Matboj

  • Když budeme chtít napsat všechna čísla od 1 do 2010, kolik nul při tom použijeme?
  • Máme dvoje přesýpací hodiny, jedny odměřují pět minut, druhé sedm. Dokážete na nich odměřit 9 minut? Na začátku je všechen písek v obou hodinách dole, měření času musí začít v okamžiku, kdy poprvé některé z hodin otočíte.
  • Máme 5 čísel, o kterých víme, že: jejich průměr je 69, jejich medián je 83 (medián množiny čísel je číslo, které bude uprostřed, pokud daná čísla seřadíme podle velikosti), rozdíl nejmenšího a největšího čísla je 70, číslo 85 se vyskytuje nejvíce krát. Jaké je druhé nejmenší číslo?
  • V rovnoramenném trojúhelníku je poměr jednoho ramena a základny 5 : 6 a jeho obvod je 32 cm. Jaký je jeho obsah?
  • Nalezněte nejmenší přirozené číslo začínající číslicí 6, které se po odebrání této první číslice zmenší na 1/25 své původní hodnoty.
  • Máme dvě stejně vysoké, ale různě tlusté svíčky: jedna shoří za 4 hodiny a druhá za 7 hodin, obě hoří stejnoměrně. Obě zároveň je zapálíme. Určete, za jak dlouho bude jedna z nich dvakrát vyšší než ta druhá.
  • V penále nosím tři pastelky o průměru 1 cm sepnuté gumičkou. Z boku to vypadá jako na obrázku. Spočtěte, jak dlouhá je gumička.
  • Kolik dvojic stěnových úhlopříček krychle je tvořeno navzájem mimoběžnými přímkami? Přímky jsou mimoběžné, pokud se neprotínají v žádném bodě a zároveň nejsou rovnoběžné.
  • Symbol | x| označuje největší celé číslo, které je menší nebo rovno x. Například | 3{,}14159265|=3, | 1|=1. Najděte všechna reálná čísla x, pro která platí 4| x|=3x.
  • Najděte všechna dvojciferná čísla n taková, že součet cifry na místě desítek a druhé mocniny cifry na místě jednotek je roven n.
  • Jak dlouho na digitálním budíku během jednoho dne svítí aspoň jedna jednička? (Budík ukazuje hodiny a minuty ve 24 hodinovém módu.)
  • Máme pět červených karet s čísly 1, 2, 3, 4, 5 a čtyři modré karty s čísly 3, 4, 5, 6. Uspořádejte karty do řady tak, aby se střídaly barvy a číslo na každé modré kartě bylo dělitelné čísly na okolních červených kartách.
  • Tři objevitelé našli hromadu zlata. Domluvili se, že si ji rozdělí v poměru 1:2:3 a všichni se vypravili domů pro vozík, aby měli zlato jak odvézt. Stalo se ale, že se k hromadě zlata každý vrátil v jinou dobu. Každý si navíc myslel, že přišel jako první, vzal si svůj podíl (vzhledem k tomu jak velká zrovna byla hromada) a zase odešel. Kolik zlata na hromadě zbylo poté, co si všichni tři odnesli svůj podíl?
  • Spočtěte délku strany čtverce na obrázku.
  • Když jsem byla malá, měla jsem hromadu čtvercových kostiček. Bavilo mě skládat z nich velké čtverce, ale byl jich na to špatný počet -- jednou jsem zkusila složit příliš velký čtverec a 100 kostiček mi chybělo. Tak jsem tedy zkusila složit čtverec s délkou strany o 2 kostičky menší a to mi naopak 92 kostiček přebývalo. Kolik jsem měla kostiček?
  • Počkejte... vlastně si nejsem tak úplně jistá, jestli ten druhý čtverec měl stranu kratší zrovna o dvě kostičky. Možná jenom o jednu ... nebo naopak o víc? Uměli byste v takovém případě určit všechny možnosti, kolik kostiček jsem mohla mít?
  • V krabici jsou 3 zelené, 4 žluté a 5 červených míčků. Vždycky náhodně vybereme dva míčky různých barev a nahradíme je míčkem třetí barvy. Tohle opakujeme dokud v krabici nezůstane pouze jeden druh míčků. Určete, jakou budou mít tyto míčky barvu.
  • Pro strany a, b, c trojúhelníku platí 0 < a \leq 7 \leq b \leq 8 \leq c \leq 15. Jaký největší obsah může trojúhelník mít?
  • V jídelně byl velký hrnec se sedmi litry přeslazeného a malý hrnec se třemi litry málo sladkého čaje. Do jedné konvice jsme nabrali přeslazený a do druhé stejné množství sladkého čaje. Přeslazený čaj z první konvice jsme celý vylili do malého hrnce a málo sladký čaj z druhé konvice jsme celý vylili do velkého hrnce. V obou hrncích je teď stejně sladký čaj. Kolik čaje jsme nabrali do konvic?
  • Pro kolik přirozených čísel k platí, že {nsn}(6^{6},8^{8},k)=12^{12}?
  • Ve třídě stojí židle v několika řadách, v každé řadě je stejný počet židlí. V každé řadě sedí přesně 6 chlapců a v každém sloupci přesně 8 dívek. Přesně 15 židlí je volných. Kolik řad a sloupců tam může být? Existuje-li více možností, najděte všechny!
  • Posloupnost X má devět členů. Určete, jak vypadá X, pokud víte, že posloupnosti (0,0,0,1,0,1), (0,0,1,1,1,0), (0,1,0,1,0,1), (1,0,0,0,1,1), (1,0,1,1,1,1), (1,1,1,1,0,1) a (1,1,0,1,1,0) vznikly vyškrtnutím tří členů z X. (Pořadí nevyškrtnutých členů se nezměnilo.)
  • Body A, B, C, D leží v rovině, přičemž platí |AB|=|BC|=|AC|=|CD|=10 cm a |AD|=17 cm. Jakých hodnot může nabývat |\angle ADB|?
  • Najděte všechna alespoň dvojciferná čísla která nejsou dělitelná 10 taková, že přidáním jedné nuly mezi cifry na místě jednotek a desítek dostaneme násobek původního čísla (např. 13 takové číslo NENÍ, protože 103 není dělitelné 13).
  • Na kružnici je napsaných 268 čísel. Víme, že 17. číslo je 3, 83. číslo je 4 a 144. číslo je 9. Součet každých 20 po sobě jdoucích čísel je 72. Jaké číslo je na 210. místě?
  • Mějme trojúhelník ABC. Kružnice procházející bodem A se dotýká strany BC v bodě D a protíná strany AB a AC po řadě v bodech E a F. Víme, že úsečka EF je osou úhlu AFD a |\angle ABC|=30\deg. Určete velikost \angle ADC.
  • Najděte poslední dvě cifry desítkového zápisu čísla 2^{2004}(2^{2005}-1).
  • Pět studentů A, B, C, D, E se zúčastnilo soutěže. První předpověď výsledků byla, že studenti skončí v pořadí ABCDE. Ale tato předpověď nebyla moc spolehlivá, žádný soutěžící neskončil na určené pozici (např. A nebyl první) a žádní dva soutěžící, u nichž se předpokládalo, že skončí hned za sebou, tak neskončili (např. B neskončil hned za A). Druhá předpověď tvrdila, že soutěžící skončí v pořadí DAECB. Tato byla lepší, právě dva soutěžící skončili na předpovězeném místě a právě dva disjunktní páry studentů, o kterých se předpokládalo, že skončí hned za sebou, předpověď splnili. Určete konečné pořadí soutěžících.
  • V rovině jsou dány body A, C a kružnice k(T;r). Sestrojte rovnoběžník ABCD, aby body B a D ležely na kružnici k. Proveďte diskusi počtu řešení.
  • Klára a Hanka mají každá několik sladkostí. Dá-li Hanka Kláře tři ze svých, bude mít Klára n-krát víc než Hanka. Dá-li Klára Hance n sladkostí, bude jich mít Hanka třikrát víc než Klára. Jakých hodnot může nabývat přirozené číslo n?