Úlohy na dobré ráno
Úlohy na 1. dobré ráno
- V muzeu se občas bohužel vyskytuje i hmyz. Jednou si dávala závody moucha a červotoč na celé dřevěné skříni o rozměrech $2 m \times 1 m \times 1 m$. Start si zvolili na jednom rohu a cíl byl na druhém konci tělesové úhlopříčky. Moucha lezla po povrchu a červotoč vrtal skrz. Jaký byl poměr jejich rychlostí, jestliže oba došli do cíle ve stejnou chvíli?
- Hmyz je v muzeu opravdu nepříjemný, a tak se ho snažíme chytat na hmyzolapky, které jsou ve tvaru krychle, která je obarvena dvěma barvami: světle modrou a tmavě modrou. Kolik různých hmyzolapek se v muzeu může vyskytovat, pokud počítáme za stejné ty, které se dají otočit do stejné polohy?
- V muzeu je zaměstnáno 50 bohatých lidí, všichni ostatní jsou chudí. Víme, že 10\percent chudých si o sobě myslí, že jsou bohatí, a 10\percent bohatých si o sobě myslí, že jsou chudí. Celkem 20\percent zaměstnanců muzea si o sobě myslí, že jsou bohatí. Kolik zaměstnanců má muzeum a kolik z nich je chudých?
- V muzeu se nacházejí staré hodiny. Tyto hodiny mají dvě kolečka, která do sebe zapadají. Jedno kolečko má 42 zubů a druhé má 24 zubů. Kolikrát nejméně se musí otočit první kolečko, aby první zub druhého zapadl do té samé díry jako na začátku?
Úlohy na 2. dobré ráno
- V muzeu se najde i spousta divných věcí. Naposled jsem si všimla takového kukátka, které vypadalo asi jako obrázku.
Protože je 8 moje oblíbené číslo, tak jsem si všimla, že větší váleček má poloměr 8. Kolik asi mají poloměr ty malé válečky? Bonus: na co asi tento předmět slouží (sloužil)?
- Jednou, když byla na prohlídce muzea skupina matematiků, položili mi před místností č. 98 otázku: „Kolika způsoby lze napsat 98 jako součet 3 různých prvočísel?“ a doufali, že mě to zaměstná natolik, že už dál pokračovat nebudeme. Omyl, já jsem jim odpověděla a dále mučila výkladem o muzeu. Jak jsem odpověděla?
- Naše muzeum obsahuje i poznámky a milostné dopisy velkých matematiků. Například v jednom z dopisů se našla tato úloha: kolik řešení má rovnice |||||x-2|-2|-2|-2|-2|=1?
- V muzeu se najdou i pyramidy. Jsou to pyramidy poskládané z malých shodných koulí. Stojí vedle sebe dvě pyramidy, na kterých je celkem 605 koulí. První pyramida má patra ve tvaru rovnostranného trojúhelníku (tj. patra mají velikosti 1, 3, 6, 10, 15, ... koulí) a druhá má patra čtvercová (tj. patra mají velikosti 1, 4, 9, 16, ... koulí). Obě pyramidy mají stejný počet vrstev. Kolik koulí je na trojúhelníkové pyramidě?
Úlohy na 3. dobré ráno
- V muzeu máme jeden takový muzejní kulečníkový stůl, který ovšem úplně normálně používáme. V muzeu je protože má trochu divné rozměry, a to $3 \times 4$ metry. Jednou vedoucí toho oddělení, kde stůl je, machroval a tvrdil, že zvládne kuličkou, která byla na místě [1,1] trefit kuličku, která byla na místě [2,2] a že se kulička přitom dotkne všech stěn. Podařilo se mu to. Jak velkou vzdálenost kulička překonala?
- Naše muzeum bylo založeno v roce 1978. Napište 1978 jako součet nejméně dvou po sobě jdoucích přirozených čísel.
- Zlomek (1-1/4)(1-1/9)\cdots(1-1/2001^{2}) napíšeme v základním tvaru. Součet čitatele a jmenovatele je počet exponátů v našem muzeu. Určete ho.
- V muzeu máme i taneční skupinu. Tanečníci měří: 184, 165, 175, 186, 192, 200, 176, 194, 168, 205 a 201 cm. Tancují v kruhu a aby to nevypadalo hloupě, tak se snaží, aby byl největší výškový rozdíl sousedů co nejmenší. Jaký je největší výškový rozdíl dvou sousedů?
Úlohy na 4. dobré ráno
- V galerii našeho muzea se nachází obraz, na kterém je rovnoramenný trojúhelník se stranami 5, 5 a 6 cm. Jemu je vepsaná kružnice. Pak je vepsaná do trojúhelníku další kružnice tak, že se dotýká stran o délkách 5 cm a té minulé kružnice. Takto je jich tam vepsáno, věřím, že nekonečně mnoho. Kolik asi tak mají ty kružnice dohromady délku?
- V muzeu máme také kostku, kterou se bavil neznámý vězeň 42 let ve vězení. Je to obyčejná kostka na {Člověče, nezlob se}. Vězeň vždy hodil, pak hodil znovu a hod připočetl k minulému. Vždy když měl víc než 12 skončil a začal znovu. Jaký součet mu padal nejčastěji?
- Ředitel muzea má syna, který je třikrát starší než jeho dcera, ale čtyřikrát mladší než jeho žena. On sám je o čtvrtinu starší než jeho žena a jeho matce je 62, což je tolik, co celé rodině dohromady. Kolik je jeho ženě?
- Ke každoročním propagačním akcím muzea patří šachové turnaje. Minulého se zúčastnilo 8 hráčů. Každý hrál s každým právě jednou. Za výhru byl bod, za remízu 1 a za prohru nic. Každý soutěžící získal jiný počet bodů. Já jsem skončila druhá a získala jsem stejně jako poslední 4 dohromady. Lze zjistit, jak hrál hráč v konečném pořadí třetí s pátým?
Úlohy na 5. dobré ráno
- Další raritou v našem muzeu je velká kostka $6 cm \times 6 cm \times 6 cm, která má vyvrtané 3 tunely o rozměrech 2 cm \times 2 cm \times 6 cm$ uprostřed každé stěny skrz na skrz. Na cedulce je napsán její objem a povrch. Jaké hodnoty tam jsou napsány?
- V občerstvovacím bufetu je vždy 20 hromádek po 1, 2, 3, ..., 20 pomerančích. Úklidový personál vždy přijde a může si vybrat 3 hromádky, jejichž součin je dělitelný čtyřmi a ty pak dostanou. Kolika způsoby si mohou vybrat?
- Jednou přišel kolega do muzea v tričku, na kterém bylo napsáno: abcd - 1 = 2003. Kolik navzájem různých čtveřic čísel a, b, c, d splňuje tuto rovnost?
- Mezi zaměstnanci se velmi rozšířila hra {sudoku}. Je všude v novinách, zrovna minulý týden jsem narazila na jednu:
Pravidla jsou následující: v každém sloupci, v každém řádku a v každém vyznačeném čtverci musí být všechna čísla od 1 do 9.
Úlohy na 6. dobré ráno
- Jedna místnost v muzeu má tvar pravoúhlého trojúhelníku a má obsah 54 m^{2}. Délka jedné odvěsny je 9 m. Kolik je součet výšek pravoúhlého trojúhelníku tvořícího podlahu?
- Najděte všechna přirozená čísla n, pro která je číslo n^{2} - n dělitelné 50.
- Jeden průvodce má ve zvyku návštěvníky chytat na hádanky. V matematické místnosti dává hádanku: jaký je součet koeficientů (součet těch čísel před nějakým x^{n}) mnohočlenu (x -2)^{2005} + (x+42)^{2} + 23?
- Složte co nejvíce smysluplných slov z písmen: b, d, l, r, a, o.
Úlohy na 7. dobré ráno
- Muzeum je také trochu ZOO. Máme tam jednu myšku, která chodí rovnoměrně rychlostí 10 cm za minutu. Na začátku každé minuty se otočí o 30\deg doprava. Po 73 minutách jí to přestalo bavit. Tak se v polovině 74. minuty rozhodla, že od začátku další minuty se bude otáčet o 10\deg doleva. Dostane se někdy po 74. minutě na nějaké místo, kde už byla?
- Najděte největší pětimístné přirozené číslo, které je dělitelné číslem 101 a které se čte odzadu stejně jako odpředu (tj. je to palindrom).
- V posluchárně muzea je divný počet židlí. Kdyby jich bylo o 3 víc, rozdělily by se do 4 řad. Kdyby jich bylo o 4 víc, seřadily by se do 5 řad a kdyby jich bylo o 5 víc, rozestavily by se do 6 řad. Kolik tam může být židlí?
- Rozdělte pravidelný šestiúhelník na
- 8 shodných částí,
- 9 shodných částí.
Úlohy na 8. dobré ráno
- Máme místnost a v ní koberec s body A, B, C, D, kde tyto body ohraničují 3 různé čtyřúhelníky o obsazích 9, 10, 13 cm^{2}. Určete obsah sjednocení těchto čtyřúhelníků. Narýsujte jednu takovou čtveřici.
- Najděte všechna přirozená čísla, jejichž třetí mocnina končí skupinou 56 789.
- U nás v muzeu máme speciální ceny bankovek. Ve městě mají bankovky hodnoty 4, 8, 12 a v muzeu máme bankovky hodnot 12, 16, 20. Dají se u nás koupit stejné věci jako ve městě (cenou stejné)? Může se i vracet.
- Doplňte za čísla písmena, aby platilo: TWO + THREE + SEVEN = TWELVE.
Úlohy na 9. dobré ráno
- Obdélník a trojúhelník mají stejné obvody. Všechny jejich strany jsou vyjádřeny dvojcifernými čísly, která se „sesypala“ z nákresu na jednu hromadu, takže z nich vznikla tato skupina čísel: 01111123444566. Jaké mohly být původní rozměry obou útvarů? Najděte aspoň tři řešení.
- V muzejní knihovně je kniha s názvem {Sbírka úloh z matematiky}. Kromě jiného je v ní tato úloha: Jana našla zajímavou posloupnost. Všimla si, že součet 3 po sobě jdoucích členů je buď 20 nebo 22, a to postupně takto: 20, 20, 22, 22, 20, 20, 22, 22, ... Na prvním místě posloupnosti je 9, na devátém 7. Určete součet prvních 100 členů.
- Na jedné chodbě v muzeu jsou naproti sobě místnosti s dvojcifernými čísly takovými, že jedno se liší od druhého jenom pořadím cifer. Navíc čísla se od sebe liší o 75\percent. Kolik dveří je na chodbě?
- V následujícím výrazu můžete libovolný počet znamének plus změnit na krát:
1+7+5+8+3+2+4+6+9+0.
Jakou minimální hodnotu výrazu můžeme dostat?