Zadání 4. série 17. ročníku

Pikosobota proběhne dne 16. března 2002 od 10.00 do 15.00. Sraz je u východu stanice metra Nádraží Holešovice směrem k nádraží Praha-Holešovice (východ bez jezdících schodů).

Termín odeslání: 18. března 2002

Adresa: Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8

Cirkus i s Čáryfukem sice odjel, ale Omnipolis ožil další zajímavou, tentokrát již tradiční, pouštní kulturní událostí. Blížil se totiž dlouho očekávaný školní turnaj v Přesýpání. A najednou byl za dveřmi. Přihlásila se celkem čtyři smíšená družstva, samozřejmě Kleopatra, Nefertiti, Přemysl ani Libuše Čechová nesměli mezi jejich členy chybět. Dalšími nezbytnými osobami při Přesýpání byli zapisovači průběžných výsledků jednotlivých utkání. Čekal je nelehký úkol.

Úloha č. 1

Podle tradice totiž nesměli napsat ani jednu číslici, místo toho dostali zapisovací arch, na němž bylo v každém řádku nakresleno pět trojek (kromě prvního, kde byla u každého družstva napsána nula). Družstva mohla během utkání získat průběžný celkový počet bodů 1 až 20 a zapisovači museli výsledky zaznamenat do archu jen vhodným doplněním příslušného řádku o znaky +, -, \cdot, : a závorky. Umíš i ty vyjádřit všechna čísla 1 až 20 doplněním těchto znaků a závorek mezi pět trojek?

Každé družstvo se utkalo se všemi ostatními třemi družstvy. Za každou výhru získalo do turnaje 3 body, za prohru se body neudílely a za remízu dostalo 1 bod.

Úloha č. 2

Je možné doplnit jediným způsobem neúplnou tabulku počtu výher, remíz, proher a bodů, když víte, že žádná dvě družstva nezískala v turnaji stejný počet bodů? Postup řešení zdůvodněte.

$$	výhry	remízy	prohry	body
Pikové	$$	$$	$$	3
Eukleidovi přesýpači	1	$$
Ochránci pyramid	$$	$$	1
Omnici	2	1

Protože školník Eukleidovy základní po celou dobu turnaje v Přesýpání ochotně roznášel limonády, zdravil, prosil a děkoval a vůbec byl k lidem nezvykle zdvořilý, usmyslela si Libuše Čechová, že by mu mohla nějakým dárkem udělat radost. Možná to bylo opojením z vlastního vítězství Libušina družstva v Přesýpání, ale to pro nás není důležité. Jisté je, že všechny školníkovy předešlé prohřešky byly zapomenuty a nakonec dokonce i Kleopatra souhlasila, že mu dají nejrychlejšího velblouda ze stáda Libušina strýce Helixe Šnekypida. Ten volbu pochopitelně také schválil.

Úloha č. 3

Školník velblouda uvázal na provaz a ten přivázal ke kratší stěně kůlny stojící na školní zahradě. Stěna měří 12 ol, provaz dlouhý 10 ol je uvázán v jejích dvou třetinách a na konci provazu se pase uvázaný velbloud. Jak velká je plocha, kterou může velbloud okusovat a spásat?

Pastva na zahradě novému školnímu velbloudovi zdaleka nestačila, naopak, nadšený školník mu pravidelně nosil pytle s mrkví. A protože velbloud nebyl jen nejrychlejší, ale také usměvavý, dobromyslný, dobrosrdečný, vhodný do pouště i Omnipolisu a ohleduplný k dětem, a hlavně inteligentní (jenom promluvit) a hravý a hladový, a taky byl tak trochu matematik, zkrátka nejedl tyto mrkve jako obyčejný velbloud.

Úloha č. 4

Jedl jich spoustu. Za jeden týden spořádal 28 pytlů mrkví. Každý den v týdnu snědl jiný počet pytlů, pouze vždy v sobotu žádné mrkve nejedl. Když z jednotlivých počtů snědených pytlů za týden sestavíme sedmiciferné číslo (první číslice udává počet pytlů spořádaných v pondělí, druhá v úterý atd.), dostaneme násobek jedenácti. Minulý týden jedl velbloud mrkve tak, že vzniklé sedmiciferné číslo bylo nejmenší možné splňující všechny uvedené podmínky. Uveďte počty pytlů mrkví, které snědl v jednotlivých dnech minulý týden. Poznámka: Číslo je násobek jedenácti, pokud je rozdíl součtu číslic na lichých pozicích a součtu číslic na sudých pozicích dělitelný jedenácti.

Školník brzy zjistil, že celý den nic jiného nedělá, než nosí svému novému mazlíčkovi mrkve, dokonce ani nemá čas plnit svoje povinnosti. Naštěstí mu v tomto ohledu žáci v čele s Libuší Čechovou vyšli vstříc a hojně mu pomáhali.

Úloha č. 5

Dokonce mu pomohli i se zásilkou černé kávy pro paní ředitelku Eukleidovy základní, a to nebyla lehká práce. No řekni, jak by sis poradil ty s tímto úkolem: Do kvádrové nádoby o rozměrech $14 ol \times 10 ol \times 6 ol$ je třeba uložit krabice s kávou. Ale pozor, krabic jsou čtyři různé druhy a každý druh má jinou cenu (viz obrázek), přičemž chceme, aby celková cena krabic, kterými naplníme nádobu, byla co nejmenší. Krabice jsou složeny z krychlí o délce hrany 1 ol a ceny jsou uvedeny v omnipoliských korunách.

Jen co Libuše s Přemyslem a ostatními naplnili nádobu kávou, vzpomněl si Přemysl, že má další úkol, se kterým si opět neví rady, a pohotově vytáhl z kapsy jednu ze svých Libuší nejoblíbenějších svačin. Není divu, že mu s úkolem ráda pomohla.

Úloha č. 6

Libuše řešila tento příklad: Jsou dány tři kružnice, které se navzájem z vnějšku dotýkají a které mají společnou tečnu t. Označme A, B, C postupně body dotyku tečny t a jednotlivých kružnic. Jaké jsou poloměry kružnic, pokud |AB| = 8 op, |BC| = 5 op? Jak bys Přemyslovi poradil ty?

Jen co Přemysl odložil tužku, stala se podivná věc, v Omnipolisu doslova nevídaná. Přes celou školní zahradu se vytvořila prasklina. Všem ta věc vrtala hlavou, Nefertiti měla dokonce celý týden noční můry a nikdo nechápal, co to znamená. I slečna učitelka chodila a kroutila hlavou: „To není možné, jak je to možné?“

Úloha č. 7

Zahrada má tvar trojúhelníku. Představme si ji jako trojúhelník ABC, v němž úhel BAC má velikost 70\deg, úhel ABC má velikost 45\deg a délka AB je 5 om (tato představa bude nejlépe odpovídat skutečnosti). Prasklina je lomená čára AXYB (bod X leží na BC a bod Y leží na AC). Co je na ní zajímavého, je to, že je to nejkratší možná taková lomená čára AXYB. Umíš obrázek zahrady s prasklinou nakreslit? Popiš postup konstrukce této čáry.

A na závěr jedno očekávatelné tajemství... Všem prasklina vrtá hlavou, protože nikdo neví, že nový školníkův velbloud ohlodal kořeny nejstaršího stromu, a už vůbec nikdo neví, co zlého nebo dobrého takové hlodání a prasklina můžou přinést.