Matboj

Úloha č. 1: Jaký je základ číselné soustavy, v níž platí rovnost 26 \cdot 23 = 624?

Úloha č. 2: Pro kolik různých celých čísel je n+11 \over n+7 celé číslo?

Úloha č. 3: Jaká je poslední číslice 1+9^{99}?

Úloha č. 4: Obsah černě vybarvené části obrázku je v. Jaký je obsah šedě vybarvené části w (vyjádřete pomocí v), mají-li kruhy průměry 6, 4, 4 ,2?

Úloha č. 5: Kolik je 1+2-3-4+5+6-7-8+9+10-11-12...-420?

Úloha č. 6: Číslo n je zapsáno 2008 devítkami: n=99...{99}. Kolik devítek se vyskytne v n^{2}?

Úloha č. 7: Středy tří různých koulí neleží v jedné přímce. Jaký může být největší počet rovin, které se dotýkají všech koulí?

Úloha č. 8: Jaký je obsah vybarvené části obdélníku o stranách a a 2a?

Úloha č. 9: Na ostrově žijí poctivci, kteří vždy mluví pravdu, a padouši, kteří vždy lžou. Celkem tam žije 2008 obyvatel. Každému obyvateli byly položeny tyto tři otázky:

  • Zpíváte rád?
  • Hrajete rád fotbal?
  • Rybaříte rád?

Na první otázku odpovědělo „ano“ 1000 lidí, na druhou 700 lidí a na třetí 500 lidí. Víte, že každý obyvatel ve skutečnosti dělá rád pouze jednu z těchto činností. Kolik padouchů žije na ostrově?

Úloha č. 10: Marťané jsou červení, zelení nebo modří, mají 25 rukou a 320 antének. Kolik obyvatel musí mít marťanská vesnice, aby v ní určitě bylo možné najít 11 stejných marťanů (mají stejnou barvu a počty rukou a antének)?

Úloha č. 11: Do tabulky 43 \times 43 jsou vepsána čísla 1, 2, 3, 4 podle obrázku. Kterých čísel je v tabulce nejvíc?


1 2 3 4 1 2 ...

2 3 4 1 2 3 ...

3 4 1 2 3 ...

4 1 2 3 ...

1 2 3 ...

2 3 ...

\vdots

Úloha č. 12: Kružnice na obrázku mají poloměr r. Výška celého obrazce je 2. Spočítejte r.

Úloha č. 13: Kolik existuje navzájem neshodných trojúhelníků, jejichž vrcholy jsou některými z vrcholů pravidelného desetiúhelníku?

Úloha č. 14: V rovině je dáno 10 bodů. Pět z nich leží na jedné přímce a na žádné jiné přímce neleží víc než dva body. Kolik trojúhelníků s vrcholy v daných bodech lze sestrojit?

Úloha č. 15: Na obrázku je plánek deskové hry. Políčka jsou očíslována podle směru hodinových ručiček. Na začátku položíme figurku na políčko A_{1}. V každém tahu můžeme figurku posunout o dvě políčka libovolným směrem do bodu, který leží na stejné (lze $C_{3} \rightarrow C_{1}=A_{22} \rightarrow A_{20} \rightarrow A_{18} \rightarrow A_{20}, nelze C_{2} \rightarrow A_{23}$). Na kolik políček se figurka nikdy nemůže dostat?

Úloha č. 16: Hrajete následující hru. V pytli máte několik kuliček bílé a několik černé barvy. V každém tahu z pytle vytáhnete dvě kuličky. Mají-li stejnou barvu, vložíte do pytle místo nich jednu bílou kuličku, mají-li různou barvu, jednu černou. Hra skončí, jestliže v pytli zbývá poslední kulička. Dokážete určit její barvu, víte-li, že na začátku bylo v pytli m bílých a n černých kuliček?

Úloha č. 17: Rozděl na čtyři stejné části.

Úloha č. 18: (obzvlášť časově náročná) V jedné ulici v cizinecké čtvrti stojí vedle sebe pět domků různých barev. V každém z nich žije muž jiné národnosti, v každém se pije jiný oblíbený nápoj, v každém se chová jiné zvíře a v každém z domků je oblíben jiný sport. O domcích víme toto:

  • Angličan bydlí v červeném domku.
  • Španěl chová psa.
  • Káva se pije v zeleném domku.
  • Polák pije vodku.
  • Zelený domek stojí vpravo vedle domku bílého (z pohledu pozorovatele domků).
  • Fotbalista pěstuje hlemýždě.
  • Ve žlutém domku bydlí cyklista.
  • Mléko se pije v prostředním domku.
  • V prvním domku bydlí Nor.
  • Nesportovec bydlí vedle domku, v němž je chována liška.
  • Domek cyklisty sousedí s domkem, v němž je chován kůň.
  • Zápasník pije pomerančovou šťávu.
  • Japonec je hokejista.
  • Nor bydlí vedle modrěho domku.
  • V jednom domku se pije voda.
  • V jednom domku je chována zebra.

Zjistěte, kdo chová zebru a kdo pije vodu.

Úloha č. 19: Každý den přilétá ve 12:00 na letiště v Ruzyni letadlo se spěšnou zásilkou. Pro zásilku vyráží z Liberce auto a to tak, aby tam bylo přesně v poledne. Tam si ji vyzvedne a jede s ní zpět do Liberce. Jednoho dne ale přistálo letadlo dříve, a tak z letiště vypravili se zásilkou poslíčka na kole. Jel autu naproti a to 4\times pomaleji než samotné auto. Když se za 20 minut setkali, předal zásilku a odjel kdovíkam. Nás ale zajímá, o kolik minut dřív přijelo tentokrát auto do Liberce.

Úloha č. 20: Aritmetický průměr čísel a, b (tedy {a+b \over 2}) je 20, aritmetický průměr čísla b a 20 je c\over2. Kolik je aritmetický průměr čísel a a c?

Úloha č. 21: Kolik celých čísel splňuje nerovnici |2-|x||\leq 5?

Úloha č. 22: Trojmístné číslo X je zapsáno číslicemi 1, 2, 3, trojmístné číslo Y číslicemi 4, 5, 6. Víme, že X+Y je sudé a druhá číslice X je dva. Jaká je poslední číslice X \cdot Y?

Úloha č. 23: Na obrázku jsou znázorněny dva čtverce, jeden má stranu délky 2 m a druhý 1 m. Určete obsah šedé části.

Úloha č. 24: Achilles honí želvu plazící se stejným směrem. Na počátku je vzdálenost mezi nimi rovna 990 m. Rychlost Achilla je 10 metrů za sekundu, rychlost želvy 1 m za 10 sekund. Kdy Achilles želvu dohoní?

Úloha č. 25: Jsou dány dvě soustředné kružnice k_{1}, k_{2} a úsečka AB o délce 4 cm, jejíž krajní body leží na k_{1} a jejíž vnitřní bod C je bodem dotyku s k_{2}. Jaký je obsah mezikruží?

Úloha č. 26: Kolik z dvojic číslic 00, 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99 může být posledními dvěma číslicemi druhé mocniny přirozeného čísla?

Úloha č. 27: Letecká společnost létá mezi městy Ales a Bles. Let z Ales do Bles trvá stejně dlouho jako let z Bles do Ales. Města Ales a Bles leží v různých časových pásmech a letový řád uvádí odlety a přílety v lokálním čase:

  • Odlet z Ales v pondělí v 6:00, přílet do Bles v úterý ve 14:00.
  • Odlet z Bles ve čtvrtek ve 13:00 a přílet do Ales v sobotu v 15:00.
  • Jaký je čas v Bles, když je v Ales sobota 16:00?

Úloha č. 28: Máme číslo 123456789101112131415..., která cifra je na 2008. místě?

Úloha č. 29: S_{n}=1-2+3-4...+(-1)^{n+1} \cdot n. Kolik je S_{1994}+S_{1995}?

Úloha č. 30: Operace \ast je definována následujícím způsobem: $a \ast b = \max (2a; a+b)$. Kolik je (2 \ast 3) \ast (3 \ast 2) ?

Výsledky