DC. Nesprávnost tohoto tipu se dá ověřit např. Pythagorovou větou.

Řešení každé konstrukční úlohy by mělo obsahovat rozbor, postup konstrukce, konstrukci, důkaz, diskusi řešitelnosti a případně i odpověď. Téměř nikdo neměl ve svém řešení všechny části úlohy. Tentokrát jsem za tento nedostatek body ještě neodečítal...

Je třeba ale také pochválit řešitele za mnohdy zajímavá a často velmi podrobná řešení. Šlo se například obejít bez půlení úhlů, na což se objevila dvě různá řešení.

Opravovali: 1. Lenka Studničná, 2. Michal Mašek, 3. Zuzana Safernová, 4. Eva Černohorská, 5. Lenka Blažková, 6. Petr Škovroň, 7. Vojtěch Novotný.