Zadání 4. série 20. ročníku
Termín odeslání: 14. března 2005
Adresa: Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8
Zadání je k dispozici také ve formátu pdf.
Celou noc jsme mluvili o svých zážitcích a úspěších, namísto odpočinku a příprav na dlouhou cestu domů. Sám už jsem se spokojil s vidinou své jurty, kde není uklizeno, svého pštrosa, který ani nemá jméno, a samozřejmě jsem se těšil na Fena, ale úchvatné události z dnešního dne mi stále nešly z hlavy. Když už se noc začala tvářit jako den, padl jsem konečně únavou a usnul. Únavou, to bych trochu lhal; bylo to přemýšlením nad jednou událostí z dnešního rána. To jsme spěchali na tržiště, ale na jednom rohu jsem si všiml menšího hodně hlučného hloučku lidí. Hádali se nad kotlem plným papírků.
Úloha č. 1
V kotli je na začátku jeden papírek s číslem jedna a jeden s číslem nula. Do kotle lze přihodit papírek. Číslo na papírku, který se do kotle přihazuje, je určeno vždy tak, že z kotle vyjmeme několik papírků (tj. více než jeden), sečteme jejich označení a tento součet vydělíme počtem vytažených papírků. Pak použité papírky do kotle vrátíme.
Je možné tímto způsobem vložit do kotle 1\over5? A co 1\over12 nebo 5\over18?
Ani nevím, jak dlouho jsem spal, ale na tom koneckonců nezáleželo -- koně mají hlad ráno i večer. Konečně domů.
Lehko, jako vsednout na koně, se nám po dlouhé době vstávalo. Cesta sice neslibovala nic pěkného, jen poušť, několik dní bez čerstvé vody a možná i bandity, ale už jen ten pocit, sedět znovu na koni, mě povzbuzoval. Pobalili jsme své svršky, poděkovali hostinskému za slušné ubytování a jali se shánět naše slíbené koně. Den se blížil k poledni, když jsme konečně vyjeli za městský val a pocítili horký dech pouště.
Není zrovna zvykem cestovat přes den pouští, ale cíl byl daleko a všichni se už těšili domů. Dnes večer bychom se štěstím měli dorazit do oázy Kopyto.
Úloha č. 2
V oáze Kopyto je vody opravdu dostatek. Dokonce tam vybudovali síť kanálů, podobnou jako v Benátkách. Dvanáct kanálů má tvar kružnice a sedm tvar úsečky. V této síti jsou dvě hlavní přístaviště: přístaviště Uzda a přístaviště Martingal. Každý kruhový kanál prochází oběma těmito přístavišti. Každý kanál ve tvaru úsečky je kolmý na vzdušnou spojnici Uzdy s Martingalem. Kanály byly vybudovány tak, aby vznikl největší možný počet ostrovů. Kolik je v oáze Kopyto ostrovů?
Vést koně přes poušť se zdálo být hračkou, koně se vlekli unavení, a jak už jsem řekl, žízniví tam, kam jsme je vedli. Jen čas od času je vyplašil nějaký pouštní had, ne však natolik, aby se rozutekli. A tak jsme s Vigim hráli hru, kdo uvidí nejvíce hadů a pouštních ještěrek.
Úloha č. 3
Každé tři hodiny, co jsme jeli spolu, jsem já spatřil čtyři hady a Vigi sedm. Pouštní ještěrku jsem za tu dobu viděl jednu každou hodinu, zatímco Vigi jednu každou čtvrthodinu. Když jsme se však rozjeli každý na jiný konec stáda, pak jsem já viděl dva hady a tři pouštní ještěrky každou půlhodinu a Vigi pět hadů a čtyři ještěrky každé dvě hodiny. Jak dlouho jsme jeli spolu a jak dlouho každý sám, jestliže Vigi viděl o tři hady a o deset ještěrek více než já?
Zabráni pozorováním písku jsme si ani nevšimli, že oáza je už na dohled. Upozornil nás na to až Cen, který jel za námi a pro změnu s Lutzem počítali supy. Vigi ho jen odbyl, že určitě zase vidí jen fatu morgánu, jako byla ta karavana před několika hodinami, ale já jsem neodolal pohledu na náš dnešní cíl. A při té příležitosti se přidal ke hře Cena a Lutzeho, Vigi si totiž za tu chvíli, co jsem se kochal pohledem do dáli, udělal dostatečný náskok na to, abych ho ani za dvě hodiny samostatné jízdy nedohnal, a tak jsem si chtěl spravit náladu nějakým jiným úspěchem.
Ale další hra bylo jako přesedlat z koně na pštrosa, i tentokráte mi štěstí nepřálo a než jsme dorazili do oázy, prohrával jsem o pět supů. Přemýšlel jsem proto o jiné hře, kde bych mohl vyhrát. „Co takhle matematika,“ začal jsem otravovat Otaha, zda by si se mnou nezahrál něco jiného. Ten se na mě jen zašklebil a už tahal úlohu zpod sedla.
Úloha č. 4
„Tak hele, představ si, že máš zahradu, nu třeba čtvercovou 20\times20 sáhů, ve které je zakopaná dlouhá jednobarevná tyč. Tyč jde napříč celou zahradou (tedy její konce jsou až za zahradou, každý konec za jinou stranou čtverce), jenže ty nevíš kde. Kolik sáhů výkopu musíš nejméně udělat, abys zjistil, jakou má tyč barvu?“
Pěkně hloupá úloha, pomyslel jsem si, kdo by zakopával tyč do země, ale úloha se zdála jednoduchá, a tak jsem se pustil do řešení. Na večer jsme postavili hlídky, uvařili večeři a Otah začal rýpat, jestli už mám nějaké řešení.
„Samozřejmě, že mám,“ nedal jsem se, „jen ještě nevím, jestli je nejkratší.“
Otah se na mě jen vesele zašklebil, a tak jsem mu raději dal taky jednu úlohu. „Tu naši mapu Velké Č. jsi stejně ztratil ty, tak namaluješ novou.
Úloha č. 5
Město Sen-Chi je od Los-Chen vzdáleno 45 mil a z jednoho do druhého vede přímá Cesta. Sen-Chi od Belinungu je \sqrt{3700} mil, Belinung od Los-Chen \sqrt{1000} mil. Když se vydám po Cestě ze Sen-Chi 25 mil a pak kolmo odbočím, přijedu po 15 mílích přímo do Zuangu. Belinung, Zuang a Deligen tvoří rovnoramenný trojúhelník a Deligen je vzdálen od Cesty 10 mil. Los-Chen, Deligen a Enalis jsou po řadě vrcholy kosočtverce s jednou uhlopříčkou rovnoběžnou s Cestou. Taky Belinung, Deligen a Enalis tvoří na mapě rovnoramenný trojúhelník. Cesta vede po pobřeží Velkého oceánu, za kterým je pouze Japonsko, které naše mapa neobsahuje. A Otahu, až to všechno namaluješ, zkus ještě domalovat další města tak, aby měla mapa dvě osy souměrnosti a Los-Chen jako střed souměrnosti. A ať je to co nejpřesnější.“
Otah se na mě podíval skrz kouř z jeho ohořelého klacíku, kterým si zadání zuřivě zapisoval na kus ovčí kůže. Já šel zatím spát, protože s hlídkou na mě přišla řada až pozdě k ránu.
Než se dostane řada na mou hlídku, řeknu vám něco o žlutém srdci Velké Č. Kdysi dávno, kdy ještě lidé neznali plout po moři a svět byl rozdělen do mnoha malých stád, která mezi sebou neustále válčila, žil Súta. Súta byl náčelníkem kmene Lotregů, kteří sídlili nedaleko Žluté řeky v několika malých osadách s nevelkým stádem. Už když se Súta narodil, Lotregové válčili, a tak než dospěl, přišel téměř o všechny své přátele, a to nejen lidské, přestože těch druhých nebylo mnoho. Když i jeho otec byl zabit, měl nastoupit na jeho místo a vést svůj kmen ve válce dál. Súta ale nebyl válečník, ani pořádně nejezdil na koni, ba právě naopak. Jeho snem bylo mít velký dům, kde by měl nejlepší básníky z celého kraje, malíře a divadelníky, se kterými by se mohl věnovat umění. Proto když vzal do rukou koňskou lebku Lotregů (což je symbol náčelníka), nechal si zavolat šamana a několik dní ve své chatrči s ním projednávali Velkou úmluvu. Úmluvu dnes můžete nalézt ve zlaté kleci uprostřed císařské zahrady ve Velké Č.
Úloha č. 6
Krom Velké úmluvy tam ale taky můžete najít sud a tři vědra, kterými služebnictvo zavlažuje rostliny v zahradě, neboť ta je celá pod střechou. Pokud plný sud rozlijeme do tří věder rovným dílem, pak v prvním bude polovina jeho objemu, v druhém dvě třetiny a ve třetím, ano správně, tři čtvrtiny. Jaký je nejmenší možný objem jednotlivých nádob, jestliže je (v litrech) celočíselný?
Správně, projednávali, neboť velký šaman na jeho prosbu vyvolal všechny duchy mrtvých náčelníků a velkých koní. Několik dní takto s náčelníky hovořili a říká se, že Súta za těch několik dní zestárl o desítky let.
Nakonec byla Velká úmluva zpečetěna a stádem koňských velikánů podupána (zde je jeden z důkazů, že ani po smrti koně neumí psát tak jako lidé). Tak vzniklo žluté srdce Velké Č., jež dokáže díky síle duchů mrtvých náčelníků a koňských velikánů ospravedlnit každou jednotnou vládu všem kmenům a stádům světa. Kdo srdce má, toho poslechnou všechny kmeny a budou plnit jeho vůli.
Když se začalo rozednívat, strčil do mě Vigi, ať jdu hlídat. Napočítal jich za svou hlídku 27, tak ať se prý snažím. Ale já už na hady neměl ani pomyšlení a sledoval jsem raději růžovo-červeno-žluto-romantický východ slunce a doufal, že nic horšího na hlídce neuvidím.
Když se vyhouplo slunce nad obzor, odhalilo mi v dálce jezdce mířícího k nám. Jezdec byl v barvách Chánova služebnictva a jel na nádherném černém koni, který jakoby letěl několik palců nad zemí. Probral jsem se z toho nádherného pohledu a začal zvažovat všechny možné faty morgány a jiné úkazy v poušti se vyskytující. Ne, koně bych si nikdy nespletl, zdálo se mi nakonec, a proto jsem začal budit ostatní.
Úloha č. 7
Své společníky jsem však neměl vzbudit jen tak. Každý má být vzbuzen v určitém pořadí, podle své funkce. Funkci mají naštěstí pouze čtyři mí společníci. Svitek pro buzení skupiny kočovníků při nečekané události říká toto: Je-li vodník vzbuzen dříve než správce map, pak stopař musí být vzbuzen až jako poslední. Vodník smí být vzbuzen později než stopař jen v tom případě, že strážce podkovy ještě spí. Správce map se vůbec neprobudí, jestliže vodník ani stopař ještě nejsou vzhůru. Strážce podkovy však musí být každopádně vzbuzen dříve než správce map. Koho jsem měl vzbudit jako třetího? Poznámka: Vodník je slangové, trochu žertovné pojmenování toho člena skupiny, který má na starosti, aby nedošly zásoby vody.
Jezdec byl Chánův sluha. Měl pro nás zprávu -- domů se nejede. Žluté srdce Velké Č. nečeká. Na chvíli jsem zauvažoval, jestli to náhodou přece jen nebyla fata morgána.
