Zadání 6. série 20. ročníku
Termín odeslání: 27. června 2005
Adresa: Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8
Zadání je k dispozici také ve formátu pdf.
Zdát si o truhle a pětiúhelnících nechali zřejmě ostatní, já pořád ještě myslel na Choua a ženy, na koně umírající v poušti. Nemohl jsem se zbavit pocitu, že za to můžu, Otah si to určitě myslel taky, protože se mnou od té doby neztratil slovo.
Vzbudil jsem se ráno první a spolu s Lutzem, který měl hlídku, jsme uvařili čaj a upekli ječné placky z našich tenčících se zásob.
Úloha č. 1
Když jsme vyráželi, měli jsme s sebou 40 uncí ječné a 25 uncí pšeničné mouky. No a jak už to bývá, vařili jsme vždy z té, které bylo více. Každý den jsme spotřebovávali vždy mouku jednoho druhu. Bylo jí zhruba 4 unce plus desetina hmotnosti druhého pytle. Jenže vždycky, když vařil Lutze nebo Cen, tak ještě čtvrt unce rozsypali (to bylo dvakrát do týdne; pro bezvěrce: týden má šest dní). Jak dlouho jsme na cestě, jestliže nám do tří dnů dojde všechna mouka (dokonce i když Lutze s Cenem nebudou sypat okolo)? Předpokládejte, že Lutze a Cen vaří vždy první dva dny v týdnu a naše cesta začala první den v týdnu.
Ráno jinak proběhlo v poklidu a když slunce nakouklo do údolí, byli jsme už na cestě. Nalezli jsme brod a vystoupali z údolí na pláň, slunce pražilo a na obzoru se tetelil vzduch. Dnešek se mi vůbec nelíbil.
Po dvou hodinách jízdy se před námi objevilo srdce Velké Č. Před námi uprostřed prašné pláně se rozkládal palác na vodě. Pohled na monument mi na chvíli vyrazil dech. Vodní plocha měla tvar čtverce a vedla přes ni spleť drobných cestiček, místy byly vysázeny okrasné stromy a keře. K samotnému paláci vedla cesta nejširší. Palác byl z jediného kamene, který snad byl dříve horou. Do kamene byly vytesány stupínky až k vrcholu. Kámen se tyčil nad námi, a kdyby mohl, smál by se, jak jsme titěrní. Co bylo ale zvláštní, nikde nikdo.
„To se mi nezdá,“ prohlásil Cen a poškrábal se na hlavě. Lutze odpověděl jemným pokýváním hlavy. „Mrkni se na pergameny,“ radil Otah, „možná, že je to nějaký podvrh. Vůbec to nevypadá jako hlídané.“ „Vigi, neříkal jsi náhodou včera, že to tak jednoduché nebude? Možná, že není zakopané, ale nikoho tu nevidím,“ shrnul situaci ještě jednou Lutze. Vigi se na něj podíval a tvářil se kysele, neboť ho Lutze vyrušil při přemýšlení o strategii hry, kterou jsme právě hráli.
Úloha č. 2
Hra měla následující pravidla: jeden z nás si myslel číslo, teď zrovna Vigi hádal číslo mezi 2000 a 30000. Vždy mohl nějaké číslo tipnout a já jsem mu řekl, kolik prvočinitelů má stejných jako to, které jsem si myslel. Krom toho jsem mu u prvočinitelů, které jsem v rozkladu svého čísla neměl, ještě prozradil, jaký dostane zbytek, jestliže moje číslo tímto číslem vydělí. Měl moje číslo uhodnout na co nejméně pokusů. Jak nebo jaká čísla byste hádali vy, abyste uhodli moje číslo co nejrychleji?
Sesedli jsme a napínali zrak k monolitu.
Úloha č. 3
Před monolitem ve vodní zahradě seděli na stromech ptáci. Byli zvláštní, ostatně jako palác samotný, někteří stáli ve vodě a jako by si nás ani nevšimli. Ale o ptácích tahle úloha nebude. Bude o zahradě. Skrz zahradu vede k paláci 20 cestiček a jedna hlavní široká cesta. Nakreslete a popište alespoň jeden obrázek, jak mohla zahrada vypadat, jestliže bylo možné dostat se k paláci 144 způsoby?
Poznámka: Cestičky i hlavní cesta začínají na obvodu čtverce (vodní plochy) a vedou ke vchodu do paláce. Mezitím se různě kříží. Nalezněte alespoň jedno rozmístění křižovatek takové, že se k paláci mohu dostat 144 způsoby.
Na druhou stranu, co víc jsme si mohli přát. Kdyby tu čekala armáda, těžko bychom vůbec srdce Velké Č. zahlédli. Po asi hodině obcházení, kdy jsme neviděli, že by se jediný stromek zachvěl, jsme rozhodli, že vyšleme zvěda, který zjistí co a jak. Zvědem jsem měl být já.
Vzal jsem si koně a vyrazil klusem k monolitu, slunce právě začalo klesat na své dráze a můj stín sahal několik desítek metrů přede mě. Jakmile se dotkl vodní hladiny, pohnula se. Zastavil jsem koně a sesedl -- mohla to být ryba. Ryby ve vodě byly, a tak jsem předchozímu úkazu nevěnoval pozornost. Obezřetně jsem vyrazil po travnatých chodníčcích k monumentu. Občas mě šlehla nějaká větvička přes nohy, ale jinak jsem k paláci dorazil bez nejmenších potíží. Nic se ani nepohnulo. Několikrát jsem se rozhlédl kolem sebe, voda, tráva, ryby, ptáci a keře -- nic, co by mi chtělo ublížit. Vyrazil jsem po stupíncích na vrchol.
Úloha č. 4
Stěna, do které byly schody vytesány, byla téměř kolmá (rozhodně bych z ní nechtěl spadnout), popravdě řečeno svírala se zemí úhel 110\deg. Schodiště bylo dlouhé 500 metrů a vrcholek paláce byl 70 metrů nad zemí. Jak vysoké a jak dlouhé byly jednotlivé schody, jestliže jich bylo 256?
Poznámka: Zanedbejte šířku schodů a otočky na odpočívadlech.
Cesta šla až příliš snadno, tady by ale někdo měl být, nemůžou tady nechat nehlídané žluté srdce! Nebo ano? Vykoukl jsem ze schodů na horní plošinu, nikdo tu nebyl, uprostřed plošiny stál pouze altán a v něm truhla z červeného dubu. Chvilku jsem obcházel altán a hledal náznak nějaké pasti. Z vrcholu byl nádherný rozhled, na obzoru se táhla tmavá linie Velké zdi od východu na západ. Po pláni se však nic nepohybovalo. Zvláštní, vždyť před pár dny jsme se tam někde střetli s vojáky. Připadal jsem si jako v jiném světě, kde nejsou lidé. Altán byl pro mé oko bezpečný, a tak jsem opatrně vstoupil, připraven uskočit, kdyby se něco dělo. Zase nic. Oddychl jsem si a začal skládat pětiúhelníky na víku truhly. Chvilku jsem musel vzpomínat na Lutzeho popis, ale i poslední zapadl a víko se otevřelo.
Úloha č. 5
Jak jsem tak skládal, párkrát jsem se rozhlédl po altánu a zjistil, že je pravidelný trojboký. Inu zaváhal jsem a prohlédl si ještě střechu, protože střechy ve Velké Č. byly skutečným skvostem. Střecha byla složena ze tří jehlanů jakoby do sebe zasunutých. Překrývaly se jednou třetinou výšky spodního. Každý jehlan byl o jednu třetinu nižší než jehlan pod ním a taktéž jeho podstava by se vešla do kruhu s poloměrem o třetinu menším než podstava předchozího. Jaký objem byl takto zastřešen, jestliže spodní jehlan byl vysoký 1,2 metru a jeho podstava se vešla do kruhu o poloměru 3 metry?
Mohl jsem pohlédnout na náš cíl, na to, pro co jsme obětovali koně a možná i naše přátele, na cennost, díky které se celý svět změní. Mongolové budou vládnout světu. Žluté srdce vypadalo přesně tak, jak jsem si představoval, dokonale hladká žlutá koule o průměru asi 7 palců, leskla se a zároveň zářila svým vlastním světlem. „Fen by ho jistě dlouho zkoumal,“ pomyslel jsem si.
Uplynulo několik málo chvil, kdy jsem nemohl odtrhnout zrak od srdce, svět se zastavil a já, já se cítil tak titěrný oproti věci tak mocné. Ale nebyl čas, když tu nikdo není, tak zase rychle zmizíme, než si nás někdo všimne. Popadl jsem srdce a vyběhl z altánu, na vrcholu monolitu jsem ještě zamával smluvené znamení na ostatní a vrhl se ke schodům. Žluté srdce jsem svíral dvěma prsty a pospíchal dolů. Na obzoru se zvedl prach, vyvedlo mě to z míry a zavrávoral jsem, k patě monolitu zbývalo více než sto sáhů. Tak tak jsem nabyl ztracené rovnováhy a co nejrychleji pospíchal dolů. Z oblaku prachu se mezitím vyčlenili jezdci na koních a velkou rychlostí se blížili. Všechny síly jsem soustředil na schody a bral je po třech.
Úloha č. 6
Zvláštní bylo, že když jsem pospíchal nahoru a počítal schody (bylo jich 256), šel jsem mezi odpočívadly vždy trochu jinak. Mohl jsem jít vždy buď o jeden, dva nebo tři schody nahoru. Posloupnosti sestavené takto z jedniček, dvojek a trojek (podle toho, o kolik schodů jsem šel), byly pro každý úsek mezi odpočívadly různé. Kolik mohlo být maximálně na mé cestě vzhůru odpočívadel, jestliže jsem na každé vstoupil?
Poznámka: Schodiště se skládalo pouze z odpočívadel a schodů. Cesta, ze které jsem na schody vběhl, není odpočívadlo, stejně tak vrchol. Mezi odpočívadly je vždy stejný počet schodů.
Po několika odpočívadlech mi bylo jasné, že dole dřív než vojáci nebudu, a zrychlil jsem. Na několika posledních stupních se mi však zvrtla noha a já letěl vzduchem rovnou do jezera. Vzpomínám si ještě, jak na obzoru vyrážejí dva jezdci s dvaceti koňmi proti armádě Velké Č. Šípy vzlétly a povětřím se nesl ryk umírajících koní. Jezdci pokračovali dál. Já se vyhrabal z bahna, kterého tam naštěstí bylo více než vody, a po kolena ve vodě rychle vyrazil ke břehu, kde čekal můj kůň. Vojáci však jako by čekali, až vstoupím na břeh, a usednu na koně. Pak mě zasáhl šíp...
Úloha č. 7
Šíp byl dlouhý 30 palců a zabodl se mi do prsou (13 palců od oka). Jeho letky jsem viděl ze vzdálenosti 25 palců. Jak dlouhý bude vrhat stín, jestliže až padnu, bude směřovat na východ a akorát bude trčet z vody? Poznamenejme, že já na koni měl stín dlouhý 35 metrů a vysocí jsme oba dohromady dva a půl metru.
Před očima mi ve chvilce proběhl celý život. Od otrocké práce ve Velké Č., hledání koní, přes obchody a dopisy Fenovi, až po altán na vrcholu monumentu. Hlava se mi zvrátila a já sklouzl z koně mezi ryby. Dál už byla jen tma.
