Matboj

Úlohy označené symbolem \dag_tilda()byly určené mladším účastníkům.

• Máte před sebou 100 schodů a tři kyblíky barev. Vašim úkolem je schody obarvit tak, že žádná sekvence barev čtyř schodů po sobě jdoucích se nebude na schodišti opakovat. Je to možné?

• Sestrojte řetěz o třech článcích tak, že když přestřihnu libovolný článek, tak se rozpadne na tři části.

• Dva cyklisté vyjedou z bodů A a B proti sobě. Cyklista Adam jede rychlostmi -- z kopce 50 km/h, do kopce 15 km/h a po rovině 25 km/h. Bořek zase 60 km/h, 20 km/h a 30 km/h. Kde se oba cyklisté potkají, jestliže je profil tratě jako na obrázku.

• Anička má dvě hrací kostky. Nejsou ale ledajaké. Na rozdíl od normálních kostek na nich nejsou čísla od jedné do šesti, na každé kostce každé číslo pravě jednou. Na jedné kostce jsou čísla: 1, 2, 2, 3, 3, 4. Jaká čísla jsou na druhé kostce, když víte, že každý součet dvou čísel na kostkách může Anička hodit stejně tolika způsoby jako na normálních kostkách?

• Starý námořník ti prozradil cestu k pokladu: „(Jdi od dubu _m(D) ke zřícenému majáku _m(M). Stejnou vzdálenost odtud ujdi směrem doprava v pravém úhlu a místo, do něhož dojdeš, označ _m(R). Pak jdi od dubu k prameni _m(P), odtud ujdi vlevo v pravém úhlu stejnou vzdálenost do bodu, který označ _m(S). Poklad leží ve středu spojnice _m(RS).“ Maják a pramen jsi našel, ale dub zmizel. Dokážeš najít poklad, přestože nevíš, kde kdysi rostl dub?

• Král hledá nového strážce královské pokladny. O tento úřad se ale smí ucházet jen ten, kdo splní tento úkol: Bude zaveden do zatemněné místnosti, ve které je na podlaze 50 mincí, z toho 18 leží nahoru lícem a zbytek rubem. Má za úkol rozdělit na dvě (ne nutně stejně velké) části tak, aby počet mincí ležících nahoru lícem byl v obou těchto částech stejný. Může kterékoliv mince libovolně otáčet, ale protože je tma a mince staré, nijak nemůže zjistit, které mince leží nahoru lícem a které rubem. Když tedy nějakou minci otáčí, sám neví, jestli bude rubem nebo lícem, ví jenom, že ji otočil. Jeden váš známý by se rád stal strážcem pokladny, ale se zkouškou si neví rady. Dokážete mu poradit postup, který vždy mince rozdělí na dvě části tak, aby počet mincí ležící lícem vzhůru byl v obou částech stejný. (Pro počet mincí ležících nahoru rubem to už platit nemusí.)

• Rozdíl věků mezi Mášou a Dášou je 4 roky a Máša má právě tolik roků, kolik bude Dáše, až bude mít Máša třikrát tolik roků jako Dáša, když měla Máša dvakrát tolik, kolik měla Dáša, když měla Máša půlkrát tolik, kolik má Dáša teď; kolik má roků Dáša a kolik Máša?

• Král chtěl rozdělit klíče od pokladny svým čtyřem rádcům tak, aby žádní dva vlastníci klíčů nemohli společně trezor otevřít, ale aby libovolní tři to učinit mohli. Kolik minimálně muselo být na trezoru zámků a jak se měly od nich rozdat klíče?

• Karlík slavil narozeniny. Na otázku kolikáté, mi řekl, že když oba ke svému věku přičteme ciferný součet svého věku, vyjde nám to samé dvojciferné číslo. Nanejvýš o kolik let je starší než já?

• \dag Potkal jsi dva pocestné. První lže, když druhý mluví pravdu. Ptal jsi se jich postupně na otázky a dostával odpovědi:

• Leží Alexandrie od Babylonu 500 mil? Odpověď byla Ano a Ne.
• Je to z Babylonu na Kypr 600 mil? Ne a Ano.
• Z Kypru na Olymp je to 100 mil po vodě a 200 mil po souši? Ano a Ano.
• Z Olympu do Alexandrie prý cestují jen bohové. Ne a Ne.

Co je pravda?

• \dag Karlík sbírá vlakové jízdenky. Byl velmi pyšný na to, že na trati mezi Dolní a Horní Lhotou má jízdenku z každé zastávky do každé jiné. Teď se ale na trati zvětšil počet zastávek a Karlík si spočítal, že až bude mít zase jízdenky z každé zastávky do každé, zvětší se mu sbírka o 46 exemplářů. Kolik zastávek bylo na trati původně a kolik jich je nyní?

• Které pokoje na VŠK 17. 11. splňují následující vlastnost: Hodnota čísla pokoje v p-adické (p je číslo patra) soustavě se shoduje s číslem patra v desítkové soustavě. Pokoje jsou číslovány tak, že první cifru (resp. dvě) tvoří číslo patra a další dvojčíslí je číslo pokoje (od 01 do 24 ve větší budově).

• V rovnoběžníku ABCD si na straně BC libovolně zvolíme bod E. Přímka AE protne úhlopříčku DB v bodě G a přímku DC v bodě F (bod F leží na polopřímce AC za bodem C). Jak dlouhá je úsečka EF, jestliže |GA|=6 cm, |GE|=4 cm, |CE|=2 cm a |BE|=4 cm.

• Na večírek přišlo 2007 lidí (z nich jeden byl kouzelník) a jeden novinář. Novinář hledá kouzelníka. Kouzelníka nikdo nezná, ale kouzelník zná každého. Novinář se může zeptat jakéhokoli člověka, zda zná jiného člověka.
• Dokáže vždycky novinář najít kouzelníka na méně než 2007 otázek?
• Kolik otázek bude potřebovat, když bude mít štěstí?

• Máme čtverec n \times n a z něj je vyříznuto (nevíme jak) n jednotkových čtverců. Můžeme najít celý obdélník o obsahu aspoň n?
• n=7
• n=8

• Vymyslete příklad, jehož řešením bude rovnoramenný trojúhelník s úhly u základny 72\deg. Zadání nesmí obsahovat žádná čísla ani žádná slova se slovním základem číslovky (dvojnásobek atd.).

• Je šest měst a dvě železniční společnosti. Mezi každýma dvěma městy jezdí přímý vlak, a to právě jedné společnosti. Existuje vždy trojice měst, že mezi nimi jezdí jen jedna společnost?

• Lze mřížku 4\times4 nakreslit
• \dag 8 lomenými čarami délky 5,
• 5 lomenými čarami délky 8?

• Evajs, Gimli, Olda a Michal pozorovali prváky matfyzáky na Albeři, stáli vedle sebe. Evajs si všimla, že první má digitální hodinky. Gimli si všiml, že pokud má matfyzák digitální hodinky, tak je má i matfyzák stojící 13 míst před ním i za ním (pokud tam někdo stojí). Olda si všiml, že pokud má matfyzák digitální hodinky, tak je má i matfyzák stojící 5 míst před ním i za ním (pokud tam někdo stojí) a Michal tvrdil, že jich je 600. Kolik z nich mělo digitální hodinky?

• V pondělí jsem vyrazila do Prahy do školy. Vyrazila jsem v 8.00, přijela jsem 10.30 na Florenc. V pátek jsem jela zpátky, a to v 8.00 z Florence, ve Varech jsem byla přesně v 10.30. Autobus jel stejnou cestou tam i zpět a rozhodně nejel ani rovnoměrně nebo rovnoměrně zrychleně. Všimla jsem si, že jsme na jednom místě byli ve stejnou dobu jako cestou tam. Je to možné? Stane se to vždy?

• Kolik nejméně je potřeba mřížových bodů (to jsou ve čtvercové síti, které mají obě souřadnice celočíselné), abychom měli jistotu, že střed aspoň jedné dvojice je také mřížový bod?

• Máme dán rovnostranný trojúhelník ABC, velikost strany je $10 cm. Označíme výšku z bodu A jako AD. Nad průměrem AD$ sestrojíme kružnici, která protíná strany AB, AC v bodech E a F. Zjistěte poměr |EF| : |BC| . Závisí na délce strany?

• Blecha skáče v nekonečné jednotkové čtverečkové síti. Nyní sedí v mřížovém bodě. Pravidla pro její skoky jsou: dráha skoku je úsečka délky 13, skáče jenom z mřížového bodu do mřížového bodu. V sousedním mřížovém bodě sedí blešák. Umí k němu blecha doskákat? Uměla by k němu doskákat, i kdyby byl jinde?

• Parta lupičů se rozhodla vyloupit sklad jednoho nejmenovaného obchodního domu. Ve skladu už byla téměř tma a nápisy na bednách nebyly vidět. Věděli, že ve skladu je 60 beden, z toho v 16 bednách je mouka, v 7 bednách rýže, v 17 bednách brambory, v 11 bednách jablka a v 9 bednách čokoláda. Rozhodli se ukrást více beden s moukou než s rýží a více beden s bramborami než s jablky. Také chtěli, aby počet beden, ve kterých je mouka nebo brambory, byl aspoň takový jako počet beden s ostatními potravinami. Kolik beden museli ukrást, aby splnili svůj úkol?

• Bylo potřeba zabalit bedny do plátěných plachet. Bedny byly krychlové s délkou hrany 1 m. K dispozici byly jen plachty o rozměrech $3 \times 3$. Bylo možné zabalit bedny do plachet bez jejich nastavování?

• Kolik nás bylo, jestliže náš počet se dá zapsat šestimístným číslem, poslední dvě číslice jsou liché, žádná číslice se nevyskytuje dvakrát a počet lichých a sudých číslic v čísle je stejný? Jestliže toto číslo vynásobíme libovolným z čísel 2, 3, 4, 5 nebo 6, dostaneme vždy šestimístné číslo složené ze stejných číslic, jaké mělo původní číslo, samozřejmě ale v jiném pořadí.

• Pouze pomocí kružítka a pravítka bez měřítka sestrojte rovnoramenný trojúhelník OWX se stejným obsahem, jako má daný trojúhelník ETK, jestliže je dána jedna jeho strana OW. Postup řešení se musí dát použít pro libovolný trojúhelník ETK a libovolně dlouhou úsečku OW.

• Shromáždění má 45 členů, z nichž každý patří do jedné ze čtyř největších rodin: Johnsnů, Gregoryů, Russelů, Terryů. První hlasování o odtajnění dopadlo nerozhodně, protože z přítomných hlasovalo pro každou možnost stejný počet osob; dokonce stejný počet osob se zdržel hlasování. Pro úplné odtajnění hlasovali všichni Gregoryové kromě dvou, kteří společně se všemi Johnsony chtěli nadále pokračovat v utajování. Jedině polovina ze všech Russelů byla pro částečné odtajnění. Hlasování se zdržel takový počet osob, jako je dvojnásobek počtu Terryů. Odtajnění se zasedání shromáždění nezúčastnili. Zjistěte, kolik měla každá rodina zástupců ve shromáždění.

• \dag Z každé z rodin Johnsnů, Gregoryů, Russelů a Terryů jsme vybrali právě jednoho zástupce.

• Vybrali jsme přírodovědce, jazykovědce, psychologa a matematika, každého z jiné rodiny, s různými jmény a věkem.
• Nejstarší z nich je matematik. Je mu 62 let.
• Trevor je z nich druhý nejmladší.
• Od Johnsnů šel psycholog.
• Gregory se jmenoval Gordon.
• Jerry oslavil včera svoje 40. narozeniny.
• Přírodovědec byl z rodiny Terryů.
• Robert není jazykovědec.
• Psychologovi je 25 let.
• Nejmladší v této skupině je Robert a je mu 19.

Zjistěte, kdo byl vybrán -- kdo se jak jmenoval, z jaké byl rodiny a kolik mu bylo let.

• V rovnici 2a²+ad²=1640 je a azimut, pod kterým bylo třeba se vydat, a d počet mil, který udává, jak daleko se poklad nachází. Obě hodnoty byly uvedeny celými čísly. Pod jakým azimutem a jak daleko měl Edward jít?

Výsledky