Zadání 3. série 17. ročníku

Pikosobota proběhne dne 2. února 2002 od 10.00 do 15.00. Sraz je u východu stanice metra Nádraží Holešovice směrem k nádraží Praha-Holešovice (východ bez jezdících schodů).

Termín odeslání: 4. února 2002

Adresa: Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8

Když Libuše Čechová dorazila ze školy domů, čekal ji na stole lístek od maminky. „Milá Libuše,“ psala maminka, „mám dneska hodně práce a potřebuji, abys došla na nákup, vyzvedla na poště balíček, také dones dědečkovi brýle, minule si je u nás zapomněl, a vyzvedni Kazi ze školky. Mám pro vás překvapení, máma.“

Úloha č. 1

Libuše chce být doma co nejdříve, proto se rozhodla udělat všechny příkazy v takovém pořadí, aby cesta, kterou ujde, byla co nejkratší. Jakou trasu zvolí?

Poznámka: Libuše chce začít i skončit svou cestu doma. Čísla v obrázku udávají, jaká je vzdálenost mezi jednotlivými objekty.

Jakmile se Libuše opět vrátila domů, přispěchala její mladší sestra Kazi s prosbou o něco dobrého k jídlu. Libuše měla také hlad, a tak se rozhodla uvařit puding. U Čechů doma se vždy dělají dva druhy pudingů, Libuše vybrala standardně jeden s vanilkovou a jeden s čokoládovou příchutí.

Úloha č. 2

Aby puding hezky vypadal, lijí ho Čechovi do nízké formy, která má tvar pravoúhlého trojúhelníku. Uvnitř trojúhelníkové formy je ještě umístěna obdélníková forma. Do obdélníkové části se lije jeden druh a do zbytku druhý druh pudingu. Libuše dává přednost vanilkové příchuti, lije tedy tento puding do obdélníkové části, neboť se jí zdá větší než zbylé části. Má pravdu? Může mít obdélníková část větší obsah, než je polovina obsahu celé formy? Své tvrzení řádně zdůvodněte!

Když je puding hotov, musí ho Libuše rozdělit. Chce také trochu té dobroty samozřejmě nechat pro maminku, která se co nevidět vrátí z práce.

Úloha č. 3

Libuše tedy rozdělí trojúhelníkovou plochu pudingu na tři díly, a to tak, že každý díl obsahuje body, které jsou nejblíž k jednomu z vrcholů pravoúhlého trojúhelníku. Jaké tvary mají takto vzniklé části? Popište všechny možnosti.

Maminka se vrátila ještě odpoledne a už z dálky mávala lístky do cirkusu. „Huráááá! Jupíííí! Cirkus“ začala Kazi tancovat po pokoji. Její nadšení brzy nakazilo i Libuši a obě byly šťastné, když se večer konečně vyrazilo na představení. Cestou se k nim přidala i sestřenice Kleopatra a strýc Helixus Šnekypidus. Cirkus v tak malém městečku, jako je Omnipolis, je veliká událost. Uvnitř obrovského stanu byli téměř všichni.

Úloha č. 4

První číslo předváděli bílí sloni. Něco takového žádný Omnipolisan ještě nikdy neviděl. Sloni na slovo poslouchali svého cvičitele a mávali na obecenstvo choboty. „Jak jsou vaši sloni staří?“ osmělila se zeptat zvědavá Nefertiti. Krotitel jí odpověděl, že součet jejich věků dává po dělení pěti zbytek 4 a po dělení 9 zbytek 8 a že všech osm slonů je stejně starých. Jak staří mohli sloni být, pokud víme, že zcela jistě jim nemohlo být více než 60?

Další v pořadí bylo vystoupení kouzelníka Čáryfuka, jenž byl proslulý i daleko za hranicemi pouště. Bylo o něm známo, že na začátku svého pořadu dá publiku otázku a tomu, kdo ji první rozluští, věnuje některou ze svých četných knih o poušti.

Úloha č. 5

Čáryfukova hádanka na sebe nenechala dlouho čekat. „Jaký je ciferný součet čísla, které získáme, vydělíme-li 11\ldots11 (66 jedniček) sedmi?“ Libuši by se taková kniha hodila na hodiny poušťopisu, ale ne a ne na správnou odpověď přijít. Podaří se to tobě?

Čáryfukovo vystoupení bylo tak zajímavé, že Libuše přestala myslet na slíbenou knihu. Rozhodla se sledovat, jak vytahuje z klobouku králíky a velbloudy a moc se jí to líbilo. Bylo jí jen trochu líto Přemysla, který do cirkusu nešel, a tudíž o tohle všechno přišel. Rozhodla se, že mu aspoň nakreslí, jak vypadá cirkusové pojidlo.

Úloha č. 6

Jak má Libuše nakreslit pojidlo cirkusu, má-li daný trojúhelník ABC a uvnitř strany AC má ležet bod X a uvnitř strany BC bod Y tak, že úsečky XY a AB jsou rovnoběžné a navíc velikost úsečky AX je stejná jako velikost úsečky XY? Popište postup konstrukce.

Cestou z cirkusu si všichni vyprávěli, co všechno dnes viděli, a mluvilo se o tom, jaké to bude, až se cirkus do Omnipolisu zase vrátí. Kazi byla ospalá, a tak šli Čechovi hned domů. Naštěstí. Libuše zjistila, že úplně zapomněla na domácí úkol, takže hned, jak přišli domů a snědli večeři, pustila se do počítání.

Úloha č. 7

Dvě různá trojciferná čísla jsou obě dělitelná 21. Druhé z nich vznikne z prvního čísla tak, že zaměníme první cifru se třetí. Která jsou to čísla?

Libuše si oddechla. Tak, má vše hotovo. Byl to dnes náročný den. Jen zalezla do pelíšku, hned usnula a celou noc se jí zdálo, že se prohání s bílými slony, velbloudy a Čáryfukem po poušti.