Zadání 1. série 17. ročníku

Pikosobota proběhne dne 13. října 2001 od 10:00 do 15:00. Sraz je u východu stanice metra Nádraží Holešovice směrem k nádraží Praha-Holešovice (východ bez jezdících schodů).

Termín odeslání: 15. října 2001

Adresa: Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8

Omnipolis je malé ospalé městečko, někde na okraji pouště a fantazie. Ospalá je také Libuše Čechová, žákyně Euklidovy Základní. Nedivte se, je pondělí ráno a ona čeká na autobus, který ji doveze do školičky.

Úloha č. 1

Omnipoliská hromadná doprava (OHD) nedávno změnila své pojidlo (pozn. pod čarou: Česky bychom řekli logo.). Návrh připomíná prázdnou amforu uprostřed pouště (těžko říci, co tím návrháři mysleli). Dalo by se nakreslit tak, že z vrcholů čtverce o straně a opíšeme kružnice o poloměru a/2 a vybarvíme některé části, jak je nakresleno na obrázku. Jakou plochu má pojidlo na autobusu, kde je vyvedeno ve velikosti a = 10 op? (Značka „op“ znamená omnipoliský palec.)

Libuše přemýšlela, jestli nezapomněla nějaký úkol. Jazyk mám, poušťopis mám. Mytologii mám. Cizí jazyk mám. Tělocvik... Matematika. Hmm. Matematiku jsem měla vyřešenou, jenže pak přišla moje nejmladší sestra Kazi (chodí ještě do školky) a dovedně z některých čísel udělala černé puntíky. A děda se jí ještě zastával, že to nic není, že se to spraví.

Úloha č. 2

Podívejte, jak dopadlo Kazino řádění. Má praotec Čech pravdu, když tvrdí, že z pozůstalých informací se dá vyčíst nejen řešení, ale i zadání domácí úlohy?

$$	$$	$$	$$	*	*	*	3
$$	$$	\times	$$	*	9	*	*
$$	$$	$$	1	*	*	*	1
$$	$$	*	*	6	*	*
$$	*	*	*	7	*
$$	*	7	*	*	$$
*	0	*	*	*	*	1	*

Konečně je tu autobus. V autobusu (ostatně jako každé ráno) seděla sestřenice Kleopatra. Řidič Helixus Šnekypidus je Libušiným strejdou (a Kleopatřiným tatínkem) a proto jim dovolí sedět na prvním sedadle, kde se může sedět až od 12 let, a taky jim dovolí hovořit s řidičem, což se za jízdy nesmí.

Úloha č. 3

Lístky v OHD stojí pro žáky 3 ok, dělníci dojíždějící na stavbu omnipoliské velké pyramidy (OVP) platí 8 ok, všichni ostatní 12 ok. Řidič si lístek nekupuje. Nebylo těžké spočítat, že v kase autobusu bylo přesně 456 ok. Ráno při výjezdu autobusu z garáže je v kase 80 ok. Libuše si všimla, že na počitadle jízdenek byla stovka, tedy od rána cestovalo přesně 100 lidí. Kleopatra si pomyslela, že kluky ze třídy by hned napadlo, jestli lze spočítat, kolik bylo kterých. Věříme, že omnipoliští kluci by to zvládli, a co ty? Poznámka: Značka „ok“ znamená omnipoliská koruna.

Kleopatra sdělila své podezření Libuši. „Pššt,“ řekla Libuše. „Ať tě nezaslechnou. Jak je znám, celou první hodinu by pak řešili autobusovou úlohu a z vyprávění slečny učitelky o stavbě První pyramidy by neměli nic.“

„Nechápu, co je na tom baví, neřeknu, kdyby šlo třeba o paličkování...“ kroutila hlavou Libuše.

„Nemám nic proti matematice,“ notovala si s Libuší Kleopatra, „ale počítat celý den, kolika různými součty se dá vyjádřit číslo 10, to mi přijde příliš... “

Úloha č. 4

I mně se zdá, že tato úloha rozhodně den nezabere. Tak tedy: Kolika různými způsoby lze napsat číslo 10 jako součet celých kladných čísel? Způsoby lišící se jenom pořadím sčítanců považujeme za stejné. Celá kladná čísla jsou 1, 2, 3, 4, ...

Libuše koukala z okna autobusu a pozorovala, jak pyramidy ujíždějí dozadu a jak je předjíždějí jiné autobusy. Strýček Helixus jezdí totiž velmi pomalu.

Úloha č. 5

Autobus řízený Helixem Šnekypidusem jede rychlostí 100 omh a má délku 15 ol, rychlostí 150 omh ho předjíždí autobus řízený řidičem Rychlusem Jakojaguárem, dlouhý 9 ol. Jak dlouho bude Rychlus Helixe předjíždět? Neboli určete čas od doby, kdy čumák Rychlusova autobusu je na úrovni brzdových světel autobusu Helixova, až po dobu, kdy Rychlusova brzdová světla jsou na úrovni Helixova čumáku. Ehm. Čumáku Helixova autobusu, samozřejmě. Poznámka: Značka „om“ znamená omnipoliská míle, značka „ol“ pak omnipoliský loket, konečně značka „oh“ značí omnipoliskou hodinu. Přitom platí 1 om = 840 ol a 1 oh = 60 omin = 3600 os, kde „omin“ označuje omnipoliskou minutu, a jak asi už tušíte, „os“ označuje omnipoliskou sekundu. Názvy jednotek se nenechte zmást a počítejte, jak jste zvyklí s běžnými jednotkami.

„Rychlus jezdí jako blázen,“ poznamenala Kleopatra, „máš úkol do mytologie?“ Úkol do mytologie byl celkem snadný: Najděte nějakou pověst nebo báji, která se váže ke Čtvercovému náměstí uprostřed Omnipolisu. Toto náměstí bylo bájemi propleteno. Pro ty, kdo neví, jak omnipoliské Čtvercové náměstí vypadá, prozradím, že vypadá skoro jako šachovnice, ale s tím rozdílem, že jedno políčko je dlaždice 10 ol \times 10 ol veliká a na rozdíl od šachovnice je těchto dlaždic 10\times10.

„Já jsem napsala tu o Hektolrisovi,“ odpověděla Libuše, „který chtěl každou dlaždici na náměstí očíslovat, aby v tom byl pořádek. Ale jeho žena Pentima se bála velkých číselných rozdílů, a proto Hektor přikázal, že dlaždice musí být očíslovány tak, aby rozdíl sousedních dlaždic nebyl větší než pět.“

Úloha č. 6

Lze do šachovnice 10\times10 vepsat čísla 1 až 100 (každé právě jednou) tak, že se čísla v sousedních políčkách neliší o víc než pět? Pokud ano, jak? Pokud ne, proč? Sousední políčka jsou ta, které mají společnou stranu.

„Nakonec Hektor svou myšlenku počmárat náměstí opustil, protože hrozilo, že ho opustí Pentima. Ale to už se náměstí netýkalo. Co máš ty?“ zakončila vyprávění Libuše.

„Babička mi vyprávěla o moudrém Svatoplukovi, který měl tři syny, a když umíral, přikázal, aby každý ze synů udělal křídou jednu dlouhou rovnou čáru přes celé Čtvercové náměstí.

Když byli hotovi, pravil synům: »Jste spravedliví, rozdělili jste náměstí na části rovným dílem a rozdělili jste ho na nejvíce částí, na kolik bylo možno. Pomněte však: čím více rozdrobíte síly své a zemi svou, tím slabější budete a tím ve větším nebezpečí se nalézati budete.« Tak pravil Svatopluk,“ dočetla Kleopatra svůj domácí úkol.

Úloha č. 7

Synové rozdělili Čtvercové náměstí na 6 částí, které měly všechny stejný obsah. Jak ho mohli rozdělit, jestliže nejstarší z nich vedl čáru vycházející z jednoho vrcholu? Poznámka: Jak vyplývá z dříve řečeného, Čtvercové náměstí vypadá jako čtverec o straně 100 ol.

„Konečně škola,“ zvolala Kleopatra. Několik hochů se na ni podívalo... řekněme... s podivem.

Vypadalo to, že dnešek bude den jako každý jiný.