Zadání 2. série 17. ročníku

Pikosobota proběhne dne 5. ledna 2002 od 10.00 do 14.00. Sraz je u východu stanice metra Nádraží Holešovice směrem k nádraží Praha-Holešovice (východ bez jezdících schodů).

Termín odeslání: 7. ledna 2002

Adresa: Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8

Cestou do třídy zastavil Kleopatru a Libuši školník Eukleidovy základní. Slušně ho pozdravily a pan školník je potom, co zkontroloval, zda jsou obě žákyně řádně přezuty, požádal, aby mu pomohly zalít květiny. Do začátku první hodiny zbývalo ještě dost času a tak dívky ochotně souhlasily, ačkoli se pan školník netěšil jejich oblibě. Měly přece všechny ty barevné květiny na chodbách rády.

Úloha č. 1

Školník má pro zalívání k dispozici tři nádoby po 10, 7 a 3 ož. Desetižejdlíková je plná vody, druhé dvě jsou prázdné. Školník nechce dívky příliš zaměstnávat (obává se případných pomluv, že neplní své povinnosti) a rozhodne se tedy celou jednu polovinu vody rozlít sám. Jak si může pouhým přeléváním odměřit 5 ož?

Poznámka: Značka „ož“ znamená omnipoliský žejdlík.

Když dostatečně zavlažily školní rostlinstvo, zastavily se Kleopatra s Libuší ještě před sochou Eukleida. Ta stála na hlavní chodbě na velikém podstavci. Protože byly zvídavé, přečetly si tabulku s popiskem, a kromě poutavého životopisu Eukleidova je zaujala též poslední věta: že totiž socha má stejný objem jako podstavec.

Úloha č. 2

Podstavec má tvar trojbokého hranolu, jehož podstavou je pravoúhlý rovnoramenný trojúhelník s délkou odvěsen 4 ol. Jaký je objem podstavce (a tím pádem i objem Eukleidovy sochy), víte-li, že největší obdélníková stěna podstavce má úhlopříčku dlouhou 9 ol?

Poznámka: V pravoúhlém trojúhelníku se dvě kratší strany, které svírají pravý úhel, nazývají odvěsny a nejdelší strana, protilehlá pravému úhlu, přepona. Jestliže délky odvěsen jsou a a b a délka přepony c, pak platí Pythagorova věta : a^{2}+b^{2}=c^{2}.

Z rozjímání o Eukleidovi je vytrhl zvuk gongu naznačující, že by se měly odebrat na hodinu historie a dějepravy, která co nevidět začne. Opustily tedy sochu a hned zamířily do třídy s číslem 101. Kleopatra si všimla, že toto číslo má zajímavou vlastnost.

Úloha č. 3

Pokud v čísle 101 škrtneme libovolnou jeho číslici, nedostaneme číslo dělitelné třemi. Kolik existuje trojciferných čísel s touto vlastností?

Ještě za děvčaty ani nezaklaply dveře a už vcházela do třídy slečna učitelka. Jako vždy byla oblečená podle poslední omnipoliské módy a vesele se usmívala. Všem se líbil její originální klobouk. Měl růžovou barvu a byl pokryt magickými znaky z dob dávno minulých. Jeden ze znaků byl poslední dobou obzvlášť populární. Kdysi se používal k zastavení deště, ale dnes slouží pouze jako ozdoba, protože se na jeho původní význam téměř zapomnělo. Nicméně je pravda, že v Omnipolisu velmi zřídka prší.

Úloha č. 4

Tento magický symbol vypadá jako čtyřúhelník a uvnitř má úplně malou a nenápadnou tečku, která má představovat kapku deště. Kde v čtyřúhelníku leží bod představující kapku, jestliže víte, že součet vzdáleností tohoto bodu od jednotlivých vrcholů čtyřúhelníku je nejmenší možný? Výsledek řádně zdůvodněte!

Konečně začalo povídání o stavbě První pyramidy. Slečna učitelka vypravovala o velikých kamenných kvádrech, ze kterých jsou postaveny všechny pyramidy, a o tehdejším velice náročném a únavném způsobu dopravy kvádrů na staveniště. Nezapomněla samozřejmě dodat, že dnes se k tomu účelu používají speciální letadla.

„Jak dlouho asi tak trvá letadlu cesta z lomu k základům omnipoliské velké pyramidy a zpět?“ zeptala se zvědavá Nefertiti.

Úloha č. 5

„To máš různé,“ řekla slečna učitelka. „Vane-li vítr od lomu k pyramidě průměrnou rychlostí v, vykoná letadlo cestu tam a zpět za 2 oh a 55 omin, pokud ovšem fouká vítr od pyramidy k lomu rychlostí 2v, zabere letadlu cesta tam a zpět 3 oh a 20 omin.“

Nefertiti se zamyslela. „A co když vítr nefouká?“ zeptala se.

„Na to přece dokážeš přijít sama,“ usmála se slečna učitelka. Nefertiti rychle přikývla. Jak dlouho trvá letadlu zmíněná cesta za bezvětří?

Děti se zrovna začaly o První pyramidu a pyramidy vůbec zajímat, ale školní gong nemilosrdně ukončil hodinu. Libuše Čechová neváhala využít přestávky k návštěvě svého kamaráda Přemysla, který se s ní vždycky rád rozdělil o svačinu. I tentokrát jí přenechal podstatnou část svých lahůdek, ale na povídání neměl čas, připravoval si totiž úkol z geometrie. Moc se mu nedařilo, a tak mu Libuše pomohla.

Úloha č. 6

Přemysl má zadán pravoúhlý trojúhelník ABC s pravým úhlem při vrcholu C. Délky stran trojúhelníku jsou b=24 op, a=7 op. Kolem bodu A je opsaná kružnice o poloměru b a kolem bodu B je zase opsaná kružnice o poloměru a. Přemysl má nyní sestrojit kružnici k, která se dotýká zevnitř obou těchto kružnic a má střed na straně AB. Dále musí ještě spočítat poloměr kružnice k. Jak by sis s tímto úkolem poradil ty?

Přemysl Libuši poděkoval a dal jí ještě kousek čokolády, protože měl nesmírnou radost, že mu s úlohou pomohla. Libuše vesele odhopkala do třídy s číslem 101, aby se připravila na poušťopis. Dokonce stihla ještě vyřešit hádanku, kterou pro ni vymyslela Nefertiti s Kleopatrou.

Úloha č. 7

Když k danému přirozenému číslu přičteme součet jeho cifer, dostaneme 101. Která čísla mají tuto vlastnost?

A je tu opět gong a s ním poušťopis a s dalším gongem mytologie... Libuše se přistihla, že se už moc těší na odpoledne, až škola skončí.