Zadání 5. série 17. ročníku

Pikosobota proběhne dne 27. dubna 2002 od 10.00 do 15.00. Sraz je u východu stanice metra Nádraží Holešovice směrem k nádraží Praha-Holešovice (východ bez jezdících schodů).

Termín odeslání: 29. dubna 2002

Adresa: Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8

Jak už jsme se zmínili minule, školníkův velbloud vesele ohlodává kořeny nejstaršího stromu v Omnipolisu. A to není jen tak. Strom je totiž starší než samotný Omnipolis a není divu, že ho podobná velbloudí drzost může rozzlobit a popudit.

Úloha č. 1

Totiž, abys tomu rozuměl, strom je velice starý, je mu stokrát více let, než je největší přirozené číslo, které nelze napsat jako součet druhých mocnin alespoň dvou přirozených čísel větších než 1. Umíš si představit, jak je strom starý?

Zajisté si dokážeš též představit, jak musely do toho zmatku kolem praskliny zapůsobit myši. Libuše ječela, kdykoli jí jediná myška třeba jen kousla do svačiny. Naštvaný strom se pomstil prasklinou a z praskliny se valily davy myšek, myší a krys a zaplavily Omnipolis. Naneštěstí tu bylo pramálo koček. Nejednou ses mohl stát svědkem kočičí davové paniky. Kočky byly přívalem myší úplně vyvedeny z míry, jako ostatně každý, a téměř šílely, jakmile se ocitly samy proti myší přesile. Přemysl musel nebohé kočky několikrát zachraňovat.

Úloha č. 2

Dokázal bys kočkám pomoci i ty? Situace je následující: ve čtvercovém prostoru 5 \times 5 se nachází pět myší a tři kočky. Aby kočky nezešílely, musí být rozmístění koček a myší takové, že žádná myš nemůže jedním skokem dostihnout žádnou kočku. Myší skok je pohyb o libovolný počet polí v jednom směru (nahoru, dolů, vlevo, vpravo nebo diagonálně). Lze rozmístit kočky a myši tak, aby byly kočky v bezpečí? Pokud ano, jak?

Kočičí otázka v Omnipolisu se stále zhoršovala. Myši byly čím dál tím drzejší a nebohé kočky nestačily utíkat, jak byly zchátralé...

Úloha č. 3

Myš honí kočku. Rychlost kočky je 10 ols, myši 15 ols. Kočka má náskok 30 ol. Za jak dlouho ji myš dostihne?

A protože stav byl velmi vážný, rozhodla se Nefertiti, že bude problém řešit. Přesvědčila většinu spolužáků z Eukleidovy základní, aby jí pomohli myši pochytat. Vybavila je na to velkými obdélníkovými bednami.

Úloha č. 4

Myši mají následující tvar. Jeden čtvereček má rozměry $0,1 ol \times 0,1 ol$.

Lze je naskládat do bedny o rozměrech 0,6 ol \times 1 ol, aniž by je děti musely zkompresovat (tj. aby se nepřekrývaly)?

Akce byla účinná. Během týdne se myši i myšky z ulic Omnipolisu úplně ztratily. Zbylo jen 24 krys a s těmi si poradil Velký omnipoliský pes.

Úloha č. 5

A ještě si s nimi pohrál. Poskládal si krysy vedle sebe na obvod kruhu a všiml si, že 23 jich je hnědých a jedna šedivá. Sám se posadil doprostřed kruhu a jal se krysy žrát. Šedivá krysa je nejchutnější, proto ji chce sníst jako poslední. Pes jí krysy tak, že si jednu vybere, sní ji, a pak odpočítá 24 krys ve směru hodinových ručiček a tu poslední sní (samozřejmě nepočítá místa, kde seděly už snědené krysy). Potom zase odpočítá 24 krys a poslední sní a tak pokračuje dále. U které krysy má začít, aby snědl šedou úplně nakonec?

A protože katastrofa byla zažehnána, začal Omnipolis velkou pyramidovou slavnost.

Úloha č. 6

Vyvrcholením pyramidové slavnosti byla stavba pyramidy. Ke stavbě pyramidy byl určen Přemysl a měl z toho velkou radost. Má k ruce 15 kostek s čísly 1 až 15. Pyramidu má stavět tak, aby použil všechny kostky a aby číslo na každé kostce (kromě pěti kostek tvořících základnu) bylo rozdílem dvou čísel kostek, na kterých stojí. Jak bys pyramidu stavěl ty?

A aby školníkův velbloud už neohlodával prastarý strom, rozhodli se Omnipolisané zvýšit jeho příděl mrkve. Vyhradili za tímto účelem i jeden veliký záhon, na kterém chtěli mrkev pěstovat.

Úloha č. 7

Záhon má tvar obdélníku o rozměrech 25 ol a 30 ol. K dispozici jsou dva druhy semene mrkve. Jeden sáček prvního druhu oseje 4 ol^{2} a má výnos 24 okg, jeden sáček druhého druhu oseje 5 ol^{2} a má výnos 25 okg. Kolik sáčků semene mrkve kterého druhu mají koupit, aby získali co nejvíce mrkve a zároveň spotřebovali všechna semena?

Nyní už byly všechny závažné problémy vyřešeny a nic nebránilo vypuknutí velkých pouštních prázdnin.