Řešení je k dispozici také ve formátu pdf.

Úloha č. 1

V zadání je poměrně zásadní otázka, zda je Fen také kopáč, ale v předchozím odstavci je to jasně napsáno. Vztahuje se na něj rovněž pravidlo o únavě o 40 věder a odpočinku 11 věder. V naší úloze máme čtyři kopáče s maximálním výkonem 130 věder za den a Fena s 80 vědry za den. Když se k úloze postavíme tzv. hladovým způsobem, který v každém dni nechává pracovat kopáče, kteří vykopou aktuálně nejvíce věder, dostaneme se k řešení, jež trvá 9 dní a kopáči vykopou 1581 věder (viz následující tabulku, v níž je zapsán rozpis kopáčů a jejich aktuální denní výkony).

Ale při tomto přístupu jsme byli na kopáče příliš tvrdí a necháváme je málo odpočívat. Můžeme si položit otázku, proč jsme nenasadili do práce Fena dříve, když stejně bude muset pracovat dva dny. Nasadit Fena hned první nebo druhý den také není ideální. Lze se přesvědčit, že dostaneme o trochu horší řešení než hladovým přístupem. Necháme tedy kopat Fena až třetí den, čímž dostaneme řešení, které bude trvat 8 dní a kopáči vykopou celkem 1517 věder (viz druhou tabulku).

Není lehké rozhodnout, jestli jsme nalezli nejrychlejší způsob; spokojíme se s tvrzením, že minimalizujeme denní úbytek sil kopáčů. Na druhou stranu je poměrně zajímavé uvědomit si, že je možné dostat se k tomuto výsledku mnoha způsoby, protože nezáleží, zda některého kopáče pošleme pracovat dnes, nebo až za dva dny. Na závěr ještě dva příklady možných rozpisů již jen schématicky; každý se může přesvědčit, že podle nich za osm dní kopáči vykopou 1517 věder.

Komentář: Mnoho řešitelů použilo jen výše zmíněný hladový přístup; za to jsem uděloval maximálně 3 body. Pokud řešitel našel řešení trvající 8 dnů, hodnotil jsem ho čtyřmi až pěti body, dle toho, jestli se dostal až k řešení 1517 a jak při tom postupoval. Větší nepřesnosti a chyby jsem hodnotil jednobodovou ztrátou.

Úloha č. 2

Označíme si vlky čísly 1--13 tak, že první vlk je vlevo od vůdce, druhý vlk je vlevo od prvního atd. Potom první zaútočí (odejde z kruhu) první vlk, pak druhý od prvního, tedy třetí, pak třetí od druhého vypadlého, tedy šestý, další desátý. Nyní nám zbyl kruh jenom devíti vlků, pokračujeme a odpočítáváme dalšího: to bude vlk číslo 4. Nyní zbylo kolečko osmi vlků, další vypadne vlk číslo 12 a už jich je jenom sedm, takto dále vypadávají vlci číslo 11, 2, 9, 5, 8, 7 a poslední vypadne číslo 13, tedy vůdce.

Komentář: Většina řešitelů pochopila správně zadání. Když jste napsali i pořadí vlků, jak vypadávali, dostali jste 5 bodů; ti, kteří pouze konstatovali, že poslední zbude vůdce, vesměs dostali 3 body. Asi třetina z vás pochopila zadání jinak. Pokud to bylo aspoň trochu možné pochopit podle vás, uznávala jsem řešení za správné. Pokud jste počítali již vypadlé vlky, pak jste nedostali žádné body.

Úloha č. 3

Označíme počet pštrosů p a počet koní k. Pro počet nohou dostáváme 2p+4k=162 a pro počet hlav 5\over7 p + k = 45 (u pštrosů počítáme jen hlavy, které nejsou v písku). Máme tedy soustavu dvou rovnic o dvou neznámých a tu můžeme řešit například tak, že druhou rovnici vynásobíme čtyřmi (20\over7 p + 4k = 180) a odečteme od ní první rovnici (6\over7 p = 18). Počet pštrosů dostaneme vynásobením poslední rovnice 7/6 (p=21) a z toho už snadno dopočítáme počet koní (vyjde k=30).

Komentář: Drtivá většina řešitelů vyřešila příklad správně. Asi polovina z nich použila soustavu rovnic, ostatní zkoušeli spočítat, jestli počty hlav a noh sedí pro různé počty pštrosů; přitom použili toho, že počet pštrosů by měl být dělitelný sedmi. Někteří řešitelé tvrdili, že i když má pštros hlavu schovanou v písku, tak ji ve skutečnosti má a měla by se počítat -- to je pozoruhodná myšlenka, kterou sdělíme kočovníkům a třeba se jim podaří posunout vývoj dobové vědy.

Úloha č. 4

Aby se muži ve skupině mohli jednoznačně dohodnout, musí v ní být buď lichý počet hlasů, nebo jeden muž musí mít víc hlasů než zbylí muži ve skupině. Abychom zjistili, jak situace vypadá za této podmínky, uděláme si přehlednou tabulku.

Každý řádek tabulky ukazuje jednu z možností, kolik žen může mít každý z mužů, jež jsme označili a, b, c, d, e, f. Nezáleží nám na tom, který muž má sedm žen a který žádnou. V případech A, B, C, E, G, I, K, L, N můžeme rozdělit muže: a do první skupiny, ostatní do druhé. V případech D, F, J spojíme a a c v první skupinu a ostatní v druhou. Ve zbylých případech dáme k sobě a, b, c a do druhé skupiny d, e, f. Ženy mohou cestovat, s kým chtějí.

Komentář: Častá velká chyba byla, že ve chvíli, kdy jste našli jedno nevyhovující rozdělení do skupin, jste skončili. Musíte ale ověřit všechny možnosti. Pište pořádně postupy řešení, například nezapomínejte na komentáře k tabulkám. Pokud byl pouze naznačený postup, dávala jsem maximálně 2 body, spíše 1. Čtyři body dostali ti, co se trochu přehlédli a v jedné až dvou možnostech nerozdělili správně skupiny.

Úloha č. 5

Označme postupně místa v kruhu se sedmi lidmi písmeny A, B, C, D, E, F, G.

Nejdříve se budeme zabývat sedmičlennou skupinou. První číslo můžeme umístit libovolně -- třeba 1 na pozici A. Dvojka musí být vedle čísla, které stojí vedle 1, tedy můžeme ji umístit na pozici C nebo F. Vybereme například C. Trojka pak musí stát vedle čísla, které stojí vedle dvojky: tedy by mohla stát na polích A nebo E, ale A už je obsazeno. Proto 3 umístíme na pozici E. Můžeme si všimnout, že čísla vždy umísťujeme ob jednu pozici, přičemž kruh procházíme jedním směrem. Dále si všimněme, jak se obsazují pozice: začneme s jedním místem. Pak jedno místo přeskočíme a jedno použijeme -- tedy potřebovali jsme tři místa. Dále se dostáváme na pátou pozici, sedmou, ... tedy potřebujeme k obsazení všech míst kruhu lichý počet míst, abychom po „oběhnutí“ kola přeskočili jedničku. V sedmičlenné skupině jsme tedy mohli vytvořit kruh v pořadí 1, 5, 2, 6, 3, 7, 4.

V šestičlenné skupině se nám podaří umístit 1, 2 a 3, ale pro čtyřku nezbývá místo, vhodná místa už jsou obsazena jedničkou a dvojkou. V šestičlenné skupině tedy požadovaný kruh vytvořit nelze.

Někteří z vás přišli na řešení, jak obsadit oba kruhy následujícím trikem: kruhy budou mít jedno místo společné (na něj umístíme 7), tedy v obou kruzích bude lichý počet pozic a oba kruhy půjde sestavit podle udaných pravidel.

Komentář: Body jsem strhával za neúplný nebo chybějící postup. Pokud jste uvedli pouze odpověď, dostali jste dva nebo jeden bod.

Úloha č. 6

Pro jednotku palec zavedeme značku p. Podle zadání úlohy bylo úkolem spočítat objem průniku krychle (se stranou 8 p) a je\minushla\minusnu, který měl vrchol v bodě A, jeho podstavu tvořil rovnostranný trojúhelník X'Y'Z' se stranou |X'Y'|=3 p, výška jehlanu byla |AT'|=16 p. Protože úhlopříčka krychle má délku |AB|=8\sqrt{3} p<16 p, jsou body X', Y', Z' vně krychle. Průsečíky hran jehlanu s hranami krychle označíme X, Y, Z. Označme těžiště trojúhelníku XYZ jako T, podobně těžiště trojúhelníku X'Y'Z' jako T'. Protože se jedná o rovnostranné trojúhelníky, je těžiště zároveň průsečíkem výšek. Přímka AB těmito body prochází, neboť na ní leží i výška jehlanu. Objem průniku je tedy roven součtu objemů jehlanů AXYZ a BXYZ, formálně

Nyní vypočítáme délku |AT|. Trojúhelník XYB je rovnoramenný a pravoúhlý. Označíme-li b=|XY|, máme b^{2}=2\cdot|XB|^{2}, tj. |XB|=b\over\sqrt{2}. Délka těžnice (i výšky) v rovnostranném trojúhelníku o straně b je

tedy

Trojúhelník XBT je pravoúhlý s přeponou XB, proto

Protože jehlany AXYZ a AX'Y'Z' jsou podobné, platí následující rovnost mezi poměry výšek a délek základen jehlanu:

Po úpravě máme

Nyní můžeme vypočítat obsah trojúhelníku XYZ:

Po dosazení do vzorce pro objem máme V \doteq 11,648 p^{3}.

Komentář: Úloha byla poměrně těžká, to se projevilo i počtem řešitelů. Došlá řešení jsem bodovala většinou následovně: ten, kdo měl dobře nakreslený obrázek (tj. pochopil zadání), ale nic dalšího nespočítal, dostal jeden bod. Kdo přišel na to, že znalost velikosti strany |XY| je klíčová, dostal dva body. Ostatní podle závažnosti chyb obdrželi 3 až 5 bodů.

Úloha se samozřejmě dala řešit i jinak. Pomocí goniometrických funkcí, řešitelé se nevyhnuli problémům se zaokrouhlováním; nebo opět pomocí podobnosti, a to útvarů AXYZB a AX'Y'Z'B'. Toto řešení bylo opticky kratší než výše uvedené.

Úloha č. 7

Omlouváme se vám za zavádějící zadání úlohy, které nebylo v souladu s výsledkem úlohy páté. Dále v odstavci před zadáním stálo: „... místnost, v jejímž středu právě meditoval Chán“ a otázka zněla: „kde stál Chán?“. Pochopitelně jsme se neptali na to, že stojí ve středu místnosti, ale chtěli jsme vědět, jak se určí průsečíky společných tečen dvou daných kruhů.

Nyní rozebereme jednotlivé situace podle velikosti a polohy našich kruhů. Označme S_{1}, S_{2} středy kruhů a r_{1}, r_{2} jejich poloměry.

V případě S_{1} = S_{2} nelze sestrojit společné tečny (předpokládáme, že kruhy mají různé poloměry).

Pokud jsou středy S_{1}, S_{2} různé a poloměry stejné (r_{1} = r_{2}), tak máme následující tři možnosti podle vzdálenosti středů.

• |S_{1}S_{2}| < r_{1} + r_{2}: kruhy se protínají a společné tečny jsou rovnoběžné, což znamená, že se neprotínají.
• |S_{1}S_{2}| = r_{1} + r_{2}: kruhy mají jeden společný bod a existují tři společné tečny (dvě jsou rovnoběžné a třetí procházející společným bodem kruhů je na ně kolmá). Dostáváme tak dva možné průsečíky.
• |S_{1}S_{2}| > r_{1} + r_{2}: kruhy mají prázdný průnik a existují celkem čtyři různé společné tečny, které vytvoří pět průsečíků.

Poslední případ je, že středy i poloměry jsou různé. I tentokrát jsou tři možnosti podle toho, kolik mají kruhy společných bodů.

• |S_{1}S_{2}| < r_{1} + r_{2}: existuje jeden průsečík společných tečen.
• |S_{1}S_{2}| = r_{1} + r_{2}: máme tři různé průsečíky.
• |S_{1}S_{2}| > r_{1} + r_{2}: je celkem šest průsečíků.

Zbývá popsat, jak sestrojit společné tečny, pokud známe oba kruhy. Omezíme se na situaci, kdy jsou středy i poloměry různé a kruhy nemají společný bod. V ostatních případech je konstrukce buď snadná nebo probíhá obdobně. Označme příslušné kružnice k_{1} a k_{2}.

• S_{0}; S_{0} je střed úsečky S_{1}S_{2}
• k_{T}; kružnice se středem S_{0} a poloměrem |S_{0}S_{1}|
• l_{1}; kružnice se středem S_{2} a poloměrem r_{1}+r_{2}
• l_{2}; kružnice se středem S_{2} a poloměrem |r_{1}-r_{2}|
• P_{1}, P_{2}; průsečíky k_{T} a l_{1}
• P_{3}, P_{4}; průsečíky k_{T} a l_{2}
• T_{i}; T_{i} \in S_{2}P_{i} \cap k_{2}, |T_{i}P_{i}|=r_{1}, i=1,2,3,4
• t_{i}; t_{i} \parallel S_{1}P_{i}, T_{i} \in t_{i}, i=1,2,3,4.

Protože k_{T} je Thaletova kružnice nad průměrem S_{1}S_{2}, jsou úhly S_{1}P_{i}S_{2} pravé (i=1,2,3,4). Tudíž i úhly u vrcholů T_{i} jsou pravé a t_{i} jsou tečny kružnice k_{2}. Z konstrukce je vidět, že t_{i} jsou zároveň tečnami k_{1}. Přitom t_{1}, t_{2} jsou vnitřní tečny a t_{3}, t_{4} jsou vnější tečny. Celkem dostaneme 6 průsečíků společných tečen (přímky t_{3} a t_{4} se protínají mimo obrázek).

Komentář: Obzvláště hezká řešení zaslali Hana Bílková a Josef Tkadlec.

Opravovali: 1. Ondřej Honzl, 2. Eva Černohorská, 3. Petr Škovroň, 4. Václava Kopecká, 5. Karel Pazourek, 6. Lenka Burešová, 7. Jan Konopásek.